Нерівноважні поверхневі структури реакційно-дифузійних систем типу активатор-інгібітор

Національна Академія Наук України
Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка

Гічан Ольга Іванівна
УДК 530.182
Нерівноважні поверхневі структури реакційно-дифузійних систем типу активатор-інгібітор
01.04.18 – фізика і хімія поверхні
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.
Роботу виконано в Інституті хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України
Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор
Гречко Леонід Григорович,
Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України, провідний науковий співробітник
Офіційні опоненти доктор фізико-математичних наук е
Розенбаум Віктор Михайлович,
Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України, провідний науковий співробітник
доктор фізико-математичних наук, професор
СЕЛИЩЕВ Павло Олександрович,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
професор кафедри фізики функціональних матеріалів
Захист відбудеться “_15__“травня_2008 р. о _15 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.210.01 в Інституті хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України за адресою
03164, Київ-164, вул. Генерала Наумова, 17.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України (03164, Київ-164, вул. Генерала Наумова, 17).
Автореферат розіслано “_12_” _ квітня__ 2008 року.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради
Приходько Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми
Реакційно-дифузійні середовища охоплюють широкий клас нерівноважних систем реакції у рідкій фазі і на каталітичних поверхнях, колонії бактеріальних клітин, окремі клітини, електрохімічні системи тощо. Процеси самоорганізації, спонтанного виникнення порядку у таких системах вже давно привертають значну увагу хіміків, фізиків, біологів. Класичними прикладами утворюваних просторово-часових структур є хвилі електричної активності у нервових та м’язових волокнах, внутрішньоклітинні кальцієві хвилі. Виникнення нерівноважних структур у реакційно-дифузійних середовищах пов’язують зі взаємодією нелінійних локальних перетворень, що мають позитивний зворотній зв’язок (автокаталіз, поверхневі фазові переходи тощо) та транспортних процесів (дифузія, міграційні струми), які просторово зв’язують систему. Двома широко відомими хімічними системами, які відповідають цим критеріям є автокаталітична реакція Бєлоусова-Жаботинського та реакція окислення монооксиду вуглецю на платиновій поверхні. Значний інтерес викликають електрохімічні системи, що є специфічним типом реакційно-дифузійних систем. Практично будь-яка електрохімічна система у певному, іноді досить малому, діапазоні параметрів демонструє коливальні режими — виникнення спонтанних осциляцій струму чи потенціалу електроду. При теоретичному аналізі процесів самоорганізації реакційно-дифузійних систем ефективними є базові моделі типу активатор-інгібітор. Дослідження нестійкостей у часі та просторі на основі таких моделей допомагає виявити загальні властивості досить широкого класу нерівноважних систем.
Значний і постійно зростаючий інтерес до вивчення процесів структуроутворення у реакційно-дифузійних середовищах пояснюється, по-перше, тим фактом, що вони є яскравим прикладом виникнення упорядкованості в нерівноважних системах різної природи. По-друге, дуже важливим є вивчення механізмів, що лежать в основі порушення такої упорядкованості. По-третє, знаючи механізми виникнення та руйнування просторово-часових структур, встановивши способи керування ними, можна створити нові перспективні прилади обробки інформації, розробити методи підвищення ефективності в хімічній промисловості, знайти способи боротьби з небезпечними хворобами.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами та темами
Дисертаційна робота виконана згідно з планами науково-дослідних робіт Інституту хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України за темами «Хімічна фізика поверхні розділу нанорозмірних гетерогенних кластерно-зібраних систем» (номер державної реєстрації 0199U002300), «Синтез, модифікування, фізико-хімічні дослідження систем пониженої розмірності та композитів на їх основі» (номер державної реєстрації 0102U000875), «Нанохімічні процеси одержання дисперсних матеріалів і композитів на їх основі» (номер державної реєстрації 0102U00876), «Теоретичне дослідження та моделювання процесів хімічної модифікації поверхні наночастинок, фізико-хімічних властивостей та особливостей взаємодії з біологічними об’єктами» (номер державної реєстрації 0107U008580).
Мета і задачі дослідження
Мета дисертаційної роботи встановлення умов виникнення та особливостей розвитку нерівноважних поверхневих структур у реакційно-дифузійних системах типу активатор-інгібітор.
Для досягнення поставленої мети був проведений теоретичний аналіз двох реакційно-дифузійних моделей типу активатор-інгібітор, на основі яких були розглянуті такі задачі
· дослідити просторово-часову поведінку моделі ФітцХ’ю-Нагумо (ФХН) у нульвимірному, одновимірному та двовимірному випадках під дією постійної та періодичної стимуляції, в тому числі
– знайти межі її основних динамічних режимів у термінах параметра зовнішньої сили та рівня збудження системи ФХН;
– встановити умови виникнення біфуркацій Хопфа та Тюрінга;
– дослідити властивості одновимірних та двовимірних просторово-часових структур, зумовлених нестійкостями Хопфа та Тюрінга.
· для модельної електрокаталітичної реакції на поверхні сферичного мікроелектрода встановити умови виникнення біфуркації Хопфа в залежності від його розмірів та товщини дифузійного шару Нернста.
Об’єкт дослідження процеси самоорганізації, які відбуваються у реакційно-дифузійних системах, що знаходяться у стані, далекому від термодинамічної рівноваги.
Предмет дослідження просторово-часові структури реакційно-дифузійних систем типу активатор-інгібітор.
Методи дослідження. Розглянуті у роботі системи диференційних рівнянь у частинних похідних в загальному випадку не можуть бути розв’язані аналітично. Аналіз можливих типів біфуркацій — нестійкостей у часі і просторі розглядуваних систем, звичайно проводиться на основі методів лінійної теорії стійкості, теорії біфуркаційного аналізу та чисельного моделювання. Ефективним при дослідженні динамічних нестійкостей електрохімічних систем є метод імпедансної спектроскопії. Він дозволяє ідентифікувати біфуркації електрохімічних систем на основі аналізу їх імпедансних діаграм, зокрема виявити біфуркацію Хопфа, що важко зробити іншими методами у електрохімічних системах.
