Разработка демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

bestreferatsu

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

ш2.0
— 1 —
ОГЛАВЛЕНИЕ
ст.
1. Введение………………………………………….3
а) Актуальность темы дипломной работы……………….3
б) Цели работы……………………………………4
в) Научная новизна результатов дипломной работы………4
г) Научная и практическая ценность………………….5
д) Вклад автора…………………………………..5
е) Реализация…………………………………….5
ж) Апробация и публикации………………………….6
з) Краткое содержание и структура………………….6
Глава 1. Физические основы исследуемых процессов…………8
_ 1.1 Электрический колебательный контур…………….8
_ 1.2 Опыт Милликена……………………………..11
_ 1.3 Скин-эффект в цилиндрической геометрии………..16
_ 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии………………26
Глава 2. Математические методы исследования физических
процессов………………………………….31
_ 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений………………………………….31
_ 2.2 Задача Коши.(Метод Рунге-Кутты 2-го порядка)…..34
_ 2.3 Метод Рунге-Кутты 4 порядка………………….37
_ 2.4 Краткие сведения о функциях Бесселя…………..42
_ 2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина………….46

— 2 —
Глава 3. Использование ЭВМ в учебном процессе…………..48
_ 3.1 Роль ЭВМ в обучении физики…………………..48
_ 3.2 Методы использования ЭВМ в обучении…………..51
_ 3.3 Моделирование физических процессов на ЭВМ……..53
_ 3.4 Краткое описание программ……………………55
Заключение………………………………………….56
Приложения………………………………………….57
Литература………………………………………….66

ш2.0
— 3 —
2Введение
_ 1Актуальность темы дипломной работы
Дипломная работа посвящена разработке демонстрационных прог-
рамм для применения в процессе преподавания физики как в школах и
среднеспециальных учебных заведениях, так и в высших учебных за-
ведениях.
Насыщенность школ современной вычислительной техникой еще не
приводит к большим переменам в образовании, если учитель не под-
готовлен ни психологически, ни профессионально к внедрению ЭВМ в
его жизнь.
В настоящее время накоплен большой опыт применения вычисли-
тельной техники в физических исследованиях, выработаны общие ме-
тодические подходы решения основных физических проблем и можно
констатировать факт, что сложился новый предмет — вычислительная
физика, которая составной частью современной физики наряду с об-
щей физикой и теоретической физикой и входит в стандарт образова-
ния по физики.
Основным методом исследования вычислительной физики является
компьютерный эксперимент, теоретической базой которого служит ма-
тематическое моделирование, а экспериментальной базой — ЭВМ.
Компьютерное моделирование интегрирует такие предметы, как
теоретическая физика, численный анализ и программирование.
На сегодняшний день в процессе преподавания физики очень мно-
гие важные явления и опыты не могут быть реализованы в виде де-
монстраций в силу их сложности, а их объяснение требует от препо-
давателя больших «художественных возможностей». Именно поэтому

— 4 —
появилась тенденция создания компьютерных программ для моделиро-
вания подобных процессов [1-7]. Теперь преподаватель, заранее по-
добрав исходные данные, может по ходу объяснения демонстрировать
все возможные варианты развития процесса не затрачивая массу вре-
мени на приемлемое изображение установки, самого эксперимента,
сопутствующих графиков.
Кроме того, такие программы могут быть также 2 0 использованы в
лабораторном практикуме с дополнительными заданиями разного уров-
ня сложности, а в совокупности с прилагаемыми описаниями и для
самостоятельного изучения материала.
_ 1Целями дипломной работы являлись
— исследование моделируемых процессов на предмет получения
конечных аналитических решений, пригодных для создания на их ос-
нове демонстрационных программ, а в случае их отсутствия построе-
ние алгоритмов решения на основе численных методов;
— создание демонстрационных программ на основе полученных ре-
шений;
— создания лабораторных работ на основе разработанных прог-
рамм и ряда разноуровневых заданий к ним;
— апробация созданных лабораторных работ 2 0на 2 0 физическом фа-
культете ТГПУ им. Л. Н. Толстого в курсе методики преподавания
физики;
_ 1Научная новизна результатов дипломной работы
В работе впервые
— Созданы демонстрационные программы для моделирования про-
цессов в электрическом колебательном контуре, опыта Милликена,

— 5 —
скин-эффекта;
— Для скин-эффекта получено решение в виде комбинации функций
Кельвина;
— Показана роль фазового дополнительного слагаемого в решении
для скин-эффекта;
— Показано, что в электрическом колебательном контуре на гра-
фике зависимости энергии от времени существуют плато, соответс-
твующее нулевому току и проведена аналогия с механическими коле-
баниями;
_ 1Научная и практическая ценность
В работе проведен теоретический анализ исследуемых процессов
и создан ряд моделирующих программ.
Как теоретические результаты, так и компьютерные программы
дипломной работы могут быть использованы в процессе преподавания
физики в различных учебных заведениях и при самостоятельном изу-
чении данного материала.
_ 1Вклад автора
В работах, результаты которых выносятся на защиту и выполнен-
ных совместно с научным руководителем, автором внесен должный
вклад в постановку задач, выбор методов исследования, теоретичес-
кий анализ, выбор методов реализации и интерпретацию результатов.
_ 1Реализация результатов работы
Полученные в результате теоретического анализа аналитические
решения были реализованы автором в виде демонстрационных программ
для машин класса IBM PC/AT и совместимых, работающих под управле-

— 6 —
нием
— MS-DOC версии 5.0 и последующих;
— MS-WINDOWS версий 3.1 и 3.11 (RUS).
Программы реализованы с помощью компиляторов
— Turbo Pascal 6.0;
— Turbo Pascal 7.0;
и при использовании графических пакетов
— BGI (Borland International)
— Дизайнер.
Демонстрационные программы используются в курсе преподава-
ния физики на физическом факультете ТГПУ им. Л.Н.Толстого и могут
быть использованы в других учебных заведениях.
_ 1Апробация и публикации . 0
Основные результаты докладывались опубликованы в тезисах док-
ладов 3 Всероссийского (с участием стран СНГ) совещания-семинара
«Применение средств вычислительной техники в учебном процессе», изд-во
УГТУ, Ульяновск 1995 г. [23]
Материалы работы докладывались и обсуждались также на студен-
ческих научных конференциях в ТГПУ [24].
_ 1Краткое содержание и структура
Структура. Дипломная работа состоит из введения, трех глав,
приложения, заключения, содержит 55 страниц машинописного текста,
12 рисунков, список цитируемой литературы включает 24 наименова-
ния.
Во _Введении . обосновывается актуальность работы, формулируется
ее цель, излагается краткое содержание работы по главам и пере-

— 7 —
числяются результаты, являющиеся новыми. Кроме того говорится о
реализации и апробации проделанной работы.
_Глава 1 . дипломной работы посвящена теоретическому исследова-
нию моделируемых процессов.
_Глава 2 . посвящена описанию математических методов, необходи-
мых для теоретического исследования и моделирования.
В _ Главе 3 . рассматриваются методические вопросы, касающиеся
как применения ЭВМ в учебном процессе в целом, так и конкретно
применение разработанных программ.
_Заключение . посвящено подведению итогов проделанной работы.
В _ Приложении . приводятся необходимые схемы, рисунки и графики.

ш2.0
— 8 —
_ 2Глава 1
1Физические основы исследуемых процессов
1_ 0 11.1 0 1Электрический колебательный контур.
Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий, в
общем случае, из конденсатора C, катушки индуктивности L и сопро-
тивления нагрузки R (см. рис. 1). Процессы происходящие в такой
системе описываются дифференциальным уравнением вида
Ф-
ш1.0
d 52 0q 7 0 dq
───── + 2 7d 0──── + 7 w 40 52 0q = 0 (1.1.1)
dt 52 0 7 0 dt
где
R 1 dq
2 7d 0= 7 0─── ; 7 w 40 52 0 = ──── ; I = — ──── .
L LC dt
Начальные условия q│ =q 40 0 ; I│ =I 40 0.
│t=0 4 0 │t=0
Энергия колебательного контура определяется выражением
q 52 0 LI 52
W = ──── + ─────. (1.1.2)
2C 2
ш2.0
Ф+
Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами. Колебания, описываемые ли-
нейными дифференциальными уравнениями, называются линейными ко-
лебаниями, а соответствующие колебательные системы — линейными

