О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Современные качественные исследования устойчивости

О вариационности некоторых ДУЧП

 с отклоняющимися аргументами


И.А. Колесникова

Российский университет дружбы народов

117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

тел.: (095) 952-35-83, e-mail Vsavchin@mx.pfu.edu.ru

 Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида  



1 . Постановка задачи. Пусть N – оператор, заданный в области D(N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел R, а область значений R(N)   принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R , т.е.


В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке

 существует производная Гато  оператора N, определяемая формулой

                                                            (1)

Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида

             (2)

где -ограниченная область в, с кусочногладкой границей

в предположении достаточной  гладкости всех рассматриваемых  функций.

 Зададим область определения оператора N равенством

       (3)

 

Здесь - заданные функции,  - неизвестная функция. Числа   зависят соответственно от . Если - четны, то При нечетном  полагаем     

Обозначим

Введем  классическую билинейную форму вида  где                                                      (4)


Будем говорить, что уравнение (2) допускает прямую вариационную формулировку на множестве D(N) , относительно билинейной формы (4), если существует функционал FN : D( FN )= D(N)—>R такой, что

       

Функционал FN называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала FN. Записывают N=gradфFN. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.

Обозначая через  замыкание области , будем предполагать, что - выпуклое множество, , для любых фиксированных элементов функция

Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности



Искомый функционал в этом случае имеет вид:

где F0 произвольный фиксированный элемент из R.

Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива

Теорема 1.  Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия


Современные качественные исследования устойчивости

Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].

2.Примеры.


А. Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))


с  граничными условиями

Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим


Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1 могут зависеть только от x, а b-1, b0, b1 – только от t.

С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде


Таким образом, уравнение (7’) c граничными условиями (8) допускает вариационную формулировку.

Соответствующий функционал имеет вид


В. Рассматривается уравнение

где  a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями


Для оператора задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.

Найти функцию [2] М=М(x,t,u,ui) в Ω для любого u из D(N) и  соответствующий функционал F[u] так, что


Используя условия (6), находим вариационный множитель М=еu(x,t). Тогда получим, что оператор вида

 


является потенциальным.

Соответствующее эквивалентное уравнение будет иметь вид:


 Таким образом, задача (13’), (11) допускает вариационную формулировку с функционалом



ЛИТЕРАТУРА.

[1]  Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.

[2] Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.