Послушные шарики или еще раз о развитии логического мышления

послушные шарики или еще раз о развитии логического мышления

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики (“Математическая энциклопедия”).
Всякая математическая теория представляет собой множество предложений, над которыми производятся действия (операции), в результате которых снова получаются предложения.
Если нет логических операций — нет математической логики, да и вообще математики; если ученик не совершает этих операций, то вряд ли приходится говорить о развитии логического мышления.
В начальной школе в первую очередь именно через решение задач ребенок учится рассуждать, т. е. строить предложения с помощью слов и словосочетаний неверно, что — логическая операция, называемая отрицанием; и — конъ­юнкция; или — дизъюнкция; если…, то… — импликация; тогда и только тогда, когда — эквиваленция. Мы не будем давать определения, поскольку учителя знакомы с этими операциями из курсов математики педагогических университетов (институтов) и педколледжей (училищ).
1. Две классические задачи
1. В трех одинаковых коробках лежат по два шарика в одной — два черных, в другой — два белых, в третьей — белый и черный. На каждой коробке есть табличка на одной изображены два белых шарика, на другой — два черных, на третьей — белый и черный. Но известно, что содержимое каждой коробки не соответствует табличке. Как вынув только один шарик только из одной коробки, переставить таблички на коробках в соответствии с их содержимым?

Решение
Пронумеруем коробки как на рис. 1.
В коробке 3 находятся либо два белых шарика, либо два черных. Достанем из нее шарик. Допустим, он оказался белым (рис. 2).

Следовательно, в коробке 3 — два белых шарика (рис. 3).

Поскольку в коробке 1 не может быть ни двух черных шариков (по условию надпись не соответствует действительности), ни двух белых (они в коробке 3), то там — черный и белый (рис. 4)

Ответ изображен на рис. 5.

Если бы из коробки 3 при первой попытке мы вытащили черный шарик, то ответ был бы таким (рис. 6)

Подчеркнем, что при рассуждениях мы пользовались словами “неверно, что в коробке такие-то шары” (отрицание), “если достанем белый шар, то…” (импликация) и т. д. Таким образом, ребенок, сам того не подозревая, совершает логические операции над высказываниями.
2. У меня в трех коробках лежали гвозди, винты и гайки. На каждой коробке было написано, что в ней лежит. Однажды мой младший брат пересыпал содержимое коробок так, что надпись на каждой коробке перестала соответствовать ее содержимому. Хорошо еще, что он не перепутал их между собой гвозди остались лежать отдельно от гаек и винтов и т. д. Можно ли, открыв одну из коробок, определить, что лежит в каждой из коробок?
Решение

Во-первых, для простоты обсуждения, гвозди, винты и гайки обозначим кружочками разных цветов (рис. 7). Во-вторых, заметим, что начинать рассуждения можно с любой коробки. Приведем один из вариантов, а другие — предоставим ученикам.
Откроем коробку 1. Допустим, там оказались гайки (рис. 8; а могли быть и винты рассуждения проводились бы аналогично).

В коробке 2 винтов быть не может по условию, следовательно, винты — в коробке 3 (рис. 9).

Ну, а во второй коробке — гвозди.
2. Шариковый сериал
Имеются два непрозрачных ящика. В них находятся один черный и один белый шарик
” либо по одному в каждом ящике,
” либо в одном ящике два шарика.
На ящиках есть надписи, по которым надо определить (если возможно), где какой шарик находится.
Указывается также, являются ли надписи истинными или ложными.
Условия задач и ответы представим в виде таблицы. И — истинно, Л — ложно. Запись “Обе И” означает, что надписи на каждом ящике правдивы.

№
Ящик 1
Ящик 2
Истинность надписей
Ответ

1
Здесь
Здесь нет шариков
Обе И
В ящике 1 и черный, и бе­лый шарики

2
Здесь нет шариков
Здесь оба шарика
Обе Л
Возможны варианты (решение после табл.)

3
Здесь
Здесь
Обе Л
В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — чер­­ный

4
Здесь не
Здесь не
Обе И
В ящике 1 — черный шарик, в ящике 2 — белый

5
Здесь не
Здесь не
Обе Л
В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный

6
Здесь или здесь
Здесь
Обе И
В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный

7
Здесь или здесь
Здесь
Обе Л
В ящике 1 — черный шарик, в ящике 2 — белый

8
Здесь и здесь
Здесь
Первая — И, Вторая — Л
В ящике 1 — оба шарика, в ящике 2 — пусто

Решение
1. Поскольку надписи истинны, то в ящике 2 шариков нет. Следовательно, они оба в ящике 1.
Внимание. Надпись на ящике 1 “здесь черный” не означает, что там не может быть белого шарика. Ведь утверждение “директор моей школы живет в Беларуси” не означает, что в стране не живу я…
2. Так как надпись на ящике 2 неверна, то возможны варианты
а) в ящике 2 нет шариков вообще, следовательно, в ящике 1 — и белый, и черный шарики;
б) если неверно утверждение “здесь оба шарика”, то верным может быть утверждение “здесь белый шарик” или “здесь черный шарик” (т. е. один из шариков находится в ящике 2), значит в ящике 1 тоже один шарик.
Информация для учителя. В этой задаче мы имеем дело с одним из законов де Моргана , который звучит так отрицание конъюнкции двух высказываний эквивалентно дизъюнкции отрицаний каждого из данных высказываний. Напомним также, что дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний. Применительно к нашей задаче утверждение “неверно, что в ящике 2 лежат оба шарика” равносильно утверждению “неверно, что в ящике лежит черный шарик, или неверно, что в ящике лежит белый шарик”. Отсюда и получаются вышеописанные варианты а) и б).
Решения остальных задач предоставляем учителю.
Таким образом, ученик “проходит” через логические операции, хотя, естественно, и не знает их строгих определений (на интуитивном уровне), следовательно, его логическое мышление развивается. Учитель же знает законы логики и может корректировать рассуждения ребенка, если они ошибочны.
А. Щан — старший преподаватель кафедры математики и методики ее преподавания БГПУ