— 9 —
ш1.0
системами. Уравнение (1.1.1) имеет следующие решения[18]
Ф-
ш1.0
7|\\
1) 7 w 40 0 > 7d 4 , 7 W 0 = 7? w 40 52 7 0+ 7d 52 0 — слабое затухание
4- 7в 4t 7 0 7d
q = e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t)); A=q 40 0;B= ─── q 40;
7W
4- 7в 4t 0 4- 7в 4t
q’= — 7d 0e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t))+ e 4 0(A 7W 0Cos( 7W 0t) + B 7W 0Sin( 7W 0t))
7|\\
7/ 0 7d 52 4 — 7в 4t
q=q 40 7 / 0 1+ ──── e 7 0Cos( 7W 0t- 7f 40 0); (1.1.3)
7? 0 7W 52
7d
где tg 7f 40 0 = ─── — сдвиг фаз;
7W
7( 0 7d 52 0 7) 4- 7в 4t
I = q 40 7* 01 + 7 0──── 78 0 7W 0e 7 0Sin( 7W 0t) (1.1.4)
79 0 7W 52 0 70
Частный случай R=0 и 7d 0=0 (гармонические колебания)
q = q 40 0Cos( 7w 40 0t) (1.1.5)
I = q 40 7w 40 0Sin( 7w 40 0t) (1.1.6)
2) Критический режим 7 цw 40 0= 7d
1 R 52 0 4L
──── = ───── 5 ═════ 0> R 52 0 = ────
LC 4L 52 0 C
4- 7в 4t
q = q 40 0e 7 0( 7d 0t + 1) (1.1.7)
4- 7в 4t
I = q 40 0e 7 d 52 0t (1.1.8)

— 10 —
ш1.0
3) Сильное затухание
q 52 7 ( 0 7 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7)
q = ──── 7 * 0( 7W 0 + 7d 0)e 7 0 7 0 + ( 7W 0 — 7d 0)e 7 0 7 0 7 8 0 (1.1.9)
2 7W 9 0 70
q 52 7w 40 52 0 7( 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7)
I = ─────── 7 * 0e 7 0 7 0 + e 7 0 7 0 7 8 0 (1.1.10)
2 7W 0 79 0 70
ш2.0
На рис. 12 показаны зависимости q(t), I(t), W(t), причем на
последней хорошо заметно _плато ., соответствующие нулевому току,
при котором в системе не происходит потерь энергии.

ш2.0
— 11 —
1_ 0 11.2 Опыт Милликена по определению заряда электрона.
Роберт Эндрюс Милликен (1868-1953) — американский физик (с
1924 года член-корреспондент АН СССР). Получил широкую извест-
ность за ряд опытов, направленных на установление дискретности
электрического заряда и определение заряда электрона с высокой
точностью. За эту работу в 1923 году удостоен Нобелевской премии.
Также известны его работы, направленные на экспериментальное
подтверждение квантовой теории фотоэффекта А.Эйнштейна и работы
по определению численного значения постоянной Планка.
Классические опыты Милликена направлены на прямое доказатель-
ство дискретности электрического заряда и определение элементар-
ного электрического заряда.
Экспериментальный метод , примененный Милликеном , заключался
в непосредственном измерении заряда очень маленьких капелек мас-
ла[14,19].Представим себе такую капельку между обкладками гори-
зонтально расположенного конденсатора(рис.2).Если к пластинам
конденсатора не приложено напряжение , то капля будет свободно
падать. Вследствие малых размеров капля будет падать равномерно ,
так как ее вес уравновешивается силой сопротивления воздуха , оп-
ределяемой законом Стокса , и силой Архимеда.
Ф-
ш1.0
76 6 6
F 4st 0+G+F 4арх 0=0 (1.2.1)
F 4st 0=G-F 4арх 0 (1.2.2)
F 4st 0=6 7ph 0aV 4G 0, (1.2.3)
G-F 4aрх 0=3 7p 0a 53 0( 7r 4k 0- 7r 0)g/4, (1.2.4)
ш2.0
Ф+
где a-радиус капли, 7h 0-вязкость газа, V 4G 0-скорость свободного паде-
ния капли, 7r 4k 0-плотность капли, 7r 0-плотность газа.

— 12 —
Представим себе теперь , что к пластинам конденсатора прило-
жено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы
капелька под действием электрического поля поднималась вверх. Ес-
ли через V 4Е 0обозначить скорость этого подъема, то можно записать
Ф-
Еq-mg=6 7ph 0aV 4E 0 (1.2.5)
Ф+
где Е — напряженность поля внутри конденсатора. Ионизируя воздух
между пластинами конденсатора ( например , при помощи рентгеновс-
ких лучей ) , можно изменить заряд капли. Если при этом величину
напряженности поля оставить прежней , то скорость капли изменится
и станет равной V 4E1 0.
Продолжая эти рассуждения, можно получить формулу для раз-
ности зарядов (q-заряд до облучения , q 41 0-заряд после облучения)
Ф-
1.0
7p 0(2V 4G 7h 53 0) 51/2
7D 0q=q-q 41 0=9───────────────(V 4E 0-V 4E1 0) (1.2.6)
E(( 7r 4k 0- 7r 0)g) 51/2
ш2.0
Ф+
Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен
проводил с одной каплей много опытов. Измеряя скорости падения и
подъема капли, экспериментатор рассчитал заряд электрона, который
по его данным оказался равным
e=4.805*10 5-10 0СГСЭ.
Схема установки Милликена приведена на рис. 3 [11,19].
Проведем строгое решение задачи о движении заряженной части-
цы в электрическом поле в вязкой среде. Данное движение (рис.2)
описывается следующим уравнением

— 13 —
Ф-
ш1.0
76
dV 76 0 7 6 0 76 0 7 0 76
m ──── = F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 + F 4электр 0; (1.2.7)
dt
dV 4x
m ───── = — F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 — F 4электр 0 (1.2.8)
dt
ш2.0
76 0 7 6
где F 4электр 0=qE — сила, действующая на заряженную частицу в
электрическом поле с напряженностью E, причем
E 4x 0= 7+ 0 U/d , 7 0U — напряжение между обкладками конденсатора
d — расстояние между обкладками конденсатора
F 4сопр- 0определяется по закону Стокса (1.2.3), G=mg — сила тяжести
После подстановки и преобразований получим
ш1.0
dVx 6 7ph 0а Gx F 4арх 0 4 0qE 4x
───── + ────── Vx = ──── — ────── + ───── (1.2.9)
dt m m m m
Введем обозначения
ш1.0
9 7h 0 7r 0 7 03qE 4x
7a 0=───────;(1.2.10) 7b 0=g(1- ────);(1.2.11) 7g 0=────────;(1.2.12)
2 7r 4k 0а 52 0 7r 4k 0 4 7r 4k 7p 0a 53
получим
dVx
───── + 7a 0Vx = 7b 0 + 7g 0 (1.2.13)
dt
4- 7a 0t 7b 0+ 7 g
Общее решение этого уравнения V 4x 7 0= 7 0const e + 7 0─────── (1.2.14)
7a
используя начальное условие
7b 0 + 7g 0 7b 0 + 7g
Vx│ =V 40 0 ; 4 0V 40 0 = const + ─────── 7″ 0 const = V 40 0 — ─────── (1.2.15)
│t=0 7 0 7a 0 7 0 7a

— 14 —
ш1.0
имеем
7{ 0 7b 0 + 7g 0 7} 0 4- 7a 0t 7b 0 + 7g
V 4x 0 4= 0 72 0 V 40 0 — ─────── 72 0 e 4 0+ ─────── (1.2.16)
7[ 0 7a 0 7 ] 0 7a
4x 0 4t
7! 0 7!
так как 72 4 0dx = 7 2 0 V 4x 0 dt (1.2.17) и x│ =0 получим
71 0 71 0 │t=0
5x 40 0 50
1 7( 0 7 b 0+ 7g 0 7) 4 0 4- 7a 4t 0 7( 0 7 b 0+ 7 g 0 7)
x = — ─── 7 * 0V 40 7 0- 7 0─────── 7 8 0 e + 7 * 0─────── 7 8 0 t (1.2.18)
7a 9 0 7a 0 70 0 7 9 0 7 a 0 7 0
Для создания демонстрационной программы удобнее использовать
формулу не для x , а для 7D 0x ,
1 7{ 0 7b 0+ 7g 0 7}{ 0 4- 7a 4t 0 7} 0 7 b 0+ 7 g
7D 0x=x-x 40 0= ─── 72 0V 40 0- ─────── 722 0 1 — e 72 0+─────── t (1.2.19)
7a 0 7[ 0 7 a 0 7 ][ 0 7 ] 0 7 a
ш2.0
При q 41 0=n 41 0e 76 g 41 0= 7a 0V 41x 0- 7a 0V 40x 0, а при q 42 0=n 42 0e 76 g 42 0= 7a 0V 42x 0- 7a 0V 40x 0(1.2.20),
где V 40x 0-скорость падения капли до облучения и без напряже-
ния,V 41x 0-скорость падения капли до облучения при наличии по-
ля,V 42x 0-скорость капли после облучения при наличии поля. Разделив
(1.2.20) друг на друга получим
1.0
7g 41 0 V 41x 0 — V 40x 0 q 41
─── 4 0= 4 0─────────── = ──── (1.2.21)
7g 42 0 V 42x 0 — V 40x 0 q 42
ш2.0
Определив из формулы (1.2.16) значения для V 40x 0,V 41x 0,V 42x 0и подста-
вив их в (1.2.21) можно получить отношение q 41 0 к q 42 0и если оно
равно отношению целых чисел то мы вправе утверждать , что оба

— 15 —
заряда кратны одному и тому же значению — элементарному электри-
ческому заряду, который по современным данным равен
e=1.6021892*10 5-19 0Кл.

