Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения по гипотезам прочности

Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия
Кафедра Детали машин»
Методическое пособие и задачи для самостоятельного решения по курсу «ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА»
Раздел «Сопротивление материалов»

Тема РАСЧЕТ ВАЛА ПРИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ПО ГИПОТЕЗАМ ПРОЧНОСТИ.

Составил доцент Комаров Н.В.

Кострома 2003

Для решения задания необходимо усвоить тему «Гипотезы прочности и их применение», т.к в задачах рассматриваются совместные действия изгиба и кручения и расчет производится с применением гипотез прочности.
Условие прочности в этом случае имеет вид
sэк в = Мэк в/ Wz £[s]
Мэк в — так называемый эквивалентный момент
По гипотезе наибольших касательных напряжений (III — гипотеза прочности)
Мэк в III = (Ми2 + Тк2) 1/2
По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (V — гипотезе прочности)
Мэк в V = (Ми2 + 0.75 Тк2) 1/2
В обеих формулах Т — наибольший крутящий момент в поперечном сечении вала Ми — наибольший суммарный изгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т.е.

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действия реакциями в вертикальных и горизонтальных плоскостях
2. По. заданной мощности Р и угловой скорости w определить вращающие моменты действующие на вал.
3. Вычислить нагрузки F1, Fr1, F2, Fr2 приложенные к валу.
4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях.
5. Построить эпюру крутящих моментов.
6. Построить эпюру изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры Mz и My).
7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента
Мэк в III = (Мz2 + My2 + Тк2) 1/2 или
Мэк в V = (Мz2 + My2 + 0.75 Тк2) 1/2
8. Приняв sэк в = [s] определить требуемый осевой момент сопротивления
Wz = М эк в/[s]
9. Учитывая, что для бруса сплошного круглого сечения
Wи = p*dв3/32 » 0.1* dв3
определяем диаметр его d по следующей формуле
d ⊃3; (32* М эк в / p*[s]) 1/3 » (М эк / 0.1 [s]) 1/3

Пример Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающего мощность Р = 15 кВт при угловой скорости w =30 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам .
а) Используя, III -гипотезу прочности
б) Используя, V — гипотезу прочности
Принять [s] =160МПа, Fr1 = 0.4 F1, Fr2 = 0.4 F2
Составляем расчетную схему вала Т1=Т5, где Т1 и Т2 — скручивающие пары, которые добавляются при параллельном переносе сил F1 и F2 на ось вала
Определяем вращающий момент действующий на вал
Т1 = Т2 = Р/w = 0,5*103 Нм = 0,5 кНм
Вычисляем нагрузку приложенную к валу
F1 = 2*T1/d1 = 2*0.5*103/0.1 = 104 H = 10kH
F2 = 2*T2/d2 = 2*0.5*103/0.25 = 4*103 H = 4kH
Fr1 = 0.4*103 = 4 kH Fr2 = 0.4*4 = 1.6 kH
Определяем реакции опор в вертикальной плоскости YOX (рис б)
åMa = — Fr1 AC — Fr2 AD + RBY*AB = 0
RBY = Fr1 AC + Fr2 AD / AB = 4*0.05 + 1.6*0.25/0.3 = 2 kH
åMB = — RAY*AB + Fr1*BC + Fr2*DB = 0
RAY = Fr1*BC + Fr2*DB / AB = 4*0.25 + 1.6*0.05/03 = 3.6 kH
Проверка
åY = RAY — Fr1 — Fr2 + RBY = 2-4-1.6+3.6 = 0
åY = 0, следовательно RAY и RBY найдены правильно
Определим реакции опор в горизонтальной плоскости ХОZ (рис б)
åMA = F1 AC — F2 AD — RBz*AB = 0
RBz = F1 AC — F2 AD / AB = 10*0.05 — 4*0.25/0.3 = — 1.66 kH
Знак минус указывает, что истинное направление реакции RBz противоположно выбранному (см. рис. б)
åMB = RAz*AB — F1*CB + F2*DB = 0
RAz = F1*CB — F2*DB / AB = 10*0.25 — 4*0.05/0.3 = 7.66 kH
Проверка
åZ = RAz — F1 + F2 — RBz = 7.66-10+4-1.66 = 0
åZ = 0, следовательно реакции RAz и RBz найдены верно.
Строим эпюру крутящих моментов Т (рис в).

