Теплоёмкость. Термодинамические процессы с идеальным газом

Теплоёмкость.
Краткая теоретическая часть
Отношение теплоты δq, полученной единицей количества вещества к изменению температуры dt называют удельной теплоемкостью.
(1.1)
Поскольку количество теплоты δq зависит от характера процесса, то и теплоемкость системы CX также зависит от условий протекания процесса.
Теплоемкость в зависимости от количества вещества может быть массовой – С, объемной – С’ и мольной µC. Связь между ними
(1.2)
Физический смысл теплоемкостей идеального вещества при V = const и P = const следует из рассмотрения дифференциальных соотношений термодинамики вида
(1.3)
После соответствующих преобразований с учётом свойств идеального газа получим
(1.4)
Это свидетельствует о том, что изменения внутренней энергии и энтальпии определяются как
(1.5)
т.е. независимо от характера процесса.
Соотношения между CP и CV
(1.6)
В соответствии с молекулярно-кинетической теорией газов мольная теплоемкость при V = Const пропорциональна числу их степеней свободы, выраженному в джоулевом эквиваленте и для одного моля газа равна µСV = 3 × 4,19 = 12,5 Дж/(моль×К). Тогда в соответствии с законом Майера, µСP = 5 × 4,19 = 20,8 Дж/(моль×К), что позволяет в зависимости от атомности газа и их степеней свободы представить значения мольных теплоёмкостей в следующем виде
Таблица № 1.1.

Атомность газа
μCV
μCP

Дж/(моль×К)
кал/(моль×К)
Дж/(моль×К)
кал/(моль×К)