ш2.0
— 16 —
1_ 0 11.3 0 1Скин эффект в цилиндрической геометрии.
Скин-эффект (от англ. skin-кожа) — это явление затухания
электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящую сре-
ду. Переменное во времени электрическое поле 3 0и связанное с ним
магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены
большей частью в относительно тонком приповерхностном слое толщи-
ной 7 d 0, называемом 1 глубиной скин-слоя 0. Происхождение скин-эффекта
объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в
проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компен-
сирует внешние поле в объеме проводника. Скин-эффект проявляется
у металлов, в плазме и в других средах с достаточно большой про-
водимостью[12,15].
Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s 0, цик-
лической частоты электромагнитного поля 7 w 0, от состояния поверх-
ности. На малых частотах 7 d 0 велика, убывает с ростом частоты и для
металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой
с длинной волны 7 l` 010 5-5 0 см. При еще больших частотах, превышающих
1плазменную частоту 0, в проводниках оказывается возможным распрост-
ранение электромагнитных волн. Их затухание определяется как
внутризонными, так и межзонными электронными переходами.
Теоретическое описание скин-эффекта сводится к решению кине-
тического уравнения для носителей заряда с целью определения свя-
зи тока с полем и последующему решению уравнений Максвелла. Наи-
более просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет
место, когда 7 d 0 велика по сравнению с эффективной длиной 7 0 пробега
l электронов. Величина l определяется расстоянием, проходимым

— 17 —
электроном за время 7 t 0 между двумя актами рассеяния( 7t 0-время релак-
сации) либо за период поля 1/ 7w 0 в зависимости от того, какая из
этих величин меньше. В общем случае
v
l= ────────, (1.3.1)
7t 5-1 0-i 7w
где v-скорость электрона.
Известно 3 вида скин-эффекта нормальный, аномальный и нели-
нейный.
В случае аномального скин-эффекта происходит рассмотрение си-
туации, когда l > 7 d 0; он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых ме-
таллах при низких температурах.
При достаточно высоких значениях напряженности электромагнит-
ного поля, когда параметры среды, например проводимость 7 d 0, начи-
нают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т.е.
толщина скин-слоя 7 d 0 также начинает зависеть от интенсивности
электромагнитного поля.
Подробно рассмотрим распределение плотности тока по сечению
проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный
ток , т.е. нормальный скин-эффект. Точное решение зависит , вооб-
ще говоря , не только от формы проводника, но и от способа воз-
буждения в нем тока, т.е. от характера внешнего переменного маг-
нитного поля , индуцирующего ток. Есть однако важный случай, ког-
да распределение тока можно считать независящим от способа его
возбуждения. Это ток в тонком проводе, толщина которого мала по
сравнению с его длиной.
При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода
будем считать последний прямолинейным. При этом электрическое по-

— 18 —
ле параллельно оси провода, а вектор напряженности магнитного по-
ля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода[12].
Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно
прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен. Действи-
тельно, в силу симметрии на поверхности провода вектор напряжен-
ности электрического поля зависит только от времени. Но при таком
граничном условии уравнения
76 6
div E = 0 и rot E = 0 7 0 7 0 (1.3.2)
76
в пространстве вне провода имеет лишь решение E = const 7 0не зави-
сящие от пространственных координат во всем пространстве. Отсюда
следует, что магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким
оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному
мгновенному значению переменного тока.[15]
Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса R. Исполь-
зуя уравнения Максвелла и выражение для rot в цилиндрической
системе координат
ш1.0
76 0 │ 7 ( 0 4 7 ) ( )
76 0 7ч 0B 7ы 0 │ 76 2 01 7 0 7ч 0E 4z 7ч 0E 7f 4 726 2 ч 0E 4r 7 ч 0E 4z 726
rotE=-──── ; │ rotE= 72 0- 7 0──── 4 0- 4 ───── 72 0e 4r 0+ 72 0──── + 4 0──── 72 0e 7f 0+
7ч 0t │ 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2
(1.3.3) │ 7 9 0 4 70 9 0
76 0 │
76 0 76 ч 0D │ 7 ( 0 7 )
rotH=j+──── ; │ 7 2 01 7 ч 0(rE 7f 0) 7 01 7 ч 0E 4z 7 26
7ч 0t 7я 0 │ 7 0 + 72 0- 7 0────── 7 0- 4 0- 7 0───── 72 0e 4z 0 (1.3.4)
(1.3.5) │ 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2
Закон Ома │ 7 9 0 7 0
76 0 76 0 │
j= 7s 0E │ 7 ( 0 4 7 ) ( )
(1.3.6) │ 76 2 01 7 0 7ч 0H 4z 7ч 0H 7f 4 726 2 ч 0H 4r 7 ч 0H 4z 726
│ rotH= 72 0- 7 0──── 4 0- 4 ───── 72 0e 4r 0+ 72 0──── + 4 0──── 72 0e 7f 0+
Материальные урав-│ 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2
нения │ 7 9 0 4 70 9 0

— 19 —
ш1.0
76 6 0 7) 0 │ 7( 0 7 )
D= 7ee 40 0E 72 0 (1.4.7) │ 72 01 7 ч 0(rH 7f 0) 7 01 7 ч 0H 4z 7 26
76 0 76 0 72 0 │ 7 0+ 72 0- 7 0────── 7 0- 4 0- 7 0───── 72 0e 4z 0 (1.3.8)
B= 7mm 40 0H 70 0 │ 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2
79 0 7 0
76 0 7 6
76 ч 0H 76 0 76 ч 0E
rotE=- 7mm 40── 0 (1.3.9); rotH= 7s 0E+ 7ee 40── 0 (1.3.10);
7ч 0t 7 0 7 ч 0t
7ч
Из симметрии задачи видно , что ──=0 , тогда получим
7чf
7ч 0E 7f ч 0H 4r 7 0 │ 7 ч 0H 7f 4 7 ч 0E 4r
— ─── =- 7mm 40 0─── (1.3.11) │ — ───= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0─── (1.3.12)
7ч 0z 7 ч 0t 7 0 │ 7 ч 0z 7 4 7 ч 0t
│
7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 │ 7 ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f
─── — ───=- 7mm 40 0─── (1.2.13) │ ─── — ───= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0───(1.3.14)
7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t │ 7 ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t
│
1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 0 │ 7 01 7ч 0(rH 7f 0) 7 0 7ч 0E 4z
— ──────=- 7mm 40 0─── (1.3.15) │ — ──────= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0─── (1.3.16)
r 7ч 0r 7ч 0t │ 7 0r 7ч 0r 7 0 7ч 0t
Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы
ш1.0
1 7 ч 0(rH 7f 0) 7 ч 0E 4z 0 7) 0 │ 1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 7 )
— ──────= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0─── (а) 72 0 │ — ──────=- 7mm 40 0─── 7 2
r 7 0 7ч 0r 7 ч 0t 72 0 │ r 7ч 0r 7ч 0t 7 2
72 0 │ 7 2
7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 72 0 │ 7ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f 2
─── — ───=- 7mm 40 0─── (б) 78 0(1)│ ─── — ───= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0─── 7 8 0(2)
7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t 72 0 │ 7ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t 7 2
72 0 │ 7 2
7чHf 0 7 4 7ч 0Er 72 0 │ 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4r 7 2
— ───= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0─── (в) 72 0 │ — ─── =- 7mm 40 0─── 7 2
7ч 0z 7 0 7 4 7ч 0t 70 0 │ 7ч 0z 7 ч 0t 7 0
│
С компонентами E 4z 0,H 7f 0,E 4r 0 эта сис-│С компонентами H 4z 0,E 7f 0,H 4r 0 эта сис-
тема описывает скин-эффект. │тема описывает вихревые токи.
ш2.0
Будем рассматривать только первую систему, описывающую скин-
эффект.
Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле перио-
дически меняется во времени, то оно будет периодически меняться и
во всех остальных точках проводника. При отыскании периодических
решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобно пользовать-
ся комплексной показательной функцией, а затем с помощью извест-

