Экономико — математическое моделиpование

ЗАДАЧА 1 Условие задачи.
Задана следующая экономическая ситуация. Завод выпускает изделия двух типов А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление еденицы продукции и запасы сырья заданы в таблице
Изделия Сырье
1234
А2102
В3011
Запасы сырья 214610
Выпуск изделия А приносит 3 денежные еденицы, В — 2 денежные единицы.
Составить план производства, обеспечивающий максимальную прибыль
а) составьте матиматическую модель задачи;
б) поясните смысл целевой функции и ограничении
Решение
а) Математическая модель
2×1+3×2 <=21
x1 <=4
x2+ <=6
2×1+ x2 <=10
x1 >=0
x2 >=0
б) Суммарный расход каждого вида сырья на весь выпуск не должен превышать заданного ограничения.
Валовая реализация (сумма объемов реализации по каждому виду продукции в денежном выражении) должна стремиться при заданных условиях к максиму
в) Решать будем симплекс методом преобразуем неравенства в равенства, для этого введем четыре дополнительные переменные
2×1+3×2+ x3 =21
x1 + x4 =4
x2 +x5 =6
2×1+x2+ x6 =10
f=3×1+2×2+0*x3+0*x4+0*x5+0*x6 -> max
перепишем в виде систем 0 уравнений
0= 21-(2×1+3×2+x3)
0= 4-( x1 + x4)
0= 6-( x2+ х5)
0=10-(2х1+х2+ х6)
f=0-(-3×1-2×2-0*x3-0*x4-0*x5-0*x6)
Система уравнений может быть записана в виде векторного равенства
0=В — (А1х1+А2х2+А3х3+А4х4+А5х5+А6х6)
В — свободные члены
А1…А6 коэффициенты при переменных х1…х6
Линейная форма имеет вид f=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+c6x6
Векторы А3,А4, А5,А6 составляют базис
Составляем первую симплекс таблицу
Базисный векторКоэф.лин. формы свектор св. член bb/a3 A12 A20 A30 A40 A50 A6
А302110,5231000
A4044100100
A5060010010
A60105210001
индексная строка fj-сj0-3-2
Решение х1=0,х2=0,х3=21,х4=4,х5=6,х6=10
f=0
Так как в индексной строке есть отрицательные элементы -решение не является оптимальным.
A1 вводим в базис вместо вектора А4
Базисный векторКоэф.лин. формы свектор св. член bb/a3 A12 A20 A30 A40 A50 A6
A30134 1/3 0 3 1 -2 0 0
A1340 1 0 0 1 0 0
А5066 0 1 0 0 1 0
A6022 0 1 0 -2 0 1
индексная строка fj-сj0 -2 0 3 0 0
Решение х1=4,х2=0,х3=13,х4=0,х5=6,х6=2
f=12
Так как в индексной строке есть отрицательные элементы -решение не является оптимальным.
A2 вводим в базис вместо вектора А6
Базисный векторКоэф.лин. формы свектор св. член bb/a8 A17 A26 A30 A40 A50 A6
A3071 3/4 0 0 1 4 0 -3
A1344 1 0 0 1 0 0
А5042 0 0 0 2 1 -1
A222-1 0 1 0 -2 0 1
индексная строка fj-сj0 0 0 -1 0 2
Решение x1=4, x2=2; x3=7; x4=0;x5=4;x6=0
f=12
Так как в индексной строке есть отрицательные элементы -решение не является оптимальным.
A4 вводим в базис вместо вектора А3
Базисный векторКоэф.лин. формы свектор св. член bb/a8 A17 A26 A30 A40 A50 A6
A401 3/40 0 1/41 0 — 3/4
A132 1/41 0 — 1/40 0 3/4
А50 1/20 0 — 1/20 1 1/4
A225 1/20 1 1/20 0 -1 1/2
индексная строка fj-сj0 0 1/40 0 1 1/4
Решение x1=2,25, x2=5,5; x3=0; x4=1 3/4;x5=1/2;x6=0
f=17,75
В индексной строке нет отрицательных элементов, следовательно дальнейшее увеличение значения линейной формы невозможно мы получили оптимальную программу
Максимальная прибыль достигается при изготовлении первого вида продукции 2,25 у.е., а второго 5,5 у.е.
Так как нам не было задано условие целочисленности, такие значения допустимы, например в качестве условных едениц — тысячи тонн.

ЗАДАЧА 2
Наити максимум функции F при заданных ограничениях
F = x1+2×2 ->max
3×1+x2 >=3(1)
3×1-x2 <=0(2)
x1-x2 >=3(3)
x1>=0(4)
x2>=0(5)
Решить графическим методом
Решение
1.Из условия знакоположительности — первой допустимой областью решения является первая четверть декартовой системы координат
2. Построим области допустимых значений, для этого построим линии для каждого из уравнений
3×1+x2 =3
3×1-x2 =0
x1-x2 =3
и линию для функции f
x1+2×2 =0
3. Наидем область допустимых значений
4. Как видно на графике области допустимых значений для ограничении (1),(2) и (3) не пересекаются, значит система не имеет допустимых решений. Ограничения противоречивы.
5.Для того чтобы система была решаема, она должна быть например
такойF = x1+2×2 ->max
3×1+x2 <=3
3×1-x2 <=0
x1-x2 <=3
x1>=0
x2>=0
Тогда область допустимых решений — треугольник АВС
И функция F достигает максимума в точке С (0;3) и F=6