Наукова новизна одержаних результатів
1. Вперше для повної версії реакційно-дифузійної моделі ФітцХ’ю-Нагумо розраховано значення параметра зовнішньої постійної сили, при яких у системі можлива реалізація біфуркацій Хопфа та Тюрінга.
2. Вперше досліджено властивості поверхневих просторово-часових структур, що виникають у моделі ФітцХ’ю-Нагумо в її моно- та бістабільному режимах у результаті спільної дії біфуркацій Хопфа та Тюрінга.
3. На основі біфуркаційної теореми Хопфа знайдено залежність періоду стійких автоколивань динамічних змінних системі ФХН від постійної зовнішньої стимуляції. На основі одержаних аналітичних результатів та за допомогою чисельного моделювання встановлено особливості відгуку точкової системи ФХН на періодичну стимуляцію.
4. Вперше для редукованої одновимірної моделі ФХН показано існування у певному діапазоні значень зовнішньої постійної сили точного розв’язку у вигляді біжучої хвилі (кінку), що розповсюджується із певною постійною швидкістю, яка крім параметра зовнішньої сили залежить від коефіцієнта дифузії активатора та рівня збудження системи.
5. Вперше для модельної електрохімічної системи з електрокаталітичною реакцією на сферичному мікроелектроді для потенціостатичних умов встановлено кількісне співвідношення між розмірами сферичного електрода, фарадеєвським імпедансом і нестійкостями Хопфа.
Наукове та практичне значення одержаних результатів
Одержані результати дозволяють узагальнити уявлення про механізми виникнення нестійкостей у нерівноважних системах різної природи і можуть бути використані при дослідженні
• відгуку збудливих та бістабільних систем, зокрема біологічних мембран, на зовнішню стимуляцію (малі частинки біологічно активних речовин, зовнішні електромагнітні поля, струми);
• спонтанних коливань струму / потенціалу електроду (Fe, Ni, Cu, Pt електроди) при електрохімічних поверхневих реакціях, а саме при аналізі імпедансних діаграм;
• каталітичних поверхневих реакцій на малих частинках.
Особистий внесок здобувача
Основу дисертаційної роботи склали результати аналітичних та чисельних розрахунків, виконаних здобувачем особисто. Формулювання задач та вибір об’єктів дослідження, обговорення одержаних результатів здійснювалося разом із науковим керівником професором, доктором фізико — математичних наук Гречком Л.Г. Підбір, огляд та аналіз літературних даних проведено особисто здобувачем. Обговорення всіх результатів та формулювання висновків проведено разом із науковим керівником та співавторами опублікованих за темою дисертації праць. З кандидатом технічних наук Лерманом Л.Б. (Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України) велося обговорення результатів підрозділу 3.2.2 з точки зору використаних обчислювальних алгоритмів, а з асистентом Склярівим Ю.П. (Київський національний медичний університет ім. О.О. Богомольця) обговорювалися медичні аспекти отриманих результатів. З доктором фізико-математичних наук Левчуком Ю.М. (Інститут біохімії ім. О.В. Палладіна НАН України) обговорювалися результати розділу 3.4 щодо їх відповідності до експерименту. З академіком НАН України Булавіним Л.А. (Київський Національний Університет імені Тараса Шевченка) обговорювалися результати, що увійшли у розділи 3.5 та 3.8 дисертації. Теоретичні результати, викладені у розділах 4.1 та 4.2, отримані разом з кандидатом хімічних наук Потоцькою В.В. (Інститут загальної та неорганічної хімії ім. В.І. Вернадського НАН України), а чисельні – здобувачем особисто. Обговорення отриманих результатів велося з академіком НАН України Волковим С.В. та доктором хімічних наук Омельчуком А.А. (Інститут загальної та неорганічної хімії ім. В.І. Вернадського НАН України).
Апробація результатів роботи
Матеріали дисертаційної роботи доповідались на ІІІ з’їзді українського біофізичного товариства (Львів, жовтень 2002); ХІ Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, травень 2006) та щорічних наукових конференціях Інституту хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України (Київ, травень 2006, травень 2007). Вони також були оприлюднені на міжнародних конференціях Тhe 5th International Conference on Biological Physics ICBP (Gothenburg, Sweden, August, 23-27, 2004); Втором Евразийском конгрессе по медицинской физике и инженерии „Медицинская физика 2005”, (Москва, Россия, июнь 2005).
Публікації
Основні результати дисертації опубліковано у 6 статтях у вітчизняних та зарубіжних фахових виданнях, 6 тезах доповідей на вітчизняних та міжнародних конференціях.
Структура дисертаційної роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел із 222 найменувань, містить 59 рисунків та дві таблиці. Повний обсяг дисертації становить 166 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, обговорено наукову новизну і практичне значення одержаних здобувачем результатів, показано зв’язок дисертаційної роботи з науковими програмами Інституту хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України.
У першому розділі розглянуто сучасний стан експериментального та теоретичного дослідження процесів самоорганізації у реакційно-дифузійних системах та проаналізовано механізми виникнення у них просторово-часових структур.
У другому розділі розглянуто елементи лінійної теорії стійкості та теорії біфуркацій, а також особливості методу імпедансної спектроскопії як методу дослідження лінійної стійкості електрохімічних систем.
У третьому розділі розглянута поведінка канонічної моделі типу активатор-інгібітор — моделі ФітцХ’ю-Нагумо у її повній версії під дією постійної та періодичної стимуляції для нульвимірного, одновимірного та двовимірного випадків. Модель ФХН описує просторово-часову поведінку двох динамічних змінних — активатора та інгібітора
, , (1)
де — лапласіан у розглядуваному одно- чи двовимірному випадках,
— безрозмірні часова і просторові змінні.
При моделюванні функціональних властивостей мембран нервових клітин, змінна розглядається як трансмембранний потенціал, а змінна — як рефракторність, що визначає стан збудливості нервової клітини. При цьому функція збудження, , відповідає вольт-амперній характеристиці повного іонного струму через мембрану, а функція є швидкістю відновлення. Постійні параметри характеризують фізіологічний стан системи, зокрема параметр розглядають як зовнішній стимулюючий струм. Параметр . Параметр відповідає рівню збудження системи. Параметри та є відповідно коефіцієнтами дифузії активатора та інгібітора. Через просторові та часові константи системи вони запишуться як та , де і є відповідно просторовими константами активатора та інгібітора, а — їх часовими константи. Малий параметр є відношенням часових шкал активатора та інгібітора, а саме . Цей малий параметр та коефіцієнти дифузії не впливають на кількість стаціонарних точок системи ФХН, але від них залежить їх стійкість.