— 20 —
ной формулы Эйлера
ш1.0
4i 7ф
e 4 = 0cos 7a 0+isin 7a 0; (1.3.17)
ш2.0
перейти к вещественной форме решения.
Кроме того отметим, что уравнения в системе (1) линейны и од-
нородны и следовательно для них выполняется принцип суперпозиции
сумма произвольного числа решений уравнения сама является решени-
ем того же уравнения.
Ищем решение системы (1) в виде
ш1.0
i 7w 0t 7 ч )
E 4z 0=E 4z 0(r)e ──=i 7w 2
i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 2 0 (1.3.18)
H 7f 0=H 7f 0(r)e 7 ┌ ч 2
i 7w 0t => ──=-ik 4z 7 2
E 4r 0=E 4r 0(r)e 7 ч 0z 7 0
Положим k 4z 0=0 так , как мы ищем колебательное решения , а не
волновое. Кроме того считаем , что 7 s > e 40 7ew 0 поэтому 7 e 0=0.
Тогда
│
ik 4z 0H 7f 0= 7s 0E 4r 0 => E 4r 0=0 (1.3.19) │
│
│ 7s 0 7 ч 0E 4z
7ч 0E 4z 7я 0 │ H 7f 0 = ──────── ───── (1.3.22)
───── = i 7mm 40 7w 0H 7f 0 (1.3.20) │ i 7mm 40 7ws 0 7ч 0r
7ч 0r │
│
7ч 0H 7f 0 1 │
─── + ─ H 7f 0 = 7 s 0E 4z 0 (1.2.21) │
7ч 0r r
7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
──── + ─ ─── 4 0- i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.23)
7ч 0r 52 0 r 7ч 0r
Рассмотрим 2 возможных случая
1) _Снаружи проводника . ( 7s 0=0)

— 21 —
ш1.0
┌ ┐
7ч 52 0E 4z 0 7 01 7 ч 0E 4z 0 1 7 ч 0 │ 7ч 0E 4z 0 │ 7 ч 0E 4z
──── + ─ ─── = 0 => ─ ──│ r─── │ = 0 => r─── = const 41
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r r 7 ч 0r│ 7 0 7ч 0r │ 7 ч 0r
└ ┘
7ч 0E 4z 0 const 41 7 ! 0 const 41
─── 4 0= ────── => E 4z 0= 72 0 ────── dr (1.3.24)
7ч 0r 7к 0 r 7 1 0 r
E 4z 0=const 41 0ln(r)+const 42 0 (1.3.25)
ш2.0
Т.к. при r 76$ 0 поле не может бесконечно возрастать => const 41 0=0,
следовательно E=const 42 0 т.е. не зависит от пространственных коор-
динат вокруг проводника.
2) _ Внутри проводника
7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
──── + ─ ─── 4 0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.26)
7ч 0r 52 0 r 7ч 0r
Очевидны граничные условия
ш1.0
I
E 4z 0│ =E 4z 0│ и H 7f 0│ =H 7f 0│ = ───
│r=R │r=R │r=R │r=R 2 7p 0R (1.3.27)
Таким образом мы получили уравнение
7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z
──── + ─ ─── 4 0+ k 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.28)
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r
где k 52 0=-i 7mm 40 7ws
7ы 0 ┌ 1 ┐ 7ч 0E 4z
H 7f 0=│ ───── │ ─── (1.3.29)
└ i 7mm 40 7w 0 ┘ 7ч 0r
ш2.0
Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого
записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана ( или

— 22 —
ш2.0
Вебера )[8,18]
E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr)+BN 40 0(k 41 0r) (1.3.30)
Однако N 40 0(x) 76$ 0при x 76 00 , поэтому мы вынуждены отбросить это
решение и окончательно записать
E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr) (1.3.31)
Или общее решение
ш1.0
i 7w 0t
E(r,z,t)=AJ(kr)e (1.3.32)
7| 0 1-i 7|\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|\
т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5 ──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
7| | |
7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02
ш2.0
7d 0 — глубина проникновения.
Как известно , расчет значений функции Бесселя комплексного
аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную
задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной сте-
пенью наглядности.
Вместе с тем хорошо известно , что уравнение вида
ш1.0
7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z
──── + ─ ─── 4 0- i 7l 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.33)
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r
7l 52 0= 7mm 40 7ws 0 ; 7 l 0=1/ 7d
ш2.0
имеет решение в виде комбинации функций Кельвина

— 23 —
ш2.0
E 4z 0=A[ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)]+B[ker 40 0( 7l 0r)+kei 40 0( 7l 0r)] (1.3.34)
Причем функции ker 40 0( 7l 0r) и kei 40 0( 7l 0r) мы должны отбросить по тем
же соображениям , что и функции Неймана в предыдущем решении.
Это же легко подтвердить из следующих соображений
ш0.9
7| 0 -i 7p 0/4
(1-i)/ 7? 02 7 0=e (1.3.35)
Тогда согласно [8] получим
-i 7p 0/4
ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)=I 40 0( 7l 0re ) (1.3.36)
ш2.0
Очевидно , что ber 40 0( 7l 0r)=Re{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.37)
bei 40 0( 7l 0r)=Jm{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.38)
Очевидно , что общее решение будет иметь вид
ш0.8
i 7w 0t
E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}e (1.3.39)
ш1.0
Преобразуем последнее выражение
E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}{cos( 7w 0t-k 4z 0z)+isin( 7w 0t)}=
┌ ┐
=A│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)-ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│+
└ ┘
┌ ┐
+i│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)+ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│=
└ ┘
┌ 7 |\\
=A│((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 7 0cos( 7w 0t+ 7f 0)+
└
7|\\ 0 ┐
+i((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0 sin( 7w 0t+ 7f 0)│; (1.3.40)
┘
bei 40 0(r/ 7d 0)
где tg 7f 0=───────────
ber 40 0(r/ 7d 0)
7|\\
E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0{cos( 7w 0t+ 7f 0)+isin( 7w 0t+ 7f 0)} (1.3.41)

— 24 —
ш2.0
Далее необходимо перейти к вещественной форме решения , так
как только такие решения имеют физический смысл. Как было показа-
но выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным
решениям.
ш1.0
7|\\
E 4z1 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.42)
7|\\
E 4z2 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0sin( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.43)
7|\
где 7 f 0 — определяется выше , а 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
ш2.0
Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно
перейти к косинусу путем изменения начала отсчета времени.
Окончательно получим
ш1.0
┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│ │
│ E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+(bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.44) │
│ │
│ │
│ bei 40 0(r/ 7d 0) 7 0 7|\ 0 │
│ где 7 f 0= arctg─────────── ; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7 w 0=2 7pn 0 │
│ ber 40 0(r/ 7d 0) │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘
ш2.0
7n 0 — частота переменного тока
7m 0 — магнитная проницаемость проводника
7m 40 0=4 7p 0*10 5-7 0 Гн/м — магнитная постоянная
7s 0 — проводимость проводника
Постоянную A можно определить зная полный ток в любой момент
времени
ш1.0 7
4R R
7! ! !
I(t)= 72 0jdS= 72s 0E 4z 02 7p 0rdr=2 7ps2 0E 4z 0(r,t)rdr (1.3.45)
71 1 1
50 0

— 25 —
ш1.0
7|\\\\\\
Графики функций ber 40 0(x),bei 40 0(x), 7? 0((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+bei 40 0(r/ 7d 0) 52 0),
7f 0(x) в приложении (на рис. 4,5).
ш1.0
При высоких частотах.
x>>1
7| | |
ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.46)
7| | |
ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.47)
Тогда x=r/ 7d
┌ 7 | |
E 4z 0(r,t)=A│(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)cos 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8)+
└
7| 0 7| 0 5┐
+(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)sin 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 5│ 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.48)
5┘
7| |
7? 02 7p 0x 7 0sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 7 |
7f 0=arctg───────────────────────=arctg{tg((x/ 7? 02)- 7p 0/8)} (1.3.49)
7| |
7? 02 7p 0x 7 0cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8)
7|
7f 0=(x/ 7? 02)- 7p 0/8
┌──────────────────────────────────────────────────────────────┐
│E 4z 0(r,t)=A(2 7p 0r/ 7d 0) 5-1/2 0exp(r/ 7d 02 51/2 0)cos( 7w 0t+(r/ 7d 02 51/2 0)- 7p 0/8) (1.3.50)│
└──────────────────────────────────────────────────────────────┘
ш2.0
При малых частотах.
x 76 00 ber(x) 7~ 01 ; bei(x) 7~ 0x 52 0/4 ; tg 7f~ 0x 52 0/4 7~f
Тогда E 4z 0(r,t)=A(1+x 54 0/16) 51/2 0cos( 7w 0t+x 52 0/4) (1.3.51)

