Общая теория статистики (Контрольная)

адание 1.
С целью выявления зависимости между экономическими показателями провести группировку 50 ремонтных предприятий железнодорожного транспорта (см. Таб. 1) с равными интервалами, выделив 5 групп.

Исходные данные
Таб. 1

№
Группировоч-ный признак
Результатив-ный признак

№
Группировоч-ный признак
Результатив-ный признак

число вагонов находящихся в ремонте, шт/сут
чистая прибыль предприятия, млн.руб.

число вагонов находящихся в ремонте, шт/сут
чистая прибыль предприятия, млн.руб.

51
8
130

76
10
134

52
11
148

77
6
136

53
36
155

78
7
133

54
2
124

79
1
127

55
2
125

80
7
128

56
29
135

81
1
118

57
14
126

82
5
124

58
14
136

83
15
137

59
8
124

84
6
110

60
8
128

85
17
139

61
5
110

86
8
148

62
8
150

87
1
123

63
1
110

88
10
138

64
6
122

89
21
189

65
18
140

90
11
139

66
4
110

91
2
122

67
9
139

92
2
124

68
2
121

93
1
113

69
1
111

94
8
117

70
5
132

95
6
126

71
1
129

96
3
130

72
7
139

97
3
112

73
9
148

98
2
133

74
25
144

99
25
195

75
16
146

100
5
176

Решение задачи

Группировка производится по группировочному признаку. Определим величину (шаг) интервала группировки по формуле

k = 5 , число групп в группировке (из условия)
Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение группировочного
признака
l – величина (шаг) интервала группировки.

Определим нижнюю и верхнюю интервальные границы для каждой группы

номер границы
группы нижняя верхняя
1 1.0 8.0
2 8.0 15.0
3 15.0 22.0
4 22.0 29.0
5 29.0 36.0

Составим рабочую таблицу, куда сведем первичный статистический материал

Группы предпри-ятий по кол-ву вагонов нахощящ. на ремонте, шт/сут
Номер предприятия
Число вагонов, находящихся в ремонте, шт/сут
Чистая прибыль предприятия, млн.руб.

1
2
3
4

1.0 — 8.0
51 54 55 59 60 61 62 63 64 66 68 69 70 71 72 77 78 79 80 81 82 84 86 87 91 92 93 94 95 96 97 98 100
8 2 2 8 6 5 8 1 6 4 2 1 5 1 7 6 7 1 7 1 5 6 8 1 2 2 1 8 6 3 3 2 5
130 124 125 124 128 110 150 110 122 110 121 111 132 129 139 136 133 127 128 118 124 110 148 123 122 124 113 117 126 130 112 133 176

ИТОГО
33
140
4165

8.0 — 15.0
52 57 58 67 73 76 83 88 90
11 14 14 9 9 10 15 10 11
148 126 136 139 148 134 137 138 139

ИТОГО
9
103
1245

15.0 — 22.0
65 75 85 89
18 16 17 21
140 146 139 189

ИТОГО
4
72
614

22.0 — 29.0
56 74 99
29 25 25
135 144 195

ИТОГО
3
79
474

29.0 — 36.0
53
36
155

ИТОГО
1
36
155

Разработаем аналитическую таблицу взаимосвязи между числом вагонов находящихся на ремонте и чистой прибылью

Табл. 2

Группы предпр. по кол-ву вагонов поступающих в ремонт
Число предпри-ятий
Число вагонов находящихся в ремонте, шт/сут
Чистая прибыль, млн.руб

Всего по группе
в среднем на одно предприятие
Всего по группе
в среднем на одно предприятие

1.0 — 8.0
33
140
4,2
4165
126,2

8.0 — 15.0
9
103
11,4
1245
138,3

15.0 — 22.0
4
72
18,0
614
153,5

22.0 — 29.0
3
79
26,3
474
158,0

29.0 — 36.0
1
36
36,0
155
155,0

Исследовав показатели работы 50-ти предприятий железнодорожного транспорта, можно сказать, что чистая прибыль предприятия находится в прямой зависимости от числа вагонов находящихся в ремонте.

Задание 2.
Рассчитать коэффициенты вариации по группировочному признаку на основании исходных данных и по аналитической группировке согласно своего варианта из задания 1. Объяснить (если есть) расхождения в значениях полученных коэффициентов.

Решение
Расчет коэффициента вариации проводится по следующей формуле

где G – среднее квадратическое отклонение;
x — средняя величина

1)

n – объем (или численность) совокупности,
х — варианта или значение признака (для интервального ряда принимается
среднее значение)
Рассчитаем показатели вариации для примера, рассмотренного в задании 1. Расчет проводится по группировочному признаку. Во-первых, рассчитаем все показатели по исх. данным (см. табл. 1)

2) Среднее кв. отклонение рассчитываем по формуле

вернемся к форм. ( 1 )
3) Теперь рассчитаем коэффициент вариации по аналитической таблице (см. табл. 2)
Рассчитаем серединные значения интервалов

4,5 11,5 18.5 25,5 32,5

1 8 15 22 29 36

, где

f — частота, т.е. число, которое показывает, сколько встречается каждая
варианта

ваг.
Расчет среднего квадратического отклонения по аналитической группировке

Вывод в обоих случаях расчета, коэффициент вариации (V) значительно больше 30 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточно типична.