Динамічні режими системи ФХН. Бістабільний режим. Завдяки N-подібній формі нулькліни активатора система ФХН може відтворювати властивості трьох основних категорій реакційно-дифузійних систем збудливих, систем Хопфа-Тюрінга (ХТ) та бістабільних. Якісні зміни поведінки таких систем відбуваються стрибкоподібно при досягненні контрольним параметром системи свого біфуркаційного значення. У збудливій системі при біфуркації Хопфа виникають коливання, у моностабільній системі при біфуркації „сідло-вузол” виникає ще один стаціонарний стан (бістабільність).
За контрольний параметр системи ФХН був вибраний параметр зовнішньої сили, були встановлені області його значень, де реалізуються основні динамічні режими системи ФХН. Як було встановлено, існують дві області значень параметрів та , що визначають умови реалізації моностабільних (збудливого та режиму ХТ) і бістабільного режимів. Графічно ці області розділяються кривою . Для значень параметра , які лежать у межах , та будь-яких значеннях параметра маємо випадок лише однієї стаціонарної точки (стійкої або нестійкої) тобто реалізацію у системі ФХН моностабільних режимів. Для значень параметра з області та значень параметра з інтервалу маємо реалізацію у системі ФХН бістабільного режиму, де
, (2)
. (3)
При значеннях та у системі ФХН відбувається біфуркація „сідло-вузол”.
Режим Хопфа-Тюрінга системи ФХН. Як відомо, нестійкість Хопфа є локальною динамічною нестійкістю, що виникає у нелінійній системі з кількома часовими шкалами. У фазовому просторі системи вона викликає появу нового атрактору — граничного циклу (замкненої орбіти). У системі типу активатор-інгібітор, вона виникає, коли активатор змінюється у часі швидше, ніж інгібітор. У системі ФХН відношення часових шкал активатора та інгібітора визначається значенням малого параметра . На противагу біфуркації Хопфа, біфуркація Тюрінга не є динамічною. Її називають біфуркацією викликаною дифузією. Вона можлива у системі, де активатор має менший коефіцієнт дифузії, ніж у інгібітора, тобто там, де діє короткодіючий активаторний процес (процес самоприскорення зростання активатора) та далекодіючий інгібіторний процес (процес сповільнення зростання активатора). Критичні значення параметра зовнішньої сили , що визначають області реалізації біфуркації Хопфа та Тюрінга, були знайдені з аналізу характеристичного рівняння системи ФХН
, (4)
де нижні індекси функцій відповідають похідним по динамічним змінним системи. При біфуркації Хопфа для дійсної та уявної частини найбільшого власного значення характеристичного поліному (4) повинні виконуватися такі умови й , де хвильове число . Звідки, областю значень параметра , при яких у системі ФХН можливий автоколивальний режим, буде , де
(5)
(6)
Необхідною умовою реалізації у системі біфуркації Тюрінга є i , де хвильове число . Таким чином, областю значень параметра , при яких з просторово-однорідного стану системи можуть спонтанно виникати стаціонарні просторово-впорядковані структури, буде , де
,(7)
.(8)
Біфуркаційна діаграма моделі ФХН зображена на рис. 1 у координатах параметрів при фіксованих значеннях параметрів .
Аналіз біфуркаційних діаграм показав, що збільшення параметра при сталих значеннях інших параметрів, веде до зменшення областей окремих біфуркацій. Збільшення ж лише коефіцієнта дифузії інгібітора, , веде до збільшення області нестійкості Тюрінга. Зміна ж параметра від негативних до позитивних значень звужує області окремих біфуркацій та пересуває вправо точки перетину кривих, що визначають границі нестійкостей.
Теорія Хопфа. Розрахунок періоду граничного циклу. На основі теорії Хопфа була встановлена залежність періоду граничного циклу, , що відповідає стійким автоколиванням динамічних змінних та у точковій системі ФХН, від параметра зовнішньої сили (рис. 2) у межах визначених рівностями (5) та (6)
, (9)
де частота , — координата єдиної стаціонарної точки нестійкої до біфуркації Хопфа, яка пов’язана із параметром .
при критичних значеннях та , які у даному випадку рівні й , у системі ФХН народжується граничний цикл з періодом рівним . Це випадок надкритичної біфуркації Хопфа.
Періодична стимуляція точкової системи ФХН. Чисельне моделювання системи ФХН здійснювалося за допомогою математичного пакету Matematica 4.1 та 5.1 (Wolfram Research Inc., 1988 – 2004, trail version). На його основі були отримані відгуки точкової системи ФХН на серію періодичних імпульсів прямокутної та трикутної форми, що адекватно моделювали властивості імпульсів збудження — потенціалів дії у мембранах нервових клітин. Як виявилося, нижнє граничне значення постійної стимулюючої сили, при якій у системі ФХН народжується граничний цикл, І1, є критичним і для випадку періодичної стимуляції. Так, якщо амплітуда стимулюючих імпульсів, як трикутних, так і прямокутних, була меншою за цю величину, то жодне значення тривалості імпульсів не спричиняло появу потенціалів дії — імпульсів з амплітудою більшою деякого порогового значення. Це відповідає експериментальному факту існування мінімального значення сили струму, при якому він неефективний ні при якій тривалості. Була отримана залежність мінімальних значень тривалості стимулюючих прямокутних імпульсів, при яких у системі ФХН вже генеруються потенціали дії, від значень періоду стимуляції для амплітуд зі згаданого критичного діапазону . Ця залежність не є монотонною. Для генерації потенціалів дії при середніх частотах стимуляції необхідна найбільша тривалість стимулюючих імпульсів у всьому діапазоні амплітуд стимуляції. Для великих значень амплітуд значення тривалості стимулюючих імпульсів вже не є таким визначальним.
Редукована одновимірна система ФХН та її точний розв’язок. Коли інгібітор є значно повільнішим у часі, ніж активатор , тобто при умові , ми отримуємо редуковану версію моделі ФХН. Як було встановлено, в одновимірному випадку, у певному діапазоні значень стимулюючої постійної сили , редукована версія системи ФітцХ’ю-Нагумо, а саме її перше рівняння при фіксованому значенні змінної інгібітора , має точний розв’язок у вигляді кінку, , що розповсюджується із постійною швидкістю , де
, (10)
(11)
Величина m визначається із виразу
(12)