ш2.0
— 26 —
1_ 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии.
Цилиндрические функции табулированы, однако их машинный рас-
чет является достаточно длительной по времени задачей. Покажем ,
что плоской геометрии решения очень похожи на решения в цилиндри-
ческой геометрии , причем функции sin, exp, cos считаются намного
быстрее.
Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, по которой
течет ток (шина) (рис.6)
Ф-
ш1.0
│ 7 6 6 6
76 0 │ 4 0│ e 4x 0 4 0e 4y 0 4 0e 4z 0 │ ┌ ┐ ┌ ┐
76 0 7ч 0B │ 76 0 │ │ 4 76 4 0│ 7ч 0E 4z 0 7ч 0E 4y 0│ 76 4 0│ 7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 0│
rotE=-── │ 7 0rotE=│ 7ч 0/ 7ч 0x 7 ч 0/ 7ч 0y 7 ч 0/ 7ч 0z│=e 4x│ 0─── — ───│+e 4y│ 0─── — ───│+
7ч 0t │ │ │ 4 0│ 7ч 0y 7ч 0z │ 4 0│ 7ч 0z 7ч 0x │
(1.4.1) │ │ E 4x 0 E 4y 0 E 4z 0 │ └ ┘ └ ┘
76 0 │
76 0 76 0 7ч 0D │
rotH=j+── │ ┌ ┐
7ч 0t │ 76 4 0│ 7ч 0E 4y 0 7ч 0E 4x 0│
(1.4.2) │ +e 4z│ 0─── — ───│ (1.4.3)
76 6 0 │ 4 0│ 7ч 0x 7ч 0y │
j= 7s 0E 7о 0 │ └ ┘
76 4 76 0 ├────────────────────────────────────────────────────
D= 7ee 40 0E │ 7 6 6 0 76 6 6
76 4 76 0 │ rotE=- 7mm 40 7ч 0H/ 7ч 0t (1.4.4); rotH= 7s 0E+ 7ee 40 7ч 0E/ 7ч 0t (1.4.5)
B= 7mm 40 0H │
Из симметрии задачи очевидно , что 7 ч 0/ 7ч 0y=0
7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x 0 4│ 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x
-─── =- 7mm 40 0─── (1.4.6) 4│ 0 -─── = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0─── (1.4.7)
7ч 0z 7 ч 0t 4 0 4│ 0 7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t
4│
7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 0 4│ 0 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y
4─── 0 — ─── =- 7mm 40 0─── (1.4.8) 4│ 0 ─── — ─── = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0─── (1.4.9)
7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4│ 0 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t
4│
7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z 0 4│ 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z
─── =- 7mm 40 0─── (1.4.10) 4│ 0 ─── = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0─── (1.4.11)
7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4│ 0 7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t
Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы
7) 0 │
7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z 7 2 0 │ 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x
─── = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0─── (a) 78 0 (a)│ -─── =- 7mm 40 0───
7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t 7 0 0 │ 7ч 0z 7 ч 0t

— 27 —
7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 7 ) 0 │ 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y
4─── 0 — ─── =- 7mm 40 0─── (b) 72 0 │ ─── — ─── = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0───
7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 0 7 ч 0t 7 0│ │ 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t
78 0 (a)│
7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x 7 2 0 │ 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z
-─── = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0─── (c)│ │ ─── =- 7mm 40 0───
7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t 7 2 0 │ 7ч 0x 7 ч 0t
70 0 │
────────────────────────────────┼────────────────────────────────
С компонентами E 4z 0,H 4y 0,E 4x 0 , эта │ С компонентами H 4z 0,E 4y 0,H 4x 0 , эта
система описывает скин-эффект │ система описывает вихревые токи
────────────────────────────────┴────────────────────────────────
Занимаемся только системой (a) и ищем решения в виде
ш1.0
7)
i 7w 0t 7 ч 2
E 4z 0=E 4z 0(r)e ──=i 7w 2
i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 8 0 (1.4.12)
H 4y 0=H 4y 0(r)e 7 ┌ ч 2
i 7w 0t => ──=-ik 4z 7 2
E 4x 0=E 4x 0(r)e 7 ч 0z 7 2
70
7ч 0H 4y
───= 7s 0E 4z 0 (1.4.13)
7ч 0x
7ч 0E 4z 0 7ы
─── = i 7mm 40 7w 0H 4y 0 (1.4.14)
7ч 0x
E 4x 0= 0 (1.4.15)
7s 0 7 ч 0E 4z
H 4y 0= ─────── 7 0─── (1.4.16)
i 7mm 40 7ws ч 0x
7ч 52 0E 4z
──── — i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.17)
7ч 0x 52
Таким образом имеем уравнения
Внутри проводника │ Снаружи проводника ( 7s 0=0)
──────────────────────────────────┼──────────────────────────────
7ч 52 0E 4z 0 │ 7ч 52 0E 4z
──── — i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.18) │ ──── = 0 (1.4.19)
7ч 0x 52 0 │ 7ч 0x 52
│
Очевидны граничные условия │ Решение
│ E 4z 0=const 41 0x+const 42 0 (1.4.22)
E 4z 0│ = E 4z 0│ (1.4.20) │ Так как поле не может бес-
│r=R │r=R │ конечно возрастать то
4внутри 5 4снаружи 0 │ const 41 0=0
│ Поле вне проводника пос-

— 28 —
ш1.0
H 4y 0│ = H 4y 0│ (1.4.21) │ тоянно , не зависит от
│r=R │r=R │ пространственных координат
4внутри снаружи │
│
По теореме о циркуляции легко │ E 4z 0=const 42
получить 5│
76 0 76 0 5│ 0 7ee 40 0 1 7 ч 0E 4z
7# 0Hdl=I (1.4.23) 5│ 0 H 4y 0= ─── ─ 7 0─── 7── 0 (1.4.24)
5│ 0 7mm 40 7 s ч 0x
5│ 0 5└ 0───┘
I 5* 0 5│ 0 5неопределенность
7H 4y 02l=I 5* 0l => H 4y 0=──── (1.4.25) 5│ 0 Магнитное поле такое же ,
2 5│ 0 как оно было бы вокруг про-
5│ 0 вода с постоянным током ,
I 5* 0 — линейная плотность тока 5│ 0 равным мгновенному значению
5│ 0 переменного тока.
ш1.0
Таким образом имеем уравнение
7ч 52 0E 4z
──── — k 52 0E 4z 0=0 (1.4.26)
7ч 0x 52
где k 52 0=i 7mm 40 7ws
Решение этого уравнения хорошо известно[18]
E(x) = Ae 5ikx 0+Be 5-ikx 0 (1.4.27)
7| 0 1-i 7|\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|\
т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5 ──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
7| | |
7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02
из геометрии задачи видно , что E 4z 0(x)=E 4z 0(-x) => A=B. Следова-
тельно решение уравнения можно записать в виде
E(x) = A{e 5ikx 0+e 5-ikx 0} (1.4.28)
Тогда общее решение можно записать в виде ( переобозначив не-
которые выражения x/(2 51/2 7s 0)=y , а 7w 0t-k 4z 0z= 7a 0 )
4i 7ф
E 4z 0=A{e 5y 0e 5iy 0+e 5-y 0e 5-iy 0}e =A{e 5y 0(cosy+isiny)+e 5-y 0(cosy-isiny)}*
*{cos 7a 0+isin 7a 0}=A{(e 5y 0+e 5-y 0)cosy+i(e 5y 0-e 5-y 0)siny}{cos 7a 0+isin 7a 0}=
┌
=A│{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0-(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}+
└
┐
+i{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0+(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}│=
┘
A{(e 5y 0+e 5-y 0)cos 52 0y+(e 5y 0-e 5-y 0)sin 52 0y} 51/2 0{(cos 7f 0sin 7a 0-sin 7f 0cos 7a 0)+

— 29 —
+i(cos 7f 0sin 7a 0+sin 7f 0cos 7a 0)} (1.4.29)
ш1.0
(e 5y 0-e 5-y 0)siny 5 0e 5y 0-e 5-y
где tg 7f 0=────────────── 5 0= 5 0──────── tgy
(e 5y 0+e 5-y 0)cosy 5 0e 5y 0+e 5-y
Тогда вправе переписать
┌──────────────────────────────────────────────── 5─ 0────────┐
│ │
│ E 4z 0=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0{cos( 7a 0+ 7f 0)+isin( 7a 0+ 7f 0)} (1.4.30) │
│ │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘
ш2.0
Далее следует перейти к вещественной форме решения , так как
только такие решения имеют физический смысл. Приведенное выше
комплексное решение эквивалентно двум вещественным. Оба решения
одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в косинус ,
путем изменения начала отсчета времени. По этим же соображениям
путем изменения начала системы отсчета всегда можно положить z=0.
Окончательно получим
ш1.0
┌──────────────────────────────────────────────────────────┐
│ E 4z 0(r,t)=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.31) │
│ │
│ e 5y 0-e 5-y 0 x 7|\ 0 │
│ 7f 0=arctg 5 0──────── tgy ; y=─────── ; 7 d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7w 0=2 7pn 0 │
│ e 5y 0+e 5-y 0 2 51/2 7d 0 │
└──────────────────────────────────────────────────────────┘
Т.е. решения аналогичны цилиндрическим.
Интересен предел высоких частот 7w6$ 0; 7d6$ 0;y 76$
┌───────────────────────────────────┐
│ │
│ E 4z 0(x,t)=Ae 5y 0cos( 7w 0t+y) (1.4.32) │
│ │
└───────────────────────────────────┘
x
y= ─────── (1.4.33)
2 51/2 7d

