Лекция по ТТМС (моделирование систем)

Глава I Математическое моделирование системных элементов

Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естес-
твознания, Галилео Галилей (1564 — 1642гг.) говорил, что Книга природы написана на языке математики». Почти через двести лет родоначальник немецкой классической фи-
лософии Иммануил Кант (1742 — 1804гг.) утверждал, что «Во всякой науке столько ис-
тины, сколько в ней математики». Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практи-
чески уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 — 1943гг.) констатировал «Математика — основа всего точного естествознания».
Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов.

1.1. Три этапа математизации знаний

Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний ма-
тематическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории.

Первый этап — это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто фе-
номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигна-
лами (входами µ §) и выходными реакциями (откликами µ §) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами µ §. Данный этап математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её эмпирического материала.

Второй этап математизации знаний определим как модельный. На этом этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных, базовых (фун-даментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные. Таким образом, на «модельном» этапе математизации, т.е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического воспроизве-дения, «теоретической реконструкции» некоторого интересующего исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта — математической модели.

Третий этап — это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Тре-
тий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиомати-
ки. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт возможность преодоле-
вать узость мышления, порождаемую специализацией.

1.2. Математическое моделирование и модель

Математическое моделирование — это теоретико-экспериментальный метод позна-
вательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов — матема-
тических моделей.
Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характе-
ристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения — реакции
µ §, в зависимости от параметров объекта-оригинала µ §, входных воздей-
ствий µ §, начальных и граничных условий, а также времени.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала µ §, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала µ § с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математичес-
кие описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделя-
ми.
Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж.Коэном.

Определение 2. Математическая модель — это формальная система, представляю-
щая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами («грамматика» и «синтак-
сис» математических выражений) приводят к формированию абстрактных математичес-
ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математи-
ческой моделью.
Таким образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в тех-нологии математического моделирования, рассмотрим ее более подробно.

1.3. Интерпретации в математическом моделировании

Интерпретация (от латинского «interpretatio» — разъяснение, толкование, истолко-
вание) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-либо об-
разом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным симво-
лам. В математическом аспекте интерпретация — это экстраполяция исходных положе-
ний какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исход-
ные положения которой определяются независимо от формальной системы. Следова-
тельно, можно утверждать, что интерпретация — это установление соответствия между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т.е. ус-
тановлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения фор-
мальной системы получают подтверждение в содержательной системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некото-
рый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие наруша-
ется, имеет место частичная интерпретация.
При математическом моделировании в результате интерпретации задаются значе-
ния элементов математических выражений (символов, операций, формул) и целостных конструкций.
Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание интер-
претации применительно к задаче математического моделирования.

Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании — это информа-
ционный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в кон-
кретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения
непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и называе-
мого областью интерпретации, в кообласть — информационное множество данных и зна-
ний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое об-
ластью значений интерпретации.

Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из основопола-
гающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного) модели-
рования.
Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам (компонентам) ма-
тематического выражения, делает последнее математической моделью реального объек-
та.

1.4. Виды и уровни интерпретаций

Создание математической модели системного элемента — многоэтапный процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ, является интер-
претация. Количество этапов и их содержание зависит от начального (исходного) ин-
формационного содержания интерпретируемого математического объекта — математи-
ческого описания и требуемого конечного информационного содержания математичес-
кого объекта — модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий переход от АМО — описания к конкретной ММ, включает четыре вида интерпретаций синтаксичес-
кую (структурную), семантическую(смысловую), качественную(численную) и количес-
твенную. В общем случае, каждый из перечисленных видов интерпретации может иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно перечисленные виды интер-
претаций.

Cинтаксическая интерпретация

Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение морфоло-
гической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического языка, так и различных матема-
тических языков.
При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов задач реализации.

Задача 1. Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации сформировать мор-
фологическую структуру математического выражения
µ § (1)

Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру,
которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя (эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации преобразовать в со-
ответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру Stµ §в адекватную требуемую Stµ §,т.е.
µ § (2)

Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру Stµ §, удовлетворяющую общим принципам и требованиям исследователя с точки зрения её синтаксической организации. Требуется посредством синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой Stµ §до уровня требований, определяемых целями и задачами моделирования
µ § (3)

Таким образом, синтаксическая интерпретация математических объектов даёт воз-
можность формировать морфологические структуры АМО, осуществлять отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать морфологические структурные представ-
ления АМО в рамках одного математического языка.