Область значень стимулюючої сили, де ця система має точний розв’язок, обмежується зліва граничним значенням , що визначається параметром збудження системи , при якому корені рівняння (12), , стають уявними. Графіки залежностей амплітуд та швидкості кінку від допустимих значень стимулюючої сили виявилися зростаючими функціями. Подальше дослідження таких солітоноподібних режимів є без сумніву перспективним, зокрема для біологічних систем.
Одновимірні просторові структури. Біфуркація Тюрінга. На основі отриманих аналітичних та чисельних розрахунків були досліджені властивості одновимірних стаціонарних періодичних просторових структур, викликаних біфуркацією Тюрінга. Встановлено, що їх характерні розміри добре узгоджуються з тими, що можна отримати за формулою , де — найбільше нестійке хвильове число, яке відповідає другому максимуму кривої Re{l(k)} для найбільшого власного значення характеристичного поліному (4) від хвильового числа . На рис. 3 зображені одновимірні структури Тюрінга, що виникають у системі ФХН з однією (а) та трьома стаціонарними точками (б) внаслідок малого локального початкового збурення по динамічній змінній активатора. Граничні умови відповідали відсутності потоку через границю області інтегрування. У випадку системи з однією стаціонарною точкою вибраними значеннями параметрів були , а у випадку системи з трьома стаціонарними точками мали В останньому випадку нестійкою до біфуркації Тюрінга була лише одна стаціонарна точка – нижня точка перетину нульклін, у середній та верхній точках умови біфуркації Тюрінга не виконувалися.
У випадку системи ФХН із трьома стаціонарними точками нами були отримані й інші стаціонарні структури. Вони, на відміну від розглянутих вище регулярних періодичних структур, що мало залежали від форми та величини початкового збурення, були дуже чутливими до вибраних початкових умов. При цьому значення параметра не належали області реалізації біфуркації Тюрінга. Процес утворення подібних структур використовувався для моделювання процесу згортання крові.
Поверхневі структури. Біфуркація Хопфа та Тюрінга. Досліджено властивості поверхневих структур, що виникають у двовимірній системі ФХН як при реалізації біфуркацій Хопфа та Тюрінга, так і при їх порогах. Показано, що у обох цих випадках присутня взаємодія та конкуренція біфуркацій, а режими, що при цьому виникають, є результатом їх спільної дії.
За початкове збурення було вибрано імпульс малої амплітуди, що прикладався до стаціонарної точки системи. Граничні ж умови, як і раніше, відповідали відсутності потоку через границю області інтегрування.
Випадок реалізації обох біфуркацій і Хопфа, і Тюрінга у системі ФХН з трьома стаціонарними точками зображений на рис. 4. Значеннями параметрів системи ФХН були На рисунку за допомогою кольору відображений профіль активатора . Темний колір відповідає меншому значенню активатора, світлий — його більшому значенню (див. лінійку зліва). Розвиток структури відбувається досить швидко. У центрі області виникає локалізована стаціонарна структура з кількох піків, навколо якої у процесі автоколивань утворюються концентричні структури, що мають виразні границі.
Автоколивання системи відображаються на знімках як зміна кольору їх фону. Кількість піків визначається співвідношенням між просторово-часовими шкалами системи, а кількість концентричних структур — розміром розглядуваного просторового домену. Дисперсійні криві та , що відповідають розглядуваному випадку реалізації обох біфуркацій у бістабільній системі ФХН, зображені на рис. 4 зліва.
Найбільш складна за формою поверхнева структура, отримана у роботі, виникає у випадку системи ФХН з єдиною стаціонарною точкою, нестійкою до обох біфуркацій (рис. 5). Значеннями параметрів системи ФХН були . У процесі автоколивань системи відбувається народження стаціонарних структур, кількість яких поступово збільшується, а форма ускладнюється. Спочатку, внаслідок збурення стаціонарної точки, у системі формується єдина локалізована стаціонарна структура у вигляді піку зі зміненою вершиною. Потім навколо неї у процесі автоколивань системи утворюються більш складні поверхневі структури. Як і раніше, темний колір відповідає меншому значенню активатора, світлий — його більшому значенню. Вигляд дисперсійних кривих та характеристичного поліному (4) був подібний до зображених на рис. 4, тому не наводиться.
На противагу такому процесу ускладнення форми структур, для системи ФХН з єдиною стаціонарною точкою, де реалізується біфуркація Хопфа та поріг біфуркації Тюрінга, спостерігалися переходи від простих поверхневих структур до більш складних і навпаки (рис. 6). Значеннями параметрів були . Дисперсійні криві та для цих значень системи ФХН відрізнялися від зображених на рис. 4 положенням другого максимуму кривої . Він знаходився у області негативних значень.
Період автоколивань отриманих поверхневих структур та хвильове число, яке б їх характеризувало, знайти складно. Існує певна залежність остаточного вигляду структури від вибраного розміру просторового домену та початкових умов. Крім того, існує широкий діапазон значень параметрів, що дають одну і ту ж картину розподілу. Тому на даний момент ми не можемо представити карту можливих типів структур в залежності від значень параметрів системи. Двовимірні просторово-часові структури моделі ФХН не можна розглядати як концентраційний розподіл речовини у хімічних реакційно-дифузійних системах, так як у моделі ФХН активатор та інгібітор можуть приймати і позитивні, і негативні значення. Проте за формою деякі з них є дуже подібними до експериментальних хімічних нерівноважних структур. Останні сьогодні розглядаються як можливі елементи пам’яті у нових хімічних комп’ютерах. Система ФХН є чудовою базовою моделлю для аналізу нових потенційно можливих структур у живих системах. Отримані структури ми розглядаємо як певні біологічні сигнали. Часто результати чисельного моделювання не тільки відтворюють основні експериментальні дані, а й передбачають можливість отримання нових цікавих явищ.
Четвертий розділ був присвячений дослідженню нестійкості Хопфа при електрокаталітичній реакції на поверхні малої частинки, в якості якої виступав сферичний мікроелектрод. Лінійна стійкість модельної електрохімічної системи досліджувалася на основі аналізу її комплексного опору – імпедансу. Показано, що нестійкість в системі обумовлюється негативним імпедансом, значення якого визначається взаємодією процесів масопереносу і адсорбції-десорбції, що залежить від потенціалу і відбувається перед реакцією переносу заряду.
