Вычисления определенного интеграла с помощью ф. – лы Симпсона на компьютере

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КУРСОВАЯ РАБОТА
«Программа приближенного вычисления определенного интеграла с помощью ф – лы Симпсона на компьютере»
Выполнил
студент ф – та ЭОУС – 1 – 12
Валюгин А. С.
Принял
Зоткин С. П.
Москва 2001
1. Введение
Определенный интеграл от функции, имеющей неэлементарную первообразную, можно вычислить с помощью той или иной приближенной формулы. Для решения этой задачи на компьютере, среди прочих, можно воспользоваться формулами прямоугольников, трапеций или формулой Симпсона. В данной работе рассматривается именно последняя.
Рассмотрим функцию y = f(x). Будем считать, что на отрезке [a, b] она положительна и непрерывна. Найдем площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 1).

рис. 1
Для этого разделим отрезок [a, b] точкой c = (a + b) / 2 пополам и в точке C(c, f(c)) проведем касательную к линии y = f(x). После этого разделим [a, b] точками p и q на 3 равные части и проведем через них прямые x = p и x = q. Пусть P и Q – точки пересечения этих прямых с касательной. Соединив A с P и B с Q, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Тогда площадь трапеции aABb можно приближенно посчитать по следующей формуле
I » (aA + pP) / 2 * h + (pP + qQ) / 2 * h + (qQ + bB) / 2 * h, где h = (b – a) / 3.
Откуда получаем
I » (b – a) / 6 * (aA + 2 * (pP + qQ) + bB)
заметим, что aA = f(a), bB = f(b), а pP + qQ = 2 * f(c), в итоге получаем малую фор – лу Симпсона

I » (b – a) / 6 * (f(a) + 4 * f(c) + f(b)) (1)

Малая формула Симпсона дает интеграл с хорошей точностью, когда график подинтегральной функции мало изогнут, в случаях же, когда дана более сложная функция малая формула Симпсона непригодна. Тогда, чтобы посчитать интеграл заданной функции нужно разбить отрезок [a, b] на n частей и к каждому из отрезков применить формулу (1). После указанных выше действий получится “большая” формула Симпсона, которая имеет вид,

I » h / 3 * (Yкр + 2 * Yнеч + 4 * Yчет) (2)

где Yкр = y1 + yn, Yнеч = y3 + y5 + … + yn – 1, Yчет = y2 + y4 + … + yn – 2, а h = (b – a) / n.
Задача. Пусть нужно проинтегрировать функцию f(x) = x⊃3;(x-5)⊃2; на отрезке [0, 6] (рис. 2). На этом отрезке функция непрерывна и принимает только неотрицательные значения, т. е. знакопостоянна.

рис. 2
Для выполнения поставленной задачи составлена нижеописанная программа, приближенно вычисляющая определенный интеграл с помощью формулы Симпсона. Программа состоит из трех функций main, f и integral. Функция main вызывает функцию integral для вычисления интеграла и распечатывает на экране результат. Функция f принимает аргумент x типа float и возвращает значение интегрируемой функции в этой точке. Integral – основная функция программы она выполняет все вычисления, связанные с нахождением определенного интеграла. Integral принимает четыре параметра пределы интегрирования типа float, допустимую относительную ошибку типа float и указатель на интегрируемую функцию. Вычисления выполняются до тех пор, пока относительная ошибка, вычисляемая по формуле

| (In/2 – In) / In | ,
где In интеграл при числе разбиений n, не будет меньше требуемой. Например, допустимая относительная ошибка e = 0.02 это значит, что максимальная погрешность в вычислениях будет не больше, чем In * e = 0.02 * In. Функция реализована с экономией вычислений, т. е. учитывается, что Yкр постоянная, а Yнеч = Yнеч + Yчет, поэтому эти значения вычисляются единожды. Высокая точность и скорость вычисления делают использование программы на основе формулы Симпсона более желательным при приближенном вычислении интегралов, чем использование программ на основе формулы трапеции или метода прямоугольников.
Ниже предлагается блок – схема, спецификации, листинг и ручной счет программы на примере поставленной выше задачи. Блок – схема позволяет отследить и понять особенности алгоритма программы, спецификации дают представление о назначении каждой переменной в основной функции integral, листинг — исходный код работающей программы с комментариями, а ручной счет предоставляет возможность проанализировать результаты выполнения программы.
2. Блок – схема программы

ДА

НЕТ

3. Спецификации

Имя переменной
Тип
Назначение

n
int
Число разбиений отрезка [a, b]

i
int
Счетчик циклов

a
float
Нижний предел интегрирования

b
float
Верхний предел интегрирования

h
float
Шаг разбиения отрезка

e
float
Допустимая относительная ошибка

f
float (*)
Указатель на интегрируемую фун — цию

s_ab
float
Сумма значений фун – ции в точках a и b

s_even
float
Сумма значений фун – ции в нечетных точках

s_odd
float
Сумма значений фун – ции в четных точках

s_res
float
Текущий результат интегрирования

s_pres
float
Предыдущий результат интегрирования

4. Листинг программы
#include
#include /* Прототип фун – ции, вычисляющей интеграл */
float integral(float, float, float, float (*)(float));
/* Прототип фун – ции, задающей интегрируемую фун – цию */
float f(float);
main()
{
float result;
result = integral(0, 6, .1, f);
printf(%f», result);
return 0;
}
/* Реализация фун – ции, задающей интегрируемую фун – цию */
float f(float x)
{
/* Функция f(x) = x⊃3;(x-5)⊃2; */
return pow(x, 3) * pow(x — 5, 2);
}
/* Реализация фун – ции, вычисляющей интеграл */
float integral(float a, float b, float e, float (*f)(float))
{
int n = 4, i; /* Начальное число разбиений 4 */
float s_ab = f(a) + f(b); /* Сумма значений фун – ции в a и b */
float h = (b – a) / n; /* Вычисляем шаг */
float s_even = 0, s_odd;
float s_res = 0, s_pres;
/* Сумма значений фун – ции в нечетных точках */
for (i = 2; i < n; i += 2) {
s_even += f(a + i * h);
}
do {
s_odd = 0;
s_pres = s_res;

/* Сумма значений фун – ции в четных точках */
for (i = 1; i < n; i += 2) {
s_odd += f(a + i * h);
}
/* Подсчет результата */
s_res = h / 3 * (s_ab + 2 * s_even + 4 * s_odd);
/* Избегаем деления на ноль */
if (s_res == 0) s_res = e;
s_even += s_odd;
n *= 2;
h /= 2;
} while (fabs((s_pres — s_res) / s_res) > e);/* Выполнять до тех пор, пока результат не будет удовлетворять допустимой ошибке */
return fabs(s_res); /* Возвращаем результат */
}

5. Ручной счет
Таблица константных значений для n = 8

Имя переменной
Значение

a
0

b
6

e
.1

s_ab
216

h
.75

Подсчет s_even

i
a + i * h
f(a + i * h)
s_even

2
1.5
41.34375
41.34375

4
3
108
149.34375

6
4.5
22.78125
172.125

Подсчет s_odd

i
a + i * h
f(a + i * h)
s_odd

1
.75
7.62012
7.62012

3
2.25
86.14158
93.7617

5
3.75
82.3973
176.159

7
5.25
9.044
185.203

Подсчет s_res

ò f(x) dx
s_res = h / 3 * (s_ab + 2 * s_even + 4 * s_odd)
Абсолютная ошибка

324
325.266
1.266

«