Задание 3.
Провести 20 % механическую выборку из генеральной совокупности, представленной в таблице (использовать все 100 предприятий), по показателю, который является результативным признаком в аналитической группировке задания 1 в соответствии с вариантом. С вероятностью 0,997 рассчитать границы изменения средней величины в генеральной совокупности. Рассчитать среднюю данного признака по генеральной совокупности (по табл.) и сравнить с результатом, полученным на основании расчета по выборочной совокупности. Начало отбора начинать с номера предприятия совпадающего с номером варианта (8).

1) Табл.

Номер предприятия
Чистая прибыль предпр., млн.руб.

Номер предприятия
Чистая прибыль предпр., млн.руб.

1
2

1
2

8 13 18 23 28 33 38 43 48
203 163 131 134 130 117 133 125 141

53 58 63 68 73 78 83 88 93 98
155 136 110 121 148 133 137 138 113 133

2) Для расчета границ изменения средней характеристики генеральной совокупности по материалам выборки воспользуемся формулами

( 1 )

( 2 )

( 3 )

Х – средняя генеральной совокупности;
Х – средняя выборочной совокупности;

предельная ошибка выборки;

t — коэффициент доверия = 0,997 (по условию);
М – средняя ошибки выборки
G2 – дисперсия исследуемого показателя;
n – объем выборочной совокупности;
N – объем генеральной совокупности;
n/N – доля выборочной совокупности в объеме генеральной (или %
отбора, выраженный в коэффициенте)

Решение

В данном варианте задания средняя чистая прибыль на одно предприятие по выборочной совокупности равна

Х=136,8 млн.руб.;

дисперсия равна = 407,46;
коэф-т доверия =3, т.к. вероятность определения границ средней равна =0,997 (по усл);
n/N = 0,2, т.к. процент отбора составляет 20 % (по условию).
Рассчитаем среднюю ошибку по ф. (3)

Рассчитаем предельную ошибку и определим границы изменения средней по ф. (2)

Т.о. с вероятностью 0,997 можно утверждать, что чистая прибыль на одно предприятие в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 124,5 млн.руб. до 149,1 млн.руб., включая в себя среднюю по выборочной совокупности.

Теперь рассчитаем среднюю по генеральной совокупности (по 100 предприятиям) и сравним ее с полученной интервальной оценкой по выборке

где а1 + а2 +. . . +а100 – сумма числа вагонов, находящихся в ремонте
(штук в сутки) на 1, 2, 3 . . .,100 предприятиях.

Вывод Сравнивая среднюю генеральную совокупность равную 140,27 с интервальной оценкой по выборке 124,5 < x < 149,1 делаем выбор, что интервал с заданной вероятностью заключает в себе генеральную среднюю. Задание 4.
По данным своего варианта (8) рассчитайте

Индивидуальные и общий индекс цен;
Индивидуальные и общий индексы физического объема товарооборота;
Общий индекс товарооборота;
Экономию или перерасход денежных средств населения в результате изменения цен на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным

Исх. данные

Вид товара
БАЗИСНЫЙ ПЕРИОД (0″)
ОТЧЕТНЫЙ ПЕРИОД («1»)

Цена за 1 кг, тыс.руб
Продано, тонн
Цена за 1 кг, тыс.руб
Продано, тонн

1
2
3
4
5

А
4,50
500
4,90
530

Б
2,00
200
2,10
195

В
1,08
20
1,00
110

Решение

Индекс – это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов); включает 2 вида

Отчетные, оцениваемые данные («1»)
Базисные, используемые в качестве базы сравнения («0»)

Найдем индивидуальные индексы по формулам

(где р, q – цена, объем соответственно; р1, р0 — цена отчетного, базисного периодов соответственно; q1, q2 — объем отчетного, базисного периодов соответственно)

для величины (цены) по каждому виду товара

для величины q (объема) по каждому виду товаров

Найдем общие индексы по формулам

представляет собой среднее значение индивидуальных индексов (цены, объема), где j – номер товара.

Общий индекс товарооборота равен

Найдем абсолютное изменение показателя (экономии или перерасхода)

получаем

Вывод наблюдается перерасход денежных средств населения в результате изменения цен на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным, в среднем на 5,54%.

Задание 5.
Определить, как изменяться цены на товары, если их стоимость в среднем увеличится на 3,2 %, а физический объем реализации в среднем не изменится.

Решение

Для базисного периода для цен характерен следующий индекс

Для отчетного периода известно увеличение стоимости на 3,2 %, т.е.

Вывод из полученного видно, что цены на товары в следствие увеличения их стоимости на 3,2% соответственно возрастут на 3,2%.

Задание 6.
Рассчитать коэффициент корреляции по исходным данным своего варианта, используя задание 1.