Електрокаталітичні реакції на поверхні малих частинок. Розглядався випадок частинок одного сорту, що дифундують з дифузійного шару Нернста до поверхні сферичного мікроелектрода, на якій вони адсорбуються і електрохімічно окислюються
, (13)
де ka, kd, ke — константи швидкості адсорбції, десорбції і переносу електрона відповідно. Без врахування впливу омічних втрат та подвійного шару, рівняннями кінетики адсорбції-десорбції та швидкості переносу електрона будуть
(14)
, (15)
де R0 – радіус електрода (початок координат збігається з центром сфери), C(R0, t) – концентрація електроактивних частинок на поверхні електроду, q(t) – степінь покриття електродної поверхні адсорбатом, G – максимальна поверхнева концентрація, g – параметр взаємодії (позитивне значення цієї константи відповідає притяганню, а негативне – відштовхуванню між адсорбованими частинками), F – число Фарадея, R – газова постійна, T – абсолютна температура, a – фактор симетрії електронного переносу в напрямку окислення, E – потенціал електрода. Рівняння (14) в стаціонарному стані при =0 є ізотермою Фрумкіна, що зв’язує ступінь покриття електродної поверхні з об’ємною концентрацією C0.
Зміна степені покриття електродної поверхні адсорбатом q(t) та концентрація C(r,t) задовольняють рівнянням
(16)
, (17)
де D – коефіцієнт дифузії, товщина дифузійного шару Нернста. Граничні умови враховували те, що на поверхні електроду дифузійний потік рівний швидкості адсорбції-десорбції, а також те, що на відстані об’ємна концентрація частинок A постійна і рівна C0. Були розраховані значення стаціонарного потенціалу електрода Es (відлік проводився від потенціалу нульового заряду електрода, вільного від адсорбованих частинок) та значення стаціонарної концентрації частинок A на поверхні електроду , коли швидкість адсорбції-десорбції є рівною швидкості переносу електрона.
Для обчислення комплексного фарадеєвського імпедансу даної системи розглядалася її поведінка під дією малого періодичного сигналу, що накладався на стаціонарне значення поляризаційного потенціалу
,
де , комплексна частота s рівна . У відповідь на це збурення степінь покриття електродної поверхні , фарадеєвський струм і концентрація коливатимуться в околі стаціонарних значень
, , .
Фарадеєвський імпеданс у просторі зображень Лапласа як функція комплексної частоти s має вигляд або
, (18)
де частинні похідні для зручності позначені як , – опір переносу заряду, , , , , .
Перехід із простору Лапласа в простір Фур’є здійснюється заміною . При розрахунках не були враховані опір електроліту та імпеданс подвійного шару. У цьому випадку імпеданс розглянутої модельної системи дорівнює фарадеєвському імпедансу.
Для модельних розрахунків були використані такі значення параметрів системи G = 10-9 моль/см2; g = 8; Gka = 0.1 см/с; Gkd= 10-5 моль /см2 с; ke = 10 с-1; D = 10-5см2/c; d = 10-3см; F = 96484Кл/моль; R = 8,314 Дж/моль К; a = 0.5; C0 = 10-5моль/см3; T=295 К; = 38,7 В-1.
Як видно з рисунка, зі зменшенням радіуса електрода збільшується густина потоку, максимум кривої стає більш виразним, змішуючись в область більш високих значень потенціалів. Вольтамперна крива має N-подібну форму. На величину струму впливають два протилежних фактори збільшення потенціалу і зменшення концентрації електроактивних частинок у приелектродному шарі за рахунок процесу адсорбції, що нелінійно залежить від потенціалу. Таким чином, у цій системі потенціал відіграє роль активатора, а концентрація електроактивних частинок у приелектродному шарі — роль інгібітору. Вольтамперна крива містить область так званого негативного диференційного опору, у якій звичайно і виникають розглядувані нестійкості.
Для дослідження лінійної стійкості нелінійної системи поблизу стаціонарної точки звичайно використовується добре відома процедура знаходження власних значень матриці Якобі. Для електрохімічної системи це еквівалентно дослідженню зміни нулів фарадеєвського імпедансу при зміні потенціалу електрода. Нулями імпедансу є власні значення якобіана при потенціостатичному контролі, а полюса імпедансу — це власні значення якобіана при гальваностатичному контролі.
Таким чином, для з’ясування лінійної стійкості електрохімічної системи необхідно дослідити зміни реальних частин параметра s згаданих нулів зі зміною потенціалу електрода. У нашому випадку нулі імпедансу знаходилися з рівняння (19), яке може бути розв’язане лише чисельними методами.
(19)
Його аналіз показав, що у системі існує дві точки біфуркації Хопфа, де Re(Zf(w))=Im(Zf(w)). Осциляції виникають, якщо фарадеєвський імпеданс прямує до нулю зі сторони негативних значень Re(Zf(w)), коли w®¥. Значення контрольного параметра w у точці біфуркації Хопфа залежить від радіуса електрода і товщини дифузійного шару Нернста. На рис. 8 представлені діаграми Найквіста, що характеризують поведінку фарадеєвського імпедансу в комплексній площині в точці біфуркації Хопфа H1 для різних радіусів електрода.
Діаграма Найквіста складається з двох змінених півкіл і проходить через початок координат. В області низьких частот на діаграмі є індуктивна петля, що зменшується зі зменшенням розмірів електрода. Останнє веде також до зменшення області потенціалів, у якій у системі може спостерігатися нестійкість. Поляризаційний опір Zf(w®0) у точці біфуркації Хопфа є негативним. Точка на імпедансній діаграмі Найквіста, де Re(Zf(w))=Im(Zf(w)), відповідає пороговому опору, коли в системі виникають коливання. У випадку впливу на систему зовнішнього сигналу з частотою рівною одному з біфуркаційних значень, отриманий вихідний сигнал буде рівним вхідному, тобто пройде через систему без опору. При w®¥ фрадеєвський імпеданс дорівнює опору переносу заряду. Усі криві сходяться у точці , .
Діаграми Боде в точці біфуркації Хопфа H1 для сферичних електродів різних радіусів представлені на рис. 9. Зменшення радіуса електрода веде до зменшення модуля фарадеєвського імпедансу. При біфуркаційній частоті модуль фарадеєвського імпедансу обертається в нуль. Зі зменшенням радіуса електрода біфуркаційна частота зміщається в область більш високих частот.
У точці біфуркації Хопфа відбувається зміна функціональної залежності фазового кута фарадеєвського імпедансу від частоти. Вплив товщини дифузійного шару спостерігався в області низьких частот для негативного імпедансу. В області позитивних значень реальної частини фарадеєвського імпедансу такої залежності не виявлено. Значення параметрів електрохімічної системи в точках біфуркації Хопфа H1 і H2 (див. рис. 7) наведені відповідно в таблицях 1 і 2.