одноатомный
12,5
3
20,8
5

двухатомный
20,8
5
29,1
7

трёх — и более атомный
29,1
7
37,4
9

Теплоемкость, определяемая по уравнению (4.1) при заданных параметрах состояния (P, v, Т) называемая истинной и может быть выражена как
CX = CX0 + ΔCX,(1.7)
где СX0 – теплоемкость газа в разряженном состоянии (при P 0) и зависит только от температуры, а ΔСX – определяет зависимость теплоемкости от давления и объема.
Средняя теплоемкость СXm в интервале температур от T1 до T2 выражается как
(1.8)
Если принять что один из пределов, например T1 = 273,15 К, то можно рассчитать средние теплоемкости газов в интервале температур от t1 = 0 °C до t2 = х °C и представить их значения в табличной форме, см. приложение, таблицы №2 – №4.
Количество теплоты, передаваемое системе согласно уравнению (4.8) и используя данные теплоемкостей, таблицы №2 – №4, с учетом (4.2), в зависимости от процесса рассчитывается по формулам
(1.9)
Для приближенных расчетов количества теплоты при не очень высоких температурах можно принять C = Const и тогда уравнения (1.14) с учетом (1.2) – (1.4) и значений таблицы №4.1. будут иметь вид
(1.15)
Задачи для самостоятельного решения.
Задача № 1-1. Воздух имеющий объем V = 15 м3 при температуре t1 = = 1500 °C и давлении Р = 760 ммHg, охлаждается изобарически до температуры t2 = 250 °C. Определить отводимое тепло QP, если а) считать теплоемкость постоянной, б) использовать формулу µСP = 6,949 + + 0,000576×t.
Задача № 1-2. Расход воздуха измеряется с помощью электрического нагревателя, установленного в воздухопроводе. Температура воздуха перед нагревателем и за ним измеряется с помощью двух термометров. Определить часовой расход воздуха G кг/ч, если при включении электрического нагревателя мощностью 0,75 кВт температура воздуха перед нагревателем Т1 = 288 К, а за нагревателем Т2 = 291,1 К. Определить также скорость потока воздуха за нагревателем, если давление его (принимаемое нами неизменным) Р = 870 ммHg, а диаметр воздухопровода d = 90 мм.
Задача № 1-3. В результате полного сгорания углерода в атмосфере чистого кислорода в сосуде образовался углекислый газ СО2 при давлении Р = 6,04 бар и температуре Т1 = 1673 К. Какое количество тепла выделится при остывании СО2 до температуры Т2 = 293 К. Определить также, какое давление установиться при этом в сосуде и какое давление имел кислород в сосуде до сгорания, если температура его равнялась 10 °C. Объем сосуда принять неизменным и равным 5 литров.
Задача № 1-4. Найти количество тепла, необходимое для нагревания 1 нм3 газовой смеси состава τ(CO2) = 14,5%; τ(O2) = 6,5%; τ(N2) = 79,0% от 200 до 1200 °C при P = Const и нелинейной зависимости теплоемкости от температуры.
Пример. Воздух в количестве 6 м3 при давлении Р1 = 3 бар и температуре t1 = 25 °C нагревается в процессе P = Const до t2 = 130 °C. Определить количество подведенного тепла, считая С = Const и С = f(T).
Решение.
QP = m × CP × (t2 – t1) = VН × C’P × (t2 – t1);
QP = m × (CPm × t2 – CPm × t1) = VН × (C’Pm × t2 – C’Pm × t1).
m = (Р1 × V1 × µ) /(R × T1) = (3×105 × 6 × 2,896×10–2) /(8,314 × 298,15) = 21,03 кг.
VН = (Р1 × V1 × TН) /(РН × T1) = (3×105 × 6 × 273,15) /(101325 Па × 298,15) = 16,28 нм3.
QP = 21,03 × (29,33/2,896 × 10–2) × (130 – 25) = 16,28 × (29,33/2,24 × 10–2) × (130 – 25) = 2236,4 кДж.
QP = 21,03 кг × (1,0079 × 130 – 1,0042 × 25) = 16,28 × (1,3026 × 130 – 1,298 × 25) = 2227,5 кДж.
Расхождение 0,40%.
Задача № 1-5. В закрытом сосуде ёмкостью V = 0,5 м5 содержится диоксид углерода при Р = 6 бар и Т = 800 К. Как изменится давление газа, если от него отнять 100 ккал? Принять зависимость C = f(T) линейной.
Задача № 1-6. Сосуд емкостью 90 л содержит воздух при давлении 8 бар и температуре 303 К. Определить количество тепла, которое необходимо сообщить воздуху, чтобы повысить его давление при V = Const до 16 бар. Принять зависимость C = f(T) нелинейной. Ответ дать в ккал.
Задача № 1-7. Какое количество тепла необходимо затратить, чтобы нагреть 2 м3 воздуха при постоянном избыточном давлении РМ = 2 бар от t1 = 100 °C до t2 = 500 °C? какую работу при этом совершит воздух? Давление воздуха по барометру принять равным 760 ммHg.
Задача № 1-8. При изобарическом нагревании от Т1 = 313 К до Т2 = 1023 К однородный газ совершает работу l = 184 кДж/кг. Определить, какой это газ, какое количество тепла ему сообщено и как при этом изменилось его давление.
Задача № 1-9. В процессе подвода тепла при постоянном давлении температура 0,9 нм3 азота повышается от Т1 = 288 К до Т2 = 1873 К. Определить изменения энтальпии азота и долю тепла, пошедшую на увеличение внутренней энергии.
Задача № 1-10. В цилиндре с подвижным поршнем заключен кислород в количестве VН = 0,3 нм3 при Т1 = 318 К и Р1 = 776 ммHg. Некоторое количество тепла сообщается кислороду при Р = Const, а затем производится охлаждение до начальной температуры (318 К) при V = Const. Определить количество подведенного тепла, изменения энтальпии, внутренней энергии и произведенную работу для обоих процессов, если известно, что в конце изохорического охлаждения давление кислорода Р3 = 0,588 бар. Изобразите состояния газа в P – V и T – S координатах.