Семантическая интерпретация

Семантическая интерпретация предполагает задание смысла математических вы-
ражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и знаков в терминах сфе-
ры, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация даёт возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы, виды, клас-
сы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и абстраги-
рования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая интерпре-
тация представляется как многоуровневый, многоэтапный процесс.
Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл абстрактному ма-
тематическому объекту, «переводит» последний в категорию математической модели с объекта-оригинала, в терминах которого и осуществляется такая интерпретация.

Качественная интерпретация

Интерпретация на качественном уровне предполагает существование качествен-
ных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах (значениях) которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут использоваться графические и числовые представления, посредством которых, например, интерпретиру-
ется режим функционирования объекта моделирования.

Количественная интерпретация

Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин, определяющих значение па-
раметров, характеристик, показателей.
В результате количественной интерпретации появляется возможность из класса, группы или совокупности аналогичных математических объектов выделить один един-
ственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта-ори-
гинала.
Таким образом, в результате четырех видов интерпретаций — синтаксической, се-
мантической, качественной и количественной происходит поэтапная трансформация
АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы µ § , в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта моделирования.

Глава II Концептуальное метамоделирование функционирования системного
элемента

2.1. Системный элемент как объект моделирования
Понятие «элемент» является одним из фундаментальных в общей теории систем (ОТС) — системологии. Оно происходит от латинского «Elementarius» и имеет смысл начальный, простой, простейший, конечный, неделимый, лежащий в основе чего-либо.Впервые понятие «элемент» встречается, по-видимому, у Аристотеля в его работе «Метафизика».
Согласно ОТС, любая система (обозначим ее S), независимо от ее природы и наз-
начения, а также от сознания субъекта (эксперта), существует только в структуриро-ванной форме. Структурированность выступает в качестве всеобщего свойства мате-
рии — ее атрибута. Именно свойство структурированности, а следовательно, и члени-
мости целостной системы S на части µ § приводит к образованию компо-
нент-подсистем µ § и элементов µ §
В целенаправленных действующих системах S любой компонент µ § целого характеризуется как поведением, так и строением. В тех случаях, когда при моделиро-вании рассматривается (исследуется) и поведение (j) и строение (m), компонент µ § определяется как подсистема системы S. Если же рассмотрению подвергается только поведение компонента µ §, то его определяют как элемент µ § где Е — комплект элементов, выступающий носителем системы S. Таким образом, сущность компонента «подсистема» дуальна. Для вышерасположенных компонент µ § подсистема выступает как элемент, а для нижерасположенных — как система.
В системологии понятие «элемент» трактуется двояко — как абсолютная и как от-
носительная категории. Абсолютное понятие элемента определяется физико-химичес-
ким подходом, относительное — системологическим.
Понятие абсолютного элемента µ § связано с определением начального мини-мального компонента системы S, т.е. такой ее части, которая сохраняет основные
свойства исходной целостной системы S. При таком подходе, назовем его молекуляр-
ным, понятие «элемент» включает в себя и фиксирует существенные свойства целост-
ной системы S.
Понятие относительного элемента µ § (µ §) связано с уровнем познания
исходной целостной системы S. При этом элемент µ § рассматривается как системная
категория, зависящая от «взгляда» и «отношения» к нему субъекта (исследователя, эксперта). Такой подход к определению элемента µ § назовем системологическим. При системологическом подходе компонент µ § является элементом µ § (µ §) толь-
ко в рамках данного рассмотрения на выделенном уровне анализа. Для системологи-
ческого подхода понятие элемента, как относительной категории, может быть сформу-
лировано следующим образом.

Определение 1. Элемент — это относительно самостоятельная часть системы,
рассматриваемая на данном уровне анализа как единое целое с интегральным поведени-
ем, направленным на реализацию присущей этому целому функции.

С учетом изложенного выше, рассмотрим элемент с точки зрения целостности.

2.2. Целенаправленность системного элемента
Фундаментальным свойством системного элемента µ § является его целенаправленность и, как следствие, способность функционировать. Под функциони-
рованием принято принято понимать реализацию присущей элементу µ § функции, т.е.
возможность получать некоторые результаты деятельности системного элемента µ §, определяемые его целевым назначением.
Целенаправленно действующий системный элемент µ § должен обладать, по край-
ней мере, тремя основными атрибутами
— элемент µ § выполняет одну или несколько функций,
— элемент µ § обладает определенной логикой поведения,
— элемент µ § используется в одном или нескольких контекстах.
Функция указывает на то, «что делает элемент µ §».
Логика описывает внутренний алгоритм поведения элемента µ §, т.е. определяет «как элемент µ § реализует свою функцию».
Контекст определяет конкретные условия применения ( приложения ) элемента µ § в тех или иных условиях, в той или иной среде.
Таким образом, принимая во внимание изложенное, можно определить содержа-
тельно что такое модель функционирования системного элемента µ §.