Табл. 1. Значення параметрів електрохімічної системи в точці біфуркації Хопфа H1

R0, см
wH, Гц
qH
ifH, А см-2
EH, В

0,01
141,44
0,563
0,008867
0,1443

0,001
198,78
0,513
0,01514
0,1768

0,0001
257
0,375
0,05345
0,2582

Табл. 2. Значення параметрів електрохімічної системи в точці біфуркації Хопфа H2

R0, см
wH, Гц
qH
ifH, А см-2
EH, В

0,01
184,22
0,1924
0,00488
0,16895

0,001
187,89
0,192
0.,04878
0,169

0,0001
242,9
0,295
0,0434
0,2598

ВИСНОВКИ
У дисертації, відповідно до поставленої мети та завдань, встановлено умови виникнення та особливості розвитку нерівноважних просторово — часових структур у двох реакційно-дифузійних моделях типу активатор-інгібітор. Головні результати та висновки можна сформулювати у вигляді наступних тверджень
1. Вперше для повної версії реакційно-дифузійної моделі ФітцХ’ю-Нагумо розраховані значення параметра зовнішньої постійної сили, при яких у системі можливі біфуркації Хопфа та Тюрінга. На їх основі та за допомогою чисельного моделювання досліджені властивості двовимірних просторово-часових структур, що виникають у моностабільній та бістабільній системі ФітцХ’ю-Нагумо у результаті спільної дії біфуркацій Хопфа та Тюрінга.
2. Вперше отримано точний розв’язок редукованої одновимірної моделі ФітцХ’ю-Нагумо у вигляді біжучої хвилі (кінку), швидкість якої крім параметра постійної зовнішньої сили залежить від коефіцієнта дифузії активатора та рівня збудження системи. Подальше дослідження таких солітоноподібних режимів допоможе в розумінні механізмів порушення ритмічної активності біологічних систем
3. Для точкової системі ФХН як емпіричної моделі збудливих біологічних мембран на основі біфуркаційної теореми Хопфа знайдено залежність періоду стійких автоколивань динамічних змінних системи від постійної зовнішньої сили. У якості останньої можуть виступати різні чинники малі частинки біологічно активних речовин, зовнішні електромагнітні поля, струми.
4. Вперше для модельної електрохімічної системи з електрокаталітичною реакцією на поверхні сферичного мікроелектроду у потенціостатичних умовах розраховані значення частот, при яких у системі виникає біфуркація Хопфа. Отримані результати можуть бути використані при оптимізації технологічного процесу, в основі якого лежать спонтанні коливання потенціалу (струму) електроду.
5. Показано, що область потенціалів, де спостерігається нестійкість Хопфа, зменшується зі зменшенням радіуса електрода. Останнє викликає також зміщення біфуркаційної частоти електрохімічної системи в область більш високих частот. При збільшенні товщини дифузійного шару Нернста біфуркаційна частота зміщується в область більш низьких частот для сферичного електрода одного й того самого радіусу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Gichan O.I., Grechko L.G., Levchuk Yu.N. The nonlinear dynamics of the excitable biological membranes in the FitzHugh-Nagumo model // Physics of the alive. — 2001. — V. 9, № 2. — P. 97-108.
Здобувачем розраховано умови виникнення та границі існування стійкого граничного циклу, що відповідає надкритичній біфуркації Хопфа у точковій системі ФХН при її стимуляції постійним струмом. Розраховано його період та поправки до нього. Проведено чисельне моделювання впливу різних умов періодичної стимуляції на поведінку системи ФХН.
2. Булавин Л.А., Гичан О.И., Гречко Л.Г. Точное решение редуцированной системы ФитцХью-Нагумо для возбудимых биологических мембран // Доповіді НАН України. — 2002. — № 8. — С.75-79.
Здобувачем отримано формулу точного розв’язку редукованої системи ФХН при її стимуляції постійним струмом. Чисельно проаналізовано залежність параметрів розв’язку від цього контрольного параметру системи.
3. Гічан О.І., Лерман Л. Б., Гречко Л. Г., Склярів Ю.П. Просторово-часові структури в моделі ФітцХ’ю-Нагумо для збудливого та бістабільного середовищ // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. науки. — 2005. — № 1. — с.311-318.
Здобувачем проведено теоретичне дослідження властивостей просторово-часових структур, що виникають у одновимірній системи ФХН, у результаті нестійкостей Хопфа та Тюрінга.