— 30 —
Предел низких частот 7w6 00; 7d6 00;y 76 00
ш1.0
┌─────────────────────────────────────────────────────┐
│ E 4z 0(r,t)=A(1+2y+1-2y+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.34) │
│ │
│ │
│ 1+y-1+y │
│ tg 7f 0=───────y=y 52 0 │
│ 1+y+1-y │
│ │
│ │
│ E 4z 0(r,t)=A(2+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.35) │
│ │
│ │
│ E 4z 0(r,t)=A(2(1+cos2y)) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.36) │
│ │
│ │
│ E 4z 0(r,t)=A2│cosy│cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.37) │
└─────────────────────────────────────────────────────┘
ш2.0
Важно заметить, что в формулах (1.3.31) и (1.3.44) существует
дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошо заметна
при сравнении рисунков 10 и 11.
Очевидно, что существует приповерхностный слой с плотностью
тока противоположно направленной поверхностному току.
Для наблюдения этого эффекта нужно сравнить графики в прог-
раммах skin.exe (с учетом фазового слагаемого) и skin_1.exe (без
учета).

ш2.0
— 31 —
_ 2Глава 2
1″ Математические методы исследования процессов »
1_ 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (далее ОДУ) широко
используются для математического моделирования процессов и явле-
ний в различных областях науки и техники.
В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неиз-
вестных величин входят функция y(x) и ее первые n производных по
аргументу x
7f 0(x,y,y’,…y 5(n) 0)=0. (2.1.1)
Из теории ОДУ известно, что уравнение (2.1.1) эквивалентно
системе n уравнений первого порядка
7f 4k 0(x,y 41 0,y’ 41 0,y 42 0,y’ 42 0,…,y 4n 0,y’ 4n 0)=0, (2.1.2)
где k=1,2,…,n.
Уравнение (2.1.1) и эквивалентная ему система (2.1.2) имеют
бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с
помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять ис-
комые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают-
ся три типа задач, для которых доказано существование и единс-
твенность решений.
Первый тип — это задачи Коши, или задачи с начальными услови-

— 32 —
ями. Для таких задач кроме исходного уравнения (2.1.1) в некото-
рой точке x 40 0 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения
функции y(x) и ее производных
y(x 40 0)=y 40 0 ; y'(x 40 0)=y 410 0,…,y 5(n-1) 0(x 40 0)=y 4n-1,0 0. (2.1.3)
Для системы ОДУ типа (2.1.2) начальные условия задаются в виде
y 41 0(x 40 0)=y 410 0 ; y 42 0(x 40 0)=y 420 0,…,y 4n 0(x 40 0)=y 4n0 0. (2.1.4)
Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или
краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде
функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество
условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если
решение задачи определяется в интервале x 7е 0[x 40 0,x 4k 0], то такие усло-
вия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.
Минимальный порядок ОДУ, для которого может быть сформулирована
граничная задача, равен двум.
Третий тип задач для ОДУ — это задачи на собственные значе-
ния. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y(x)
и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных
параметров 7 l 41 0, 7l 42 0, 7l 43 0,…, 7l 4m 0, которые называются собственными зна-
чениями. Для единственности решения на интервале [x 40 0,x 4k 0] необхо-
димо задать n + m граничных условий. В качестве примера можно
назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов дис-
сипации, структуры электромагнитных полей и механических напряже-
ний в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффици-
ентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей по-

— 33 —
лей волновых процессов и т.д.
К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не уда-
ется построить аналитическое решение задачи через известные функ-
ции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более
эффективными даже при наличии аналитических решений [10].
Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типа задач.

ш2.0
— 34 —
1_ 2.2 0 1Задача Коши. (Метод Рунге-Кутту 2-го порядка).
Систему ОДУ (2.1.2) часто удается представить в каноническом
виде, в так называемой форме Коши
ш0.9
dy 4k 0(x)
──────── = f 4k 0(x,y 41 0,y 42 0,…,y 4n 0), (2.2.1)
dx
ш2.0
где k=1,2,…,n.
При формулировке задачи Коши система (2.2.1) дополняется на-
чальными условиями (2.1.4). Для простоты рассмотрим задачу Коши
для одного уравнения типа (2.2.1), а затем полученные алгоритмы
обобщим на систему n уравнений
ш0.9
dy(x)
─────── = f(x,y), y(x 40 0)=y 40 0. (2.2.2)
dx
ш2.0
В окрестности точки x 40 0 функцию y(x) разложим р ряд Тейлора
ш0.9
(x-x 40 0) 52
y(x)=y(x 40 0)+(x-x 40 0)y'(x 40 0)+─────────y»(x 40 0)+…, (2.2.3)
2
ш2.0
который можно применить для приближенного определения искомой
функции y(x). D njxrt x 40 0 + h при малых значениях h можно ограни-
чится двумя членами ряда (2.2.3), тогда
y(x 40 0+h)=y 40 0+hy'(x 40 0)+O(h 52 0), (2.2.4)
где O(h 52 0)-бесконечно малая величина порядка h 52 0. Но такой метод
дает очень существенные погрешности.
Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, исполь-
зующего разложение искомого решения в ряд Тейлора (2.2.3), необ-

— 35 —
ходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом
возникает необходимость аппроксимации производных от правых час-
тей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что
производные аппроксимируются через значения функции f(x,y) в точ-
ках на интервале [x 40 0,x 40 0+h], которые выбираются из условия наи-
большей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от стар-
шей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычис-
лительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности [10].
Рассмотрим схемы второго порядка точности. Для этого порядка
точности полечено однопараметрическое семейство схем вида
y(x 40 0+h)=y 40 0+h[(1- 7a 0)f 40 0+ 7a 0f(x 40 0+ 7g 0h,y 40 0+ 7g 0f 40 0h)]+O(h 53 0), (2.2.5)
где 0 7 0< 7 a , 0 1 - свободный параметр,
f=f(x,y), 7 g 0=(2 7a 0) 5-1 0.
Локальная погрешность схем (2.2.5) имеет 3-й порядок, гло-
бальная 2-й; т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме, равномер-
но сходится к точному решению с погрешностью O(h 52 0).
Для параметра 7 a 0 наиболее часто используют значения 7 a 0=0,5 и
7a 0=1. В первом случае формула (2.2.5) приобретает вид
y(x 40 0+h)=y 40 0+h[f 40 0+f(x 40 0+h,y 40 0+hf 40 0)]/2, (2.2.6)
геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 7
Вначале вычисляется приближенное решение ОДУ в точке x 40 0 + h по
формуле Эйлера y 4Э 0= 4 0y 40 0+ 4 0hf 40 0. Затем определяется наклон интег-

— 36 —
ральной кривой в найденной точке f(x 40 0+h,y 4Э 0), и после нахождения
среднего наклона на шаге h находится уточненное значение
y 4RK 0=y(x 40 0+h). Схемы подобного типа называют «прогноз-коррекция»,
что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого
порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о пове-
дении интегральной кривой [10].
С целью экономии памяти при программировании алгоритма
(2.2.6), обобщенного на системы ОДУ, изменим его запись с учетом
того, что y 40 0=y 4Э 0-hf 40
y 4k 0(x 40 0+h)=y 4kЭ 0+h[f 4k0 0-f 4k 0(x 40 0+h,y 4kЭ 0)]/2, (2.2.7)
где k — номер решения для системы ОДУ.
Во втором случае при 7a 0=1 от формулы (2.2.5) переходим к схеме
y(x 40 0+h)=y 40 0+hf(x 40 0+h/2,y 40 0+hf 40 0/2), (2.2.8)
геометрический смысл которой отражает рис. 8. Здесь при прогно-
зе определяется методом Эйлера решение в точке x 40 0+h/2
y 41/2 0=y 40 0+hf 40 0/2, (2.2.9)
а после вычисления наклона касательной к интегральной кривой в
средней точке решение корректируется по этому наклону.