ЗАДАЧА 3
Имеются следующие данные об урожайности зерновых культур Y (в ц/га) количестве осадков Х1 (в см) выпавших в вегетационный период
i12345678910
Yi23242727323133353432
Xi25273035363839414245
Требуется
а)Определить параметры уравнения регрессии;
б) определить коэффициент парной корреляции и проверить его статическую надежность
1. Количественные оценки связи между величинами случайного процесса устанавливает регрессионный анализ. Связи между переменными могут линейные и нелинейные. В простейшем случае значения Y выражаются в виде линейной зависимости
Y =a + bX,
где a и b — коэффициенты регрессии.
Наиболее часто для расчетов коэффициентов применяют метод наименьших квадратов.
2. По методу наименьших квадратов произведем расчет коэффициентов уравнения регрессии из системы уравнении
sum(Yi)= n*A + B sum(Xi)
sum(XiYi) = A* sum(Xi) + B*sum(Xi2))
имеем
А = sum(Yi) * sum(Xi2) — sum(XiYi) * sum(Xi)
n* sum(Xi2)- (sum(Xi) 2)
B = n*sum(XiYi) — sum(Xi)* sum(Yi)
n*sum(Xi2)- (sum(Xi))2
A=S2*S3-S4*S1 B=n*S4-S1*S2,
n*S3-S1*S1 n*S3-S1*S1
где S1=SUM(Xi) S2=SUM(Yi) S3=SUM(Xi2)
S4=SUM(XiYi)
n — общее число замеров, в нашем случае это 10
2.В результате расчета получено уравнение регрессии
Y=8,917+0,583*Х
3.Подставив значения X в уравнение найдем Y расчетное.
4.По значениям экспериментальным и теоретическим строим графики.
5. Связь между двумя случайными величинами, которая определяется с некоторой вероятностью, называется корреляционной. Для количественной оценки линейной корреляции используется коэффициент парной корреляции
r = 10*S4-S1*S2
(10*S3-S12)*(10*S5-S22)
S5=SUM(Yi2)
r=0,9104
По таблице Чеддока найдём тесноту связи между двумя явлениями, связь очень тесная
6.Качество уравнений регрессии оценивают по его прогнозирующей способности. Уравнения хорошо прогнозируют(т.е. адекватно описывают) экспериментальные данные, если расхождения между экспериментальными и расчетными данными находятся в допустимых пределах.
Для проверки адекватности уравнения найдем среднюю относительную ошибку прогнозирования E
E=100 *SUM |Yэi — Ypi|
10 Yэi
где Yэi -экспериментальное, Ypi — расчетное значение
Е=4,434%
Это сравнительно большое значение ошибки прогнозирования при полученном выше значении r.
Внимательно посмотрим на значения отклонений между фактическими и расчетными значениями Y. Почти непрерывный рост уражайности после 8 года сменяется спадом. 10 год дает самый большой прирост ошибки прогнозирования.
По всей видимости, для описания зависимости, лучше подошло бы не уравнение прямой, а уравнение параболлы, так как после достиженияопределенного уровня осадков урожайность начинает падать (много воды -это тоже плохо для урожая) см. последние значения Х и Y
В 4 год также сравнительно большое расхождение, это может бытьвызванно тем, что урожайность зерновых зависит не только от количества осадков, но и от многих других факторов, например от количества теплых дней. Просто было холодно.

i
X
Y
X2
XY
Yрасч
Y2
(Y-Yрасч) Y

1
25
23
625
575
23,5
529
0,0217

2
27
24
729
648
24,67
576
0,0279

3
30
27
900
810
26,42
729
0,0215

4
35
27
1225
945
29,33
729
0,0863

5
36
32
1296
1152
29,92
1024
0,0650

6
38
31
1444
1178
31,08
961
0,0026

7
39
33
1521
1287
31,67
1089
0,0403

8
41
35
1681
1435
32,83
1225
0,0620

9
42
34
1764
1428
33,42
1156
0,0171

10
45
32
2025
1440
35,17
1024
0,0991

е
358
298
13210
10898
298
9042
0,4434

среднее
35,8
29,8

Коэффициенты регрессии
B=0,583
A=8,917
Уравнение регрессии Y=8,917+0,583*Х
Коэффициент парной корреляции
R=0,91
Средняя относительная ошибка прогнозирования
E=4,43439

ЗАДАЧА №4
Построить сетевую модель ремонта Вашей квартиры
а) определить критический путь
б) рассчитать поздние сроки окончания и начала событий
в) рассчитать ранние сроки окончания и начала событий
г) рассчитать резервы событий
Решение Делаем ремонт двухкомнатной квартиры улучшенной планировки жилая комната, детская, кухня, ванна, туалет и коридор.
2. Необходимо сделать сменить обои во всех помещениях; покрасить окна; в зале и коридоре сделать подвесные потолки с рассеяным светом в оттальных помещениях потолок покрывается краской КЧ покрасить входную дверь; постелить по всей квартире линолиум
3. Строим таблицу ремонта и сетевой график
4.»Четырехсекторным» методом рассчитываем параметры сетевого графика и определяем «критический путь».
5. Расчитываем параметры сетевого графика и резервы времени

«