4. Булавін Л.А., Гічан О.І., Гречко Л.Г. Нові типи динамічних структур у системі ФітцХ’ю-Нагумо // Доповіді НАН України. — 2006. — № 10. — С. 69-74.
Здобувачем розраховано значення параметрів, що відповідають реалізації у системі ФХН біфуркацій Хопфа і Тюрінга. Для цих областей значень параметрів отримано нові типи поверхневих просторово-часових структур.
5. Гічан О.І., Гречко Л.Г. Змішані режими моделі ФітцХ’ю-– Нагумо взаємодія та конкуренція біфуркацій Хопфа та Тюрінга // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. науки. — 2007. — № 4. – С. 311-315.
На основі чисельного моделювання та раніше отриманих здобувачем аналітичних результатів проведено аналіз розвитку поверхневих структур, зумовлених спільною дією біфуркацій Хопфа та Тюрінга у моностабільній двовимірній системі ФХН.
6. Потоцкая В.В., Гичан О.И., Омельчук А.А., Волков С.В. Особенности поведения электрохимической системы при неустойчивости Хопфа для сферического электрода // Электрохимия. – 2008. – Т. 44, № 5. – С. 641-648.
Здобувачем виконані чисельні розрахунки, що дозволяють встановити зв’язок між розмірами сферичного електрода, фарадеєвським імпедансом і нестійкістю Хопфа у запропонованій електрохімічній системі.
7. Гічан О.І., Гречко Л.Г. Нелінійна динаміка біологічних збудливих мембран в моделі ФітцХ’ю-Нагумо // Тези доповідей ІІІ-го з’їзду Українського Біофізичного товариства, Львів, 2002, с. 157.
8. Gichan O.I., Grechko L.G. The FitzHugh-Nagumo model responces to different stimulation regimes // Abstr. of the 5-th International Conference in Biological Physics ICBP, Gothenburg, Sweeden, 2004, р. 123.
9. Гичан О.И. Биологические возбудимые среды особенности автоволновых процессов при различных режимах стимуляции // Материалы ІІ-го Евразийского конгресса по медицинской физике и инженерии „Медицинская физика 2005”, Москва, 2005, с. 271.
10. Гічан О.І. Модель ФітцХ’ю-Нагумо біфуркації та динаміка // Матеріали Одинадцятої Міжнародної конференції ім. акад. М. Кравчука, Київ, 2006, с. 66.
11. Гічан О.І. Процеси самоорганізації у реакційно-дифузійній системі типу активатор-інгібітор // Автореферати доповідей Всеукраїнської конференції молодих вчених „Наноматеріали в хімії, біології та медицині”, Київ, 2006, с. 17-19.
12. Гічан О.І. Нестійкості та структури реакційно-дифузійних систем типу активатор-інгібітор // Автореферати доповідей Всеукраїнської конференції молодих вчених „Наноматеріали в хімії, біології та медицині”, Київ, 2007, с. 16.

АНОТАЦІЯ

Гічан О.І. Нерівноважні поверхневі структури реакційно-дифузійних систем типу активатор-інгібітор. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.18 – фізика і хімія поверхні. – Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України, Київ, 2008.
Дисертацію присвячено теоретичному дослідженню процесів самоорганізації у реакційно-дифузійних системах. За модельні вибрано дві системи типу активатор-інгібітор. Для першої системи — моделі ФітцХ’ю-Нагумо (ФХН), що вважається канонічною, встановлено умови виникнення низьковимірних просторових та часових структур при нестійкостях Тюрінга та Хопфа. Розглянута повна версія моделі ФХН у її нульвимірному, одновимірному та двовимірному випадках. Результати представлені через параметр зовнішньої сили, що розглядається як можливість зовнішнього контролю за поведінкою системи, виникненням у ній того чи іншого типу структур. Для другої модельної системи — електрохімічної системи з електрокаталітичною реакцією на поверхні сферичного мікроелектроду у потенціостатичних умовах розраховані значення частот, при яких у системі виникає біфуркація Хопфа. Встановлено вплив на ці біфуркаційні значення розмірів сферичного електрода та товщини дифузійного шару Нернста.
Ключові слова просторово-часові структури, реакційно-дифузійні системи, модель ФітцХ’ю-Нагумо, електрокаталітичні поверхневі реакції, нестійкості Хопфа та Тюрінга, фарадеєвський імпеданс, дифузійний шар Нернста, сферичний мікроелектрод.

