Электрон в слое
Министерство Образования, Молодежи и Спорта
Республики Молдова
Государственный университет Молдовы
Курсовая Работа
Тема Электрон в слое.
Работу выполнил студент 3-го курса Радченко Андрей
Кишинёв 1997 г. Микрочастица (электрон) в слое.
Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.
Она состоит в следующем
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом
ì -ћ2/(2m)׶2/¶x2 + U0 , x < -a
Ù ï
H = í -ћ2/(2m0)׶2/¶x2 , -a < x < a
ï
î -ћ2/(2m)׶2/¶x2 + U0 , x > a
Где m — эффективная масса электрона в областях I , III ;
m0 — эффективная масса электрона в области II.
Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области
ì ¶2YI/¶x2 + 2m/ћ2×(E — U0)YI = 0 , x £ -a
ï
í ¶2YII/¶x2 + 2m0/ћ2×E×YI = 0 , -a £ x £ a
ï
î ¶2YIII/¶x2 + 2m/ћ2×(E — U0)×YI = 0 , x ⊃3; a
Область I
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу
YI(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).
Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,
YI(x) = A×exp(n×x).
Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется
YII(x) = C×exp(i×k×x) + D×exp(-i×k×x).
Функция состояния для третьей области выглядит так
YIII(x) = F×exp(-n×x).
Где
k = (2m0×E/ћ2)1/2
n = (2m×(U0-E)/ћ2)1/2.
Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем
¨ Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
¨ В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.
¨ Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций
YI(x=-a) = YII(x=-a)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YI¢(x=-a)/m = YII¢(x=-a)/m0
YII¢(x=a)/m0 = YIII¢(x=a)/m
А в наших определениях этих функций это выглядит так
A×exp(-n×a) = C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)
m-1×A× n×exp(-n×a) = i×k×/m0×(C×exp(-i×k×a) — D×exp(i×k×a))
C×exp(i×k×a) + D×exp(-i×k×a) = F×exp(-n×a)
i×k×/m0×(C×exp(i×k×a) — D×exp(-i×k×a)) = — n/m×F×exp(-n×a).
Теперь составим определитель
|exp(-n×a) -exp(-i×k×a) -exp(i×k×a) 0 |
|m-1×n×exp(-n×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m0×i×k×exp(i×k×a) 0 |
|0 exp(i×k×a) exp(-i×k×a) -exp(-n×a) |
|0 1/m0×i×k×exp(i×k×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)|
Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии
((n/m)2 — (k/m0)2)×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0)×Cos(2×k×a) = 0.
Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C = F×exp(-n×a)×{exp(i×k×a) + exp(-3×i×k×a) ×( i×k/m0 — n/m)/(n/m + i×k/m0)}
D = C×exp(-2×i×k×a)×( i×k/m0 — n/m)/(n/m + i×k/m0)
A = exp(n×a)×(C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)) .
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения
A = RA×F
C = RC×F
D = RD×F.
RA, RC, RD — известные постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.
Действительно
YI(x) = F×RA×exp(n×x)
YII(x) = F×( RC×exp(i×k×x) + RD×exp(-i×k×x)).
YIII(x) = F×exp(-n×x).
I1 + I2 + I3 = 1
Где
I1 = |F|2×|RA|2×òQexp(2×n×x)×dx = |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(2×n×x) =
= |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a)
I2 = |F|2×{ òL|RC|2×dx + òL|RD|2×dx + RC×RD*×òLexp(2×i×k×x)×dx +
+ RC*×RD×òLexp(-2×i×k×x)×dx } = |F|2×{ 2×a×(|RC|2 + |RD|2) +
((exp(2×i×k×a) — exp(-2×i×k×a))×RC×RD*/(2×i×k) +
+ i×((exp(-2×i×k×a) — exp(2×i×k×a))×RC*×RD/(2×k) }
I3 = |F|2×òWexp(-2×n×x)×dx = |F|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a)
|F|2 = { |RA|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a) + 2×a×(|RC|2 + |RD|2) +
((exp(2×i×k×a) — exp(-2×i×k×a))×RC×RD*/(2×i×k) +
+ i×((exp(-2×i×k×a) — exp(2×i×k×a))×RC*×RD/(2×k) + (2×n)-1×exp(-2×n×a) }-1.
Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.
Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.
То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто
U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.
Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера
¶2Y/¶x2 + 2m/ћ2×(E — U0)Y = 0
следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом
r = exp(i 2ak)
Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×rm , где m=0, ±1, ±2,… (2)
Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E
¶2YI/¶x2 + 2m2/ћ2×(E — U0)YI = 0 , 0 > x > -a
его решение выглядит просто
YI(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).
Где n = (2m2 (U0-E) /ћ2)1/2
Рассмотрим область II
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде
¶2YII/¶x2 + 2m1/ћ2×E YII = 0 , a ⊃3; x ⊃3; 0
его решение выглядит просто
YII(x) = C×exp(i×p×x) + D×exp(-i×p×x).
Где p = (2m1E/ћ2)1/2
Рассмотрим область III
¶2YIII/¶x2 + 2m2/ћ2×(E — U0)YIII = 0 , 2a > x > a
его решение выглядит просто
YIII(x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)).
Запишем граничные условия
YI(x=0) = YII(x=0)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YI¢(x=0)/m = YII¢(x=0)/m0
YII¢(x=a)/m0 = YIII¢(x=a)/m
Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D
A+B=C+D
C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1
(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель
|1 1 -1 -1 |
|exp(i×k×2a+n×a) exp(i×k×2a-n×a) -exp(i×p×a) -exp(-i×p×a) |
|n/m2 -n/m2 -i×p/m1 i×p/m1 |
|n/m2exp(i×k×2a+n×a) -n/m2×exp(i×k×2a-n×a) — i×p/m1×exp(i×p×a) i×p/m1×exp(-i×p×a) |
и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.
a=10; U=10; m1=4; m2=1
0.1135703312666857
0.6186359585387896
0.2019199605676639
0.3155348518478819
0.05047267055441365
1.263391478912778
0.4544326758658974
2.137353840637548
0.808172718170137
2.479933076698526
0.4544326758658974
6.168062551132728
5.611693924351967
1.820461802850339
1.529165865668653
1.023077302091622
a=10 U=10 m1=2 m2=1
0.1032788024178655
0.2324238959628721
0.41331603936642
0.6460490460448886
0.930750939555283
1.26759057783714
1.656787195799296
2.098624192369327
2.593469359607937
3.141805331837109
3.744277072860902
5.887485640841992
a=10 U=10 m1=1 m2=1
0.05408120469105441
0.2163802958297131
0.4870681554965061
0.86644533469418
1.354969224117534
1.953300729714778
2.662383817919513
4.418966218448088
7.961581805911094
a=10 U=10 m1=0.5 m2=1
0.118992095909544
4.249561710930034
1.068004282376146
0.4754473139332004
5.78216724725356
2.955345679469631
1.895012565781256
a=10 U=10 m1=.25 m2=1
0.2898665804439349
4.30026851446248
2.479039415645616
1.132264393019809