Решение
Коэффициент корреляции оценивает тесноту связи между несколькими признаками. В данном случае требуется оценить связь между двумя признаками. Поэтому необходимо рассчитать парный коэффициент корреляции. Воспользуемся следующими формулами

где
— индивидуальные значения факторного и результативного
признаков;
— средние значения признаков;
— средняя из произведений индивидуальных значений признаков;

— средние квадратические отклонения признаков

Коэффициент рассчитаем по исходным данным варианта (50 предприятий), которые представлены в табл. 1

Расчет средней из произведений проведем в таблице M, заполняя данные о факторном и результативном признаке из таблицы № 1

№
Группир. признак
Результат признак
X x Y

№
Группир. признак
Результат признак
XxY

число вагонов, шт/сут
чистая прибыль, млн.руб.

число вагонов, шт/сут
чистая прибыль, млн.руб.

51
8
130
1040

76
10
134
1340

52
11
148
1628

77
6
136
816

53
36
155
5580

78
7
133
931

54
2
124
248

79
1
127
127

55
2
125
250

80
7
128
896

56
29
135
3915

81
1
118
118

57
14
126
1764

82
5
124
620

58
14
136
1904

83
15
137
2055

59
8
124
992

84
6
110
660

60
8
128
1024

85
17
139
2363

61
5
110
550

86
8
148
1184

62
8
150
1200

87
1
123
123

63
1
110
110

88
10
138
1380

64
6
122
732

89
21
189
3969

65
18
140
2520

90
11
139
1529

66
4
110
440

91
2
122
244

67
9
139
1251

92
2
124
248

68
2
121
242

93
1
113
113

69
1
111
111

94
8
117
936

70
5
132
660

95
6
126
756

71
1
129
129

96
3
130
390

72
7
139
973

97
3
112
336

73
9
148
1332

98
2
133
266

74
25
144
3600

99
25
195
4875

75
16
146
2336

100
5
176
880

61686

Расчет коэффициента корреляции проведем по первой из предложенных в начале решения двух формул

Вывод т.к. полученный коэффициент корреляции больше значения 0,8, то можно сделать вывод о том, что теснота связи между исследуемыми признаками достаточно тесная.

Задание 7.
По данным своего варианта (см. табл. N) рассчитать индексы сезонности, построить график сезонности и сделать выводы.

Исх. данные

Табл. N

Месяц
Годы
Итого за 3 года
В сред-нем за месяц
Индексы сезон-ности, %

1991
1992
1993

1
2
3
4
5
6
7

Январь
4600
2831
3232
10663
3554
90,3

Февраль
4366
3265
3061
10692
3564
90,6

Март
6003
3501
3532
13036
4345
110,5

Апрель
5102
2886
3350
11338
3779
96,1

Май
4595
3054
3652
11301
3767
95,8

Июнь
6058
3287
3332
12677
4226
107,4

Июль
5588
3744
3383
12715
4238
107,8

Август
4869
4431
3343
12643
4214
107,1

Сентябрь
4065
3886
3116
11067
3689
93,8

Октябрь
4312
3725
3114
11151
3717
94,5

Ноябрь
5161
3582
2807
11550
3850
97,0

Декабрь
6153
3598
3000
12751
4250
108,0

В среднем
5073
3482
3244

3953
100,0

Сезонными колебаниями называют устойчивые внутригодовые колебания в ряду динамики. Они характеризуются индексами сезонности, совокупность которых на графике образует сезонную волну.

Воспользуемся следующей формулой расчета индексов сезонности

Vt — фактические (средние) данные по месяцам (среднемесячный
результат, вычисленный за 3 года по одноименным месяцам);
Vo — общая или постоянная средняя (среднемесячный уровень по
36-ти месяцам)
Теперь на основании полученных индексов сезонности (ст. 7 табл. N) построим график сезонности

Вывод Сезонность имела три волны подъема количества отправленных вагонов с одной станции

главный – в марте м-це
второй (слабее) – в июне-июле м-цах
третий (слабее) — в декабре м-це.

Уменьшение наблюдается

в начале года (январь-февраль м-цы)
во второй половине весны (апрель-май м-цы)
осенью (сентябрь-ноябрь м-цы)

Задание выполнено 10 ноября 1997 года.

_____________________Фролова Е.В.

Литература

Дружинин Н.К. Математическая статистика в экономике. – М. Статистика, 1971.

Елисеева И.И. моя профессия – статистик. – М. Финансы и статистика, 1992.

Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики Учебник / Под ред. Чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М. Финансы и статистика, 1996.

Кривенкова Л.Н., Юзбашев М.М. Область существования показателей вариации и ее применение // Вестник статистики. – 1991. — №6. – С.66-70

Работа над ошибками.

Задание 4

п.2) Найдем общие индексы цен по формуле Пааше – расчет производится на основе данных о количестве проданных товаров в базисном и отчетном периоде (по каждому j-му товару)

п.3) Найдем общий индекс товарооборота

Проверка

Из проверки видно, что расчет общего индекса товарооборота произведен верно.

п.4) Найдем абсолютное изменение показателя (экономия — перерасход)

Получаем
Т.к. полученная величина положительно, то мы имеем перерасход средств.

«