Определяем ординаты и строим эпюры изгибающих моментов Mz в вертикальной плоскости (рис. г и д) и Мy — в горизонтальной плоскости.
МCz = RAy*AC = 3.6*0.05 = 0.18 kHм
МDz = RAy*AD — Fr1*CD = 3.6*0.25 — 4*0.2 = 0.1 kHм
МCy = RAz*AC = 7.66*0.05 = 0.383 kHм
МDy = RAz*AD — F1*CD = 7.66*0.25 — 10*0.2 = — 0.085 kHм
Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по заданным координатам так как в данном примере значение суммарного изгибающего момента в сечений С больше, чем в сечении D, то сечение С и является опасным. Определяем наибольший суммарный изгибающий момент в сечении С.
Ми С = (МСz2 + MCy2) 1/2 = (0.182 + 0.3832) 1/2 = 0.423 kHм
[Ми D = (МDz2 + MDy2) 1/2 = (0.12 + 0.0852) 1/2 = 0.13 kHм]
Эквивалентный момент в сечении C по III и V гипотезе прочности
Мэк в III = (Мz2 + My2 + Тк2) 1/2 = (0182+ 0.3832+0.52) 1/2 =
= 0.665 kHм
Мэк в V = (Мz2 + My2 + 0.75 Тк2) 1/2 =
= (0.182+0.3832+0.75*0.52) 1/2 = 0.605 kHм
Определяем требуемые размеры вала по вариантам III и V гипотез прочности.
dIII = (Мэк в III / 0.1*[s]) 1/2 = (0.655*103/0.1*160*106) 1/2 =
= 3.45*10-2 (м) = 34.5 (мм)
dVI = (Мэк в V / 0.1*[s]) 1/2 = (0.605*103/0.1*160*106) 1/2 =
= 3.36*10-2 (м) = 33.6 (мм)
Принимаем диаметр вала согласно стандартного ряда значений d=34 мм
Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала постоянного поперечного сечения, с двумя зубчатыми колёсами, предающего мощность Р, при заданной угловой скорости.
Принять [s] =160МПа, Fr1 = 0.4 F1, Fr2 = 0.4 F2 (Все размеры указаны на рисунках)

№ задачи
вариант
Р, кВт
w, рад/с
№ задачи
вариант
Р, кВт
w, рад/с

0
0
6
22
1
0
3
25

1
8
36

1
8
48

2
10
40

2
10
50

3
9
30

3
12
40

4
3
45

4
22
24

5
20
50

5
20
60

6
12
68

6
20
22

7
5
20

7
9
36

8
3
50

8
8
42

9
12
48

9
15
35

2
0
10
30
3
0
5
40

1
20
80

1
6
36

2
15
45

2
7
35

3
12
38

3
12
24

4
14
18

4
15
15

5
8
42

5
12
32

6
10
45

6
9
42

7
18
22

7
10
45

8
25
40

8
7
21

9
5
42

9
20
36

4
0
5
18
5
0
20
45

1
10
18

1
19
38

2
12
30

2
21
15

3
24
30

3
18
26

4
6
24

4
15
18

5
12
52

5
16
50

6
3
15

6
8
30

7
15
45

7
7
20

8
19
50

8
10
24

9
20
25

9
13
48

№ задачи
вариант
Р, кВт
w, рад/с
№ задачи
вариант
Р, кВт
w, рад/с

6
0
4
35
7
0
16
40

1
20
15

1
30
50

2
18
20

2
28
42

3
16
18

3
20
38

4
30
24

4
15
20

5
25
30

5
18
30

6
22
28

6
22
30

7
15
18

7
27
35

8
8
24

8
24
28

9
10
12

9
4
20

8
0
12
38
9
0
40
70

1
15
42

1
30
50

2
10
32

2
32
38

3
20
50

3
25
42

4
23
18

4
12
32

5
14
24

5
28
34

6
16
20

6
20
35

7
24
15

7
10
20

8
26
25

8
14
30

9
6
48

9
35
40

«