ш2.0
— 37 —
1_ 2.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка.
Для построения вычислительных схем методов Рунге-Кутты чет-
вертого порядка в тейлоровском разложении искомого решения y(x)
учитываются члены, содержащие степени шага h до четвертой включи-
тельно. после аппроксимации правой части ОДУ f(x,y) получено се-
мейство схем Рунге-Кутты четвертого порядка, из которых наиболее
используемой в вычислительной практике является следующая
y(x 40 0+h)=y 40 0+(k 41 0+2k 42 0+2k 43 0+k 44 0)/6+O(h 55 0), (2.3.1)
где
k 41 0=hf(x 40 0,y 40 0),
k 42 0=hf(x 40 0+h/2,y 40 0+k 41 0/2),
k 43 0=hf(x 40 0+h/2,y 40 0+k 42 0/2),
k 44 0=hf(x 40 0+h,y 40 0+k 43 0).
Схема (2,3,1) на каждом шаге h требует вычисления правой час-
ти ОДУ в 4-х точках. Локальная погрешность схемы имеет 5-й поря-
док, глобальная — 4-й. Схема обобщается для систем ОДУ, записан-
ных в форме Коши. Для удобства программной реализации, особенно в
случае систем ОДУ, формулы (2,3,1) рекомендуется преобразовать к
виду
y 4i 0(x 40 0+h)=y 4i0 0+(q 4i1 0+2q 4i2 0+2q 4i3 0+q 4i4 0)/3+O(h 55 0), (2.3.2)
где

— 38 —
q 4i1 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0,y 4i0 0), h 42 0=h/2
q 4i2 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0+h/2,y 4i0 0+q 4i1 0),
q 4i3 0=hf 4i 0(x 40 0+h/2,y 4i0 0+q 4i2 0),
q 4i4 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0+h,y 4i0 0+q 4i3 0),
i=1,2,…,n — номер уравнения в системе ОДУ из n уравнений.
В приводимом тексте программ рассматривается решение уравне-
ния Ван дер Поля
y»+p(y 52 0-1)y’+y=0, (2.3.3)
которое является математической моделью автоколебательных механи-
ческих и электронных схем. Параметр p в уравнении (2,3,3) опреде-
ляет нелинейные свойства системы. Для малых (p << 1) и больших
(p >> 1) значения параметра p в теории колебаний развиты прибли-
женные методы аналитического решения уравнения Ван дер Поля. Для
промежуточных значений параметра p уравнение приходится решать
численными методами[10].
Для приведения уравнения (2,3,3) к форме Коши введем обозна-
чения y 41 0(x)=y(x),y 42 0(x)=y'(x), тогда получим систему уравнений
ш1.0
7(
72 0y’ 41 0(x)=y 42 0(x),
7* 0 (2.3.4)
72 0y’ 42 0(x)=p(1-y 52 41 0(x))y 42 0(x)-y 41 0(x).
79
ш2.0
Оценку погрешности решений системы ОДУ, получаемых методом
Рунге-Кутты четвертого порядка, можно провести можно провести по
формуле
ш1.0
y 4h 0(x)-y 4kh 0(x)
R 40 0=───────────── 5─ 0 , (2.3.5)
k 5p 0-1

— 39 —
которая при кратности изменения шага k=2 принимает вид
R 40 0=[y 4h 0(x)-y 42h 0(x)]/15 (2.3.6)
ш2.0
Однако эта формула требует значительных затрат времени для пов-
торного расчета.
Рассмотрим тексты программ реализованных на Паскале.
PROGRAM RUNGE-KYTTE_4
TYPE VEC=ARRAY [1..8] OF REAL;
VAR P,X,X9,H REAL;
Y VEC;
CH CHAR;
{——ПРОИЗВОДНЫЕ——}
PROCEDURE RP(X REAL;VAR Y,R VEC);
BEGIN
F[1] =Y[2];
F[2] =P*(1.0-SQR(Y[1]))*Y[2]-Y[1];
END;
{——МЕТОД РУНГЕ-КУТТЫ 4-го ПОРЯДКА——}
PROCEDURE RK4(N INTEGER; X,H REAL; VAR Y VEC);
VAR I,J INTEGER;
H1,H2,Q REAL;
Y0,Y1,F VEC;
BEGIN
H1 =0.0;
H2 =H/2;

— 40 —
FOR I =1 TO N DO
BEGIN
Y0[I] =Y[I];
Y1[I] =Y[I];
END;
FOR J =1 TO 4 DO
BEGIN
RP(X+H1,Y,F);
IF J=3 THEN H1 =H ELSE H1 =H2;
FOR I = TO N DO
BEGIN
Q =H1*F[I];
Y[I] =Y0[I]+Q;
IF J=2 THEN Q =2+Q;
Y1[I] =Y1[I]+Q/3.0;
END;
END;
FOR I =1 TO N DO Y[I] =Y1[I];
END;
{———————}
BEGIN
REPET
WRITE(‘P,X,X9,H,Y[1],Y[2]?’);
READLN(P,X,X9,H,Y[1],Y[2]);
WHILE (X0.0) DO
BEGIN
RP4(2,X,H,Y);
X +X+H;

— 41 —
WRITELN(X,’ ‘,Y[1],’ ‘,Y[2]);
END;
WRITE(‘Еще разок ?(Y/N)’);
READLN(CH);
UNTIL (CH=’Y’)OR(CH=’y’);
END.

ш2.0
— 42 —
1_ 2.4 0 1Краткие сведения о функциях 0 1Бесселя.
Цилиндрические функции (бесселевы функции) — решения Z 7т 0 диф-
ференциального уравнения Бесселя
ш1.0
d 52 0Z dZ
z 52 0 ───── + z ──── + (z 52 0- 7n 52 0)Z=0 (2.4.1)
dz 52 0 dz
ш2.0
где 7 n 0 — произвольное действительное или комплексное число.
Если 7 n 0 не является целым числом, то общее решение уравнения
(2.4.1) имеет вид
Z 7т 0= 7 0c 41 0J 7т 0(z) 7 0+ 7 0c 42 0J 4- 7т 0(z), (2.4.2)
где с 41 0,с 42 0 — постоянные, а J 7т 0 и J 4- 7т 0 — так называемые цилиндричес-
кие функции 1-го рода, или функции Бесселя. Для них справедливо
разложение
ш1.0
7$ 4 m 7 т 4+2m
7░▒ 0 (-1) 5 0(0,5z)
J(z)= 7 ▓ 0 ───────────────── , (│arg z│ < 7p 0) (2.4.3)
7│┤ 0 7█ 0Г(m+1)Г(m+ 7n 0+1)
5m=0
7т
Ряд в правой части для z J 7т 0(z) сходится абсолютно и равномерно
ш2.0
при всех │z│ 7, 0R, │ 7n 0│ 7, 0N, где R и N — произвольные положительные
числа. Функции J 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) — аналитические , с особыми точками
z=0 и z= 7$ 0; производные функций J 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) удовлетворяют сле-
дующему тождеству
ш1.0
2sin 7np
z[J 7т 0(z)J’ 4- 7т 0(z)-J’ 7т 0(z)J 4- 7т 0(z)] = — ────────. (2.4.4)
7p
ш2.0

— 43 —
Если же 7 n 0 — целое, то J 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) линейно зависимы, и их
линейная комбинация уже не является общим решением уравнения
(2.4.1). Поэтому, наряду с цилиндрическими функциями 1-го рода,
вводят цилиндрические функции 2-го рода N 7n 0(z) (или Неймана функ-
ции, функции Вебера)
ш1.0
1
N 7т 0(z)=───────[J 7т 0(z)cos 7np 0-J 4- 7т 0(z)], (2.4.5)
sin 7np
ш2.0
(другое обозначение Y 7т 0(z)). При помощи этих функций общее решение
уравнения (2.4.1) может быть записано в виде
Z 7т 0=c 41 0J 7т 0(z)+c 42 0N 7т 0(z).
Важны для приложения и другие решения уравнения (2.4.1) — ци-
линдрические функции 3-го рода (или Ганкеля функции). Их обозна-
чают через H 7т 5(1) 0(z) и H 7т 5(2) 0(z) и, по определению, полагают
ш1.0
1 4 -i 7тз
H 7т 5(1) 0(z)=J 7т 0(z)+iH 7т 0(z)=──────── [J 4- 7т 0(z)-J 7т 0(z)e ], (2.4.6)
isin 7np
1 4 -i 7тз
H 7т 5(2) 0(z)=J 7т 0(z)-iH 7т 0(z)=──────── [J 7т 0(z)e -J 4- 7т 0(z)]. (2.4.7)
isin 7np
ш1.0
Справедливы тождества
7)
2 7 2
z[J 7т 0(z)N’ 7т 0(z)-J’ 7т 0(z)N 7т 0(z)] = ───. 7 2
7p 2
78 0 (2.4.8)
4i 7 2
z[H 7т 5(1) 0(z)H 7т 5(2) 0′(z)-H 7т 5(1) 0′(z)H 7т 5(2) 0(z)]= — ──── 7 2
7p 2
70