АННОТАЦИЯ

Гичан О.И. Неравновесные поверхностные структуры реакционно-диффузионных систем типа активатор-ингибитор. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.18 – физика и химия поверхности. – Институт химии поверхности им. А.А. Чуйко НАН Украины, Киев, 2008.
Диссертация посвящена теоретическому исследованию неустойчивостей Хопфа и Тюринга в неравновесных системах. В качестве модельных были выбраны система ФитцХью-Нагумо, которая является канонической реакционно-диффузионной системой типа активатор-ингибитор, и электрохимическая система, в которой проходит электрокаталитическая реакция на поверхности сферического микроэлектрода. Это так называемые N-системы. В первой N-подобную форму имеет нульклина динамической переменной активатора, что позволяет системе ФХН воспроизводить такие важные свойства неравновесных систем как возбудимость и бистабильность. Во второй N-подобную форму имеет вольтамперная кривая, что содержит область так называемого отрицательного дифференциального сопротивления, в которой обычно и возникают рассматриваемые неустойчивости. В этой системе потенциал играет роль активатора, а концентрация электроактивных частичек в приэлектродном слое — роль ингибитора. Для точечной системы ФХН как эмпирической модели возбудимых биологических мембран на основе бифуркационной теоремы Хопфа найдены условия существования устойчивых периодических колебаний при стимуляции системы постоянным внешним током. Найдена зависимость периода колебаний от этого контрольного параметра системы. С помощью численного моделирования проанализировано поведение точечной системы ФХН при различных условиях периодической стимуляции (форме и частоте периодических импульсов). Для редуцированной одномерной системы ФХН, в определенном диапазоне значений стимулирующей постоянной силы, найдено ее точное решение, которое представляет собой кинк (гиперболический тангенс), распространяющийся с определенной постоянной скоростью, которая кроме параметра постоянной внешней силы зависит от коэффициента диффузии активатора и уровня возбудимости системы. На основе модели ФХН исследован вопрос возникновения и развития одномерных и двумерных пространственно-временных структур, обусловленных потерей устойчивости однородного состояния через бифуркацию Хопфа и Тюринга. На основе метода импедансной спектроскопии установлены условия возникновения бифуркации Хопфа в модельной электрохимической системе с одним сортом электроактивных частиц, массоперенос которых рассматривался в рамках диффузионной модели Нернста, предполагающей, что толщина диффузионного слоя одинакова по всей поверхности сферического микроэлектрода. Показано, что в такой системе природу неустойчивости обуславливает отрицательный импеданс, который определяется взаимодействием процессов массопереноса и адсорбции-десорбции, зависящих от потенциала и предшествующих реакции переноса заряда. Показано, что при потенциостатическом режиме осцилляции возникают, если фарадеевский импеданс стремится к нулю с отрицательной стороны Re(Zf(w)), когда w®¥. Значение контрольного параметра w в точке бифуркации Хопфа зависит от радиуса электрода и толщины диффузионного слоя Нернста. Существуют две точки бифуркации Хопфа (две частоты), в которых мнимая и реальная части фарадеевского импеданса обращаются в нуль. Область потенциалов, в которой наблюдается неустойчивость Хопфа, уменьшается с уменьшением радиуса электрода. Последнее вызывает также смещение бифуркационной частоты в область более высоких частот. При увеличении толщины диффузионного слоя Нернста бифуркационная частота смещается в область более низких частот для сферического электрода одного и того же радиуса.
Ключевые слова пространственно-временные структуры, реакционно-диффузионные системы, модель ФитцХью-Нагумо, электрокаталитические поверхностные реакции, неустойчивости Хопфа и Тюринга, фарадеевский импеданс, диффузионный слой Нернста, сферический микроэлектрод.

SUMMARY
Gichan O.I. Nonequilibrium patterns of reaction-diffusion systems of activator-inhibitor type. – Manuscript.
Candidate of science (physics and mathematics) dissertation.
Specialty 01.04.18 – Surface Physics and Chemistry.
O.O. Chuiko Institute of Surface Chemistry of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.
The Hopf and Turing instabilities as main symmetry-breaking instabilities of nonequilibrium systems are studied. The two model — the FitzHugh-Nagumo system as a canonic reaction-diffusion model of activator-inhibitor type and the model electrochemical system with electrocatalytic reaction on spherical microelectrode are chosen. These are so-called N-systems. In the FitzHugh-Nagumo model the activator nullcline has the N-form which allows the system to reproduce such an important property of nonequilibrium systems as excitability and bistability. In the second model the voltamperometric curve has the N-form with the region of negative differential resistance where discussed instabilities arise. In this system the electrode potential plays the role of activator and the concentration of electroactive particles plays the role of inhibitor. For the point-like FHN system as an empirical model of excitable biological membranes on the base of the Hopf bifurcation theory the conditions of stable periodic oscillations under constant stimulation current were obtained. The dependence of the oscillation period on this constraint was calculated. Using computational simulation the response pattern of the FHN system on the periodic train of current pulses with different shape, amplitude, duration and period of stimulation is investigated. For the reduced one-dimensional FHN model in a certain range of constant external current the exact solution is found. The solution is the kink (hyperbolic tangent) that propagates with constant velocity which depends on the values of constant external current, activator diffusivity and excitation level of the system. The question of appearance and behavior of one-dimensional and two-dimensional spatiotemporal patterns caused by the Hopf and Turing instabilities was examined. Using impedance spectroscopy method the conditions for the Hopf instability in the model electrochemical system with one sort of electroactive species are derived. Mass transfer of the particles was considered in the frame of the Nernst diffusion model, implied that the diffusion layer has the same thickness around spherical electrode. It was shown that under potentiostatic control the oscillations emerge when faradaic impedance approaches its zero value from the side of the negative values of Re(Zf(w)) when w®¥. The bifurcation frequency values w depend on the electrode size and the thickness of the layer from which electroactive species diffuse. There are two bifurcation point (two frequencies), where real and imaginary parts of faradaic impedance are equal zero. The potential region, where the instability appears, decreases with decreasing electrode size. Such decrease of the electrode radius at the Hopf bifurcation point causes the negative faradaic impedance to drop while the capacity loop undergoes a slight increase. The dependence on the thickness of the Nernst diffusion layer is observed at low frequencies in the negative faradaic impedance region. In the case of semi-infinite diffusion the region of the negative values of faradaic impedance real part increases in comparison with the case of diffusion from a thin layer for the same radius value.
Key words nonequilibrium patterns, reaction-diffusion system, FitzHugh-Nagumo model, electrocatalytic surface reactions, Hopf and Turing instabilities, faradaic impedance, Nernst diffusion layer, spherical microelectrode.