Термодинамические процессы с идеальным газом.
Краткая теоретическая часть
Под термодинамическим процессом понимается взаимодействие ТС с окружающей средой, в результате которого ТС переводится из определенного начального состояния в определенное конечное состояние.
Если ТС, в которой протекает процесс, можно вернуть в начальное состояние так, что во внешней среде не произойдет каких либо изменений, то процесс называется обратимым. Если начальное состояние ТС без изменений во внешней среде невосстановимо, то процесс называется необратимым.
Только обратимые процессы могут быть изображены графически на диаграммах состояния, так как на них каждая точка представляет равновесное состояние.
Принцип сохранения энергии, сформулированный первым законом термодинамики (формулы (2.1) – (2.3)), приводит в конечном счете к энергетическому балансу, связывающему изменение запаса энергии ТС (внутренней энергии) с энергией, переходящей границы системы при совершении процесса в форме работы или теплоты.
Группа процессов, являющаяся при определенных условиях обобщающей для всех процессов и характеризующаяся постоянством теплоемкости называются политропными.
Для всех процессов устанавливается общий метод исследования, заключающийся в следующем
· выводится уравнение процесса;
· устанавливается зависимость между основными параметрами состояния ТС;
· определяется теплоемкость процесса;
· определяются изменения функций состояния внутренней энергии, энтальпии, энтропии;
· вычисляются функции процесса теплота и работа;
· дается графическая интерпретация термодинамических процессов в P – V и T – S координатах.
Рассматриваемые процессы считаются обратимыми.
Основные соотношения согласно пунктам 1 – 5 даны в таблицах № 2.1 – № 2.3.
Таблица № 2.1

Процесс
Уравнение процесса и показатель политропы
Связь между параметрами состояния
Теплоёмкость кДж/(кг×К)

политропный
P×Vn = Const n = ± ¥
(V2/V1) = (P1/P2) 1/n (T2/T1) = (P2/P1) (n – 1) /n (T2/T1) = (V1/V2) n – 1
CП = CV×(n – k) / /(n – 1)

изохорный
V = Const n = ± ¥
P1/P2 = T1/T2
CV

изобарный
P = Const n = 0
V1/V2 = T1/T2
CP

изотермический
P×V = Const n = 1
P1/P2 = V2/V1
± ¥

адиабатный
P×Vk = Const n = k
(V2/V1) = (P1/P2) 1/k (T2/T1) = (P2/P1) (k – 1) /k (T2/T1) = (V1/V2) k – 1
0

Таблица № 2.2

Процесс
Δu, кДж/кг
Δh, кДж/кг
ΔS, кДж/(кг×К)

политропный
CV×ΔT
CP×ΔT
CП×ln(T2/T1)

изохорный
CV×ΔT
CP×ΔT
CV×ln(T2/T1) CV×ln(P2/P1)

изобарный
CV×ΔT
CP×ΔT
CP×ln(T2/T1) CP×ln(V2/V1)

изотермический
0
0
R×ln(V2/V1) R×ln(P1/P2)

адиабатный
CV×ΔT
CP×ΔT
0

Таблица № 2.3

Процесс
l, кДж/кг
q, кДж/кг

политропный
(P1×v1 – P2×v2) /(n – 1)
CП×ΔT

изохорный
0
CV×ΔT

изобарный
P×Δv = R×ΔT
CP×ΔT

изотермический
P1×v1×ln(V2/V1) P1×v1×ln(P1/P2)
T×ΔS = R×T×ln(V2/V1)

адиабатный
–Δu = (P1×v1 – P2×v2) /(k – 1)
0

Теплоёмкость при политропном процессе равна
(5.1)
На рисунке ниже приведены политропные процессы в P – V и T – S координатах.