— 44 —
ш1.0
и соотношения
1
J(z) = ─ [H 7т 5(1) 0(z)+H 7т 5(2) 0(z)], (2.4.9)
2
1
H 7т 0(z)= ──── [H 7т 5(1) 0(z)-H 7т 5(2) 0(z)]. (2.4.10)
2i
ш2.0
Для действительных z=x и 7 n 0 функции Ганкеля являются комплекс-
но сопряженными решениями уравнения (2.4.1). При этом функции
J 7т 0(z) дают действительную часть, а функции N 7т 0(x) — мнимую часть
функций Ганкеля.
Цилиндрические функции 1-го, 2-го и 3-го рода удовлетворяют
рекуррентным формулам
ш1.0
7)
2 7n 2
Z 7т 4-1 0(z)+Z 7т 4+1 0(z)=──── Z 7т 0(z), 7 2
z 7 8 0 (2.4.11)
72
Z 7т 4-1 0(z)-Z 7т 4+1 0(z)=2Z’ 7т 0(z). 7 2
70
ш2.0
Каждая пара функций
J 7т 0(z),J 4- 7т 0(z); J 7т 0(z),Y 7т 0(z); H 7т 5(1) 0(z),H 7т 5(2) 0(z)
образует (при целом 7n 0) фундаментальную систему решений уравнения
(2.4.1).
Модифицированными цилиндрическими функциями называются ци-
линдрические функции мнимого аргумента

— 45 —
ш1.0
7( 0 4-i 7тз 4/2 7 0 4i 7з 4/2
72 0 e 7 0J 7т 0(e z), 7 0- 7p 0 < argz 7, 0 7p 0/2 ,
72
I 7т 0(z) = 7* 0 (2.4.12)
72 0 4-3i 7тз 4/2 7 0 4-3i 7з 4/2
72 0 e 7 4 7 0J 7т 0(e 4 0 z), 7 p 0/2 < argz 7, 0 7p 0,
79
и функции Макдональда
4i 7зт 4/2 7 4 7 4i 7з 4/2 0 4 -i 7зт 4/2 7 4 7 4-i 7з 4/2
K 7т 0(z)=(1/2)i 7p 0e 7 0H 5(1) 7т 0(e 4 0z)=-(1/2)i 7p 0e 7 4 7 0H 5(2) 7т 0(e 4 0z)=
4-i 7зт 4/2 7 4 7 4i 7з 4/2
=(1/2)i 7p 0e 7 4 7 0H 5(1) 7т 0(e 4 0z). (2.4.13)
Эти функции являются решениями дифференциального уравнения
d 52 0Z dZ
z 52 0 ───── + z ──── — (z 52 0+ 7n 52 0)Z=0 (2.4.14)
dz 52 0 dZ
и удовлетворяют рекуррентным формулам[8,9]
7)
2 7n 0 72
I 7т 4-1 0(z)+I 7т 4+1 0(z)= ──── I 7т 0(z), 7 2
z 7 0 78 0 (2.4.14)
2 7n 0 72
K 7т 4-1 0(z)-K 7т 4+1 0(z)=-──── K 7т 0(z). 72
z 7 0 70
K 4- 7т 0(z)=K 7т 0(z). (2.4.15)

ш2.0
— 46 —
1_ 2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина.
Функции Кельвина (или функции Томпсона) ber(z) и bei(z) —
определяются следующими соотношениями
ш1.0
43i 7з 4/4
ber 7т 0(z)+bei 7т 0(z)=J 7т 0(ze ) (2.4.16)
4-3i 7з 4/4
ber 7т 0(z)-bei 7т 0(z)=J 7т 0(ze 7 0 ) (2.4.17)
ш2.0 7
где J 7т 0 — вышеописанная функция Бесселя. При 7 n 0=0 индекс у знака
функции опускается. Функции Кельвина составляют фундаментальную
систему решений уравнения
z 52 0y»+zy’-(iz 52 0+ 7n 52 0)y=0, (2,4,18)
переходящего при z=x(i 51/2 0) в уравнение Бесселя.
Функции Кельвина представляются в виде
ш1.0
7$
7░▒ 4 5 0(-1) 5r 0z 54r 7▌█
ber(z)= 7 ▓ 4 0───────────── 5 , 0 (2.4.19)
7╞│┤ 4 02 54r 0[(2r)!] 52
4r=0
7$
7░▒ 4 5 0(-1) 5r 0z 54r+2 7▌█
bei(z)= 7 ▓ 4 0──────────────── . (2.4.20)
7╞│┤ 4 02 54r+2 0[(2r+1)!] 52
4r=0
Асимптотические представления[8,9]

— 47 —
ш1.0
7ф 4(z)
e
ber(z)=─────── 4── 0─ cos 7b 0(z), (2.4.21)
(2 7p 0z) 51/2
7ф 4(z)
e
bei(z)=─────── 4── 0─ sin 7b 0(z), (2.4.22)
(2 7p 0z) 51/2
где
z 1 5 0 25 13
7a 0(z) 7` 0 ────── 5 0+ ──────── 5 0- ─────────── 5 0- ───── — … (2.4.23)
(2) 51/2 0 8z(2) 51/2 0 384z 52 0(2) 51/2 0 128z 52
z 7p 0 1 5 01 5 0 25
7b 0(z) 7` 0 ────── 5 0- ─ + ──────── 5 0- ──── — ─────────── 5 0- … (2.4.24)
(2) 51/2 0 8 8z(2) 51/2 0 16z 52 0 384z 52 0(2) 51/2
ш2.0
Графики функций Кельвина представлены на рисунках 4,5.

ш2.0
— 48 —
_ 2Глава 3
_ 1Использование ЭВМ в учебном процессе.
1_ 3.1 Роль ЭВМ в обучении физики.
В ходе поступательного развития методики преподавания физики
совершенствуются методы обучения и технология педагогического
труда, улучшается и обогащается техническая оснащенность учебного
процесса. От примитивного рисунка на песке до использования ЭВМ,
позволяющих показать в динамике практически любой физический про-
цесс и проверить знания учащихся — вот путь эволюции технических
средств обучения. Дальнейший прогресс в преподавании физики, на
мой взгляд, будет тесно связан с широким использованием в учебном
процессе мощных современных ПЭВМ и компьютерных сетей локального
и глобального масштаба. Это, в скором будущем, позволит исключить
использование такой громоздкой техники как кино, эпи-, диа- и
графопроекция, обучающие и контролирующие устройства. Не надо ду-
мать однако, что ЭВМ вытеснит «живой» эксперимент, позволяющий
ученику соприкоснуться с явлением один на один. Речь идет о моде-
лировании тех опытов, постановка которых очень громоздка или не-
возможна вообще. Эти «мыслящие» машины должны стать в руках учи-
теля орудием более эффективной передачи знаний подрастающим поко-
лениям и усиления воспитательного влияния на них.(рис. 9,10,11)
Однако неправильно считать ЭВМ всесильными. Их применение
всегда должно определятся спецификой изучаемой темы и возмож-
ностью выразительно передать с их помощью главные особенности

— 49 —
изучаемого материала. Так, нельзя изучать физику только сидя за
терминалом ЭВМ. Основой обучения физики должно быть непосредс-
твенное (специально организованное педагогом) восприятие ученика-
ми изучаемых явлений. Учитель физики должен знать дидактические
возможности применения ЭВМ и в совершенстве владеть приемами их
использования.
Широкое применение ЭВМ дает возможность на всех этапах обуче-
ния
1) повысить эффективность преподавания путем налаживания сис-
тематического (пооперационного) контроля знаний учащихся, индиви-
дуализировать усвоение знаний в условиях классно-урочной системы,
т.е. реализовать разноуровневость в обучении;
2) освободить учителя от монотонной технической работы, с тем
чтобы он мог больше времени уделять творческой деятельности.
3) развивать у учеников методы самостоятельной работы. Кроме
того, позволяет
а) в ряде случаев дать учащимся более полную и точную инфор-
мацию об изучаемом явлении; с помощью компьютерной мультипликации
(или компьютерного видео), например, показать тела в состоянии
невесомости, выход человека в открытый космос, доменную структуру
ненамагниченного и намагниченного ферромагнетика, быстротечные
микропроцессы (например процессы в RLC-цепочке, скин-эффект) и
т.п.;
б) повысить наглядность, создать представления о механизме
сложных явлений и тем самым облегчить учащимся их понимание; так
средствами компьютерной мультипликации даются модельные представ-
ления об электрическом токе в проводниках разного рода, явлениях,
происходящих в атомных ядрах, о взаимодействии элементарных час-

— 50 —
тиц и т.д.
в) ознакомить учащихся с характером быстро и медленно проте-
кающих процессов, а также невидимых явлений;
г) познакомить учащихся с фундаментальными физическими экспе-
риментами, постановка которых в классе затруднена или невозмож-
на,- опытами Штерна, Резерфорда, Милликена и Иоффе, Стюарта, Ка-
вендиша и т.п.;
д) более успешно решать задачи политехнического образования,
поскольку компьютерная анимация позволит дать представление о
конструкции машин и механизмов и о физических принципах их рабо-
ты, а также показать переход от принципиальной схемы того или
иного технического устройства к её конкретному конструктивному
решению (например видеофрагменты по темам «Машины переменного то-
ка»