О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Современные качественные исследования устойчивости
О вариационности некоторых ДУЧП
с отклоняющимися аргументами

И.А. Колесникова
Российский университет дружбы народов
117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.
тел. (095) 952-35-83, e-mail Vsavchin@mx.pfu.edu.ru
Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида

1
. Постановка задачи. Пусть
N – оператор, заданный в области
D(N) линейного нормированного пространства
U над полем действительных чисел
R, а область значений
R(N) принадлежит линейному нормированному пространству
V
над полем
R
, т.е.

В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке
существует производная Гато оператора N, определяемая формулой
(1)
Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида
(2)
где -ограниченная область в, с кусочногладкой границей
в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.
Зададим область определения оператора N равенством
(3)

Здесь — заданные функции, — неизвестная функция. Числа зависят соответственно от . Если — четны, то При нечетном полагаем
Обозначим

Введем классическую билинейную форму вида где (4)

Будем говорить, что уравнение (2)
допускает прямую вариационную формулировку на множестве
D(N)
, относительно билинейной формы
(4), если существует функционал
FN

D(
FN )=
D(N)—>R такой, что

Функционал FN называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала FN. Записывают N=gradфFN. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.
Обозначая через замыкание области , будем предполагать, что — выпуклое множество, , для любых фиксированных элементов функция
Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности

Искомый функционал в этом случае имеет вид

где F0 произвольный фиксированный элемент из R.
Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива
Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Современные качественные исследования устойчивости
Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].
2.Примеры.

А. Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))

с граничными условиями
Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим

Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1 могут зависеть только от x, а b-1, b0, b1 – только от t.
С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде
Таким образом, уравнение (7’) c граничными условиями (8) допускает вариационную формулировку.
Соответствующий функционал имеет вид

В. Рассматривается уравнение

где a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями

Для оператора задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.
Найти функцию [2] М=М(x,t,u,ui) в Ω для любого u из D(N) и соответствующий функционал F[u] так, что
Используя условия (6), находим вариационный множитель М=еu(x,t). Тогда получим, что оператор вида

является потенциальным.

Соответствующее эквивалентное уравнение будет иметь вид

Таким образом, задача (13’), (11) допускает вариационную формулировку с функционалом

ЛИТЕРАТУРА.
[1] Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.
[2] Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.