Рис. 2.1
Пример. Воздух, имеющий объем V = 0,01 м3, при Р1 = 10 бар и Т1 = = 298 К расширяется в цилиндре с подвижным поршнем до давления Р2 = 1 бар. Определить конечный объем, температуру, работу расширения, подведенное тепло, изменение внутренней энергии, энтальпии и энтропии, если расширение происходит 1. изотермически; 2. адиабатически; 3. политропно с показателем политропы n = 1,3. Изобразить процесс в P – V и T – S координатах.
Решение
Изотермическое расширение.
Объем в конце расширения
V2 = V1 × (P1/P2) = 0,01 × (10/1) = 0,1 м3.
Работа расширения
L = P1 × V1 × ln(P1/P2) = 106 × 0,01 × ln(10/1) = 23 кДж.
Количество подведенного тепла
QT = L = 23 кДж.
Так как Т1 = Т2 = 298 К, то Δh = 0 и Δu = 0.
Изменение энтропии
ΔS = Q/T = 23/298 = 0,07718 кДж/К.
Адиабатное расширение.
Масса газа в цилиндре
m = (P1 × V1 × μ) /R × T1 = (106 × 0,01 × 2,896×10–2) /(8,314 × 298 К) = 0,117 кг.
Конечный объем
V2 = V1 × (P1/P2) 1/k = 0,01 × (10/1) 1/1,4 = 0,0518 м3.
Температура воздуха в конце процесса
T2 = T1 × (P2/P1) (k – 1) /k = 298 × (1/10) (1,4 – 1) /1,4 = 154,35 К.
Работа газа при расширении
L = (P1 × V1 – P2 × V2) /(k – 1) = (106 × 0,01 – 105 × 0,0518) /(1,4 – 1) = 12 кДж.
Изменение в процессе составило
Энтальпии
Δh = CP × (T2 – T1) = 1,0189 × (154,35 – 298) = – 146,36 кДж/кг;
ΔH = m × Δh = 0,117 × (– 146,36) = – 17,12 кДж.
Внутренней энергии
Δu = CV × (T2 – T1) = 0,7317 × (154,35 – 298) = – 105,11 кДж/кг;
ΔU = m × Δu = 0,117 × (– 105,11) = – 12,30 кДж.
При определении изменения функций состояния, ввиду значительного изменения температуры в процессе (298 – 154,35 = 146,65 К), пользуемся зависимостью теплоемкости от температуры C = f(T) (см. таблицу №3 приложения).
Политропное расширение с n = 1,3.
Конечный объем
V2 = V1 × (P1/P2) 1/n = 0,01 × (10/1) 1/1,3 = 0,0588 м3.
Конечная температура
T2 = T1 × (V1/V2) n – 1 = 298 × (0,01/0,0588) 1,3 – 1 = 175,15 K.
Работа газа при расширении
L = (P1 × V1 – P2 × V2) /(n – 1) = (106 × 0,01 – 105 × 0,0588) /(1,3 – 1) = 13,7 кДж.
Количество подведенного тепла
qП = CV × [(n – k) /(n – 1)] × (T2 – T1) = 0,7317 × [(1,3 – 1,4) /(1,3 – 1)] × (175,15 – – 298) = 29,96 кДж/кг;
QП = m × qП = 0,117 × 29,96 = 3,51 кДж.

