Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

1. Определения

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида
(1)
где , , , называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.
Если заданы начальные данные в виде
(2)
То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.
В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение
Def 1.Функция называется решением системы (1), (2) на отрезке , если она удовлетворяет следующим условиям

на отрезке .
Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.
Для начала сделаем некоторые обозначения.
a) есть функция, определенная на отрезке и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть
;
b)
c)

Def 2. удовлетворяет условиям a),b),c)}

2. Полезная лемма

Lemma 1 -выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке функций.
Proof
1)Выпуклость
a)Выберем произвольные функции , тогда

b);
c)на отрезке на том же отрезке для любых .
2)Ограниченность
Множество определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса
3)Замкнутость
Возьмем последовательность функций такую, что
, .
a)
Возьмем тогда

Так как это верно при любом , то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.
b) По теореме Кантора равномерно на отрезке.
Предположим, что при этом (для простоты доказательства предположим что , если , рассуждения проводятся аналогично)
Возьмем , тогда, так как для любого положительного и любого выполнено , то выполнено и для данных и t. Получим

Так как по предположению , то получаем что , а это невозможно, так как . Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой .
c)

на отрезке .
Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что , то есть множество замкнуто.
Лемма доказана полностью.
3. Существование и единственность решения

Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3].
Def 2. Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное.
Def 3. Семейство Ф функций φ, определенных на называется равномерно ограниченным, если
Def 4.Семейство Ф функций φ, определенных на , называется равностепенно непрерывным, если
Теорема 1.(Арцела)
Для того чтобы семейство Ф непрерывных, определенных на отрезке функций было предкомпактом в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.
Теорема 2.(Шаудера, принцип неподвижной точки)
Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха X оператор вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.
Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.
Теорема 3.(существование и единственность решения системы (1).(2))
Пусть система (1),(2) такая что

Тогда такая что на отрезке существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.
Замечание. Для простоты возьмем , для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.
Доказательство Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию

Обозначим

и будем искать решение в виде
Где
Определим оператор
,
Который действует из в себя, действительно, возьмем произвольный элемент
a) Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица возьмем

При
b)
При выполнено .
c) при по определению оператора.
Выполнение условий a,b,c означает что .
Для этого необходимо подобрать параметры так, чтоб одновременно выполнялись условия
(3)
(4)
Покажем, что оператор Т осуществляет непрерывное отображение
Возьмем последовательность такую что

Оценка выполнена на всем интервале, величина положительна и конечна, отсюда следует, что при |
также стремится к нулю, а значит оператор Т переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.
Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве с соответствующей нормой.
1),
правая часть не зависит ни от t, ни от y, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций.
2)
Выбирая получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.
А значит, образ множества предкомпакт, а оператор Т вполне непрерывен.
Так как множество ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка из этого множества.
, а это значит, что — решение системы (1),(2).
Единственность
Предположим, что при выполнении условий теоремы x и y – решения системы (1),(2) на интервале .
При оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале оценим модуль разности функций, являющимися решениями.

Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что
,
Выбирая таким малым, чтоб было меньше 1, получаем что , а значит на . Последовательно строя интервалы длинной закончим доказательство теоремы.
4.Пример неединственности (Winston)
Для уравнения с начальными данными

для малых положительных t существует два различных решения

Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению

Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых t аргумент оказывается в окрестности -1, а при этих значениях начальные данные недостаточно гладки, не выполнено условие Липшица.

Список использованной литературы

[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. –Berlin; Heidelberg; New York Springer, 1977.
[2] Резуненко А.В. Краткое введение в обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Харьков-2004.
[3] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьков-2006.
[4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems . «Аста»-2002.
[5] Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. «Мир»-1985.
[6] Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976