Рис. 2.2.
Изменение в процессе составило
Энтальпии
Δh = CP × (T2 – T1) = 1,0189 × (175,15 – 298) = – 125,17 кДж/кг;
ΔH = m × Δh = 0,117 × (–125,17) = – 14,64 кДж.
Внутренней энергии
Δu = CV × (T2 – T1) = 0,7317 × (175,15 – 298) = – 89,89 кДж/кг;
ΔU = m × Δu = 0,117 × (–89,89) = – 10,52 кДж.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача № 2-1. В замкнутом помещении объемом V = 25 м3 находится воздух при давлении Р1 = 730 ммHg и температуре Т1 = 283 К. В результате подвода тепла давление возросло до Р2 = 2,3 бар. Определить количество подведенного тепла QV, изменение внутренней энергии ΔU и энтальпии ΔH.
Задача № 2-2.6. кг азота совершают в процессе изобарического расширения работу LР = 343 кДж. Определить изменения внутренней энергии азота, если начальная температура его равна Т1 = 373 К.
Задача № 2-3. Оксид углерода находится при избыточном давлении РМ = 3,92 бар и занимает объем V = 5 м3, барометрическое давление при этом равно РБ = 755 ммHg. Определить изменение внутренней энергии и величину затраченной работы, если оксид углерода будет изобарически охлажден от Т1 = 573 К до Т2 = 373 К.
Задача № 2-4. Как изменится внутренняя энергия и энтальпия 20 нм3 кислорода при изобарическом нагревании от 373 К до 1173 К, если давление Р = 9,8 бар. Какова совершенная газом работа?
Задача № 2-5.0,6 нм3 воздуха при изобарическом подводе тепла совершает работу LР = 15,68 кДж. Определить температуру Т2 и объем воздуха V, если в начальном состоянии его температура и давление были соответственно равны Р1 = 4,42 бар и Т1 = 293 К.
Задача № 2-6. Кислород при температуре Т1 = 353 К и давлении РВ равном 320 ммHg сжимается при Т = Const до избыточного давления РМ = 12 бар. Во сколько раз уменьшается объем кислорода, если барометрическое давление РБ = 745 ммHg?
Задача № 2-7. 10 кг кислорода расширяются при Т = 423 К = Const от начального давления Р1 = 14,7 бар и производят работу LT = 2969,4 кДж. Определить давление в конце расширения и изобразить процесс в P – V и T – S координатах.
Задача № 2-8. В цилиндре с подвижным поршнем заключено 3,5 м3 азота при давлении Р1 = 1,47 бар. В процессе изотермического сжатия отводится 461 кДж тепла. Определить давление Р2 и объем V2 азота в конце сжатия.
Задача № 2-9. 0,4 кг воздуха при Т1 = 573 К и Р1 = 1,98 бар расширяются изотермически до V2 = 1,68 м3/кг, а затем сжимаются изобарически и, наконец, путем изохорического нагревания, снова возвращаются в исходное состояние. Определить для каждого процесса ΔH, ΔS, ΔU, а также тепло и работу L. Определить также параметры (P, v, T) для всех точек и изобразить процессы в P – V и T – S координатах.
Задача № 2-10. 0,3 нм3 воздуха изотермически сжимаются от начального состояния Р1 = 7,35 бар, Т1 = 573К до некоторого конечного состояния Р2, V2. Определить значения Р2 и V2, если известно, что в процессе изотермического сжатия было отведено 167,6 кДж тепла. Определить также изменение внутренней энергии и энтальпии воздуха.
Задача № 2-11. 1. нм3 воздуха адиабатически расширяется от начального состояния 1 (Р1 = 6 ата, t1 = 300 °C) до состояния, причем V2 = 3V3; затем он сжимается изотермически до начального значения удельного объема V3 = V1. Определить параметры (P, v, T) точек 1, 2 и 3 и суммарную работу, произведенную газом. Представить процесс в P – V и T – S координатах.
Задача № 2-12. Работа затраченная на адиабатное сжатие 3 кг воздуха, составляет (– 471) кДж. Начальное состояние воздуха характеризуется параметрами Т1 = 288 К и Р1 = 1 бар. Определить конечную температуру и изменение внутренней энергии.
Задача № 2-13. 1. кг воздуха при давлении Р1 = 4 бар и температуре Т1 = 373 К расширяется до давления Р2 = 1 бар. Определить конечную температуру, количество тепла и совершенную работу, если расширение происходит а) изохорно, б) изотермически, в) адиабатно и г) политропно с показателем n = 1,2. Изобразить процесс в P – V и T – S координатах.
Задача № 2-14. В баллоне емкостью 100 л находится воздух при давлении Р1 = 50 бар и температуре Т1 = 293 К. Давление окружающей среды Р2 = 1 бар. Определить полезную работу, которая может быть произведена воздухом при его расширении до давления окружающей среды по изотерме и по адиабате, а также конечную температуру воздуха в баллоне после адиабатного расширения.
Задача № 2-15. 1 кг воздуха при температуре Т1 = 290 К сжимается адиабатически до объема, составляющего 1/5 начального, а затем расширяется изотермически до первоначального объема. Определить работу, произведенную воздухом в результате обоих процессов. Изобразить процесс в P – V и T – S координатах.
Задача № 2-16. При политропном расширении 1 киломоля газа его объем увеличился на 20%, а абсолютная температура уменьшилась на 12%. Определить показатель политропы, величину работы lП кДж/моль, если Т1 = = 490 К.
Задача № 2-17. К 1 кг воздуха при его сжатии в политропном процессе подведено 50 кДж/кг тепла. Определить показатель политропы, изменение внутренней энергии и работу сжатия, если температура воздуха увеличилась в процессе на 100 К.
Задача № 2-18. 1 кг азота в начальном состоянии имеет параметры Р1 = 25 бар и Т1 = 973 К. После политропного расширения (n = 1,18) давление азота становится равным Р2 = 105 Н/м2. Определить ΔU, ΔН в процессе, а также количество тепла qП и работу расширения lП.

«