Определение 4. Модель функционирования элемента ( МФЭ ) — это отражение на неко-тором языке совокупности действий, необходимых для достижения целей ( целевой функции ), т.е. результата µ § функционирования элемента µ §. МФЭ не учитывает строение, а также способы и средства реализации элемента. Такая модель устанавли-вает факт «Что делает элемент µ § для достижения результата µ §», определяемого его целевым назначением.

2.3. Целостность системного элемента

Целостность одно из основных свойств (атрибутов) системного элемента. Она от-
ражает завершенную полноту его дискретного строения. Правильно сформированный
системный элемент µ § (µ §) характеризуется явно выраженной обособленностью (границами) и определенной степенью независимости от окружающей его среды. Относительная независимость системного элемента определяется (характеризуется) совокупностью факторов, которые назовем факторами целостности.

Факторы целостности Полная совокупность факторов целостности элемента µ § определяется двумя группами, которые назовем внешние факторы целостности и внут-ренние.

Внешние факторы 1. Низкий уровень связности (число взаимосвязей) элемента µ § с ок-ружающей его средой µ § , т.е. минимальная внешняя связность элемента µ §. Обозначив полную совокупность внешних связей элемента µ § через µ §, рассматриваемый фактор запишем как условие минимизации µ §® Min.
2. Низкий уровень взаимодействия µ § элемента µ § с окружающей его средой
µ §,т.е. слабое взаимодействие, определяемое минимальной совокупной интенсивностью обмена сигналами µ § ® Min.

Внутренние факторы 1. Высокая степень связности друг с другом частей, из которых состоит элемент µ §, т.е. суммарная внутренняя связность µ § максимальна µ §®Max.
2. Высокая интенсивность µ § взаимодействия частей, из которых состоит элемент µ §. Иными словами, имеет место сильное внутреннее взаимодействие µ §®Max.

Оценка целостности элемента Перечисленные выше факторы могут быть использова-
ны для оценки целостности системного элемента µ §. Такая оценка, в определенной мере, характеризует степень «прочности» элемента по отношению к окружающей его
среде µ §.
Введем понятие «прочность» как показатель внутренней целостности элемента и
определим его через суммарную композицию показателей взаимосвязей µ § и взаимо-
действий µ § всех частей, из которых состоит элемент µ §. Прочность элемента при
этом определяется выражением
µ § (1)
Для обобщенной оценки внешних взаимосвязей µ § и взаимодействий µ § элемента
µ § с окружающей его средой µ § введем показатель «сцепленности» и определим его как композицию показателей µ § и µ §, т.е.
µ § (2)

Полученные показатели прочности (1) и сцепленности (2) используем для оценки
целостности µ § элемента µ §. Такая оценка определяется отношением вида
µ § (3)
т.е. как отношение прочности µ § элемента µ § к его сцепленности µ § со средой µ §.

С учетом (1) и (2) выражение (3) принимает вид

µ § (4)

Уровни целостности элемента Анализ выражений (3) и (4) дает возможность ранжи-ровать элементы µ §по уровням целостности и качественно определить их устойчи-вость по отношению к окружающей среде.

Случай 1. Если значение показателя прочности µ § элемента µ § превосходит зна-
чение показателя сцепленности µ § элемента µ § с его средой µ §, т.е. µ § > µ §, а как
следствие и µ § > 1, то элемент µ § по своим целостным свойствам устойчив. В рассмат-
риваемом случае имеет место супераддитивная целостность.

Случай 2. Пусть значения показателей прочности µ § и сцепленности µ § равны,
т.е. µ § = µ §. В этом случае показатель целостности µ § = 1. Тогда элемент µ § по сво-
им целостным свойствам находится на грани устойчивости. Такой уровень целостности элемента µ § определим как аддитивная целостность.

Случай 3. Наконец, пусть значения показателя прочности µ § элемента µ § ниже значений показателя сцепленности µ § элемента µ § с его средой µ §. В рассматривае-
мом случае условия записываются в виде µ § < µ § и µ § < 1. При этом элемент µ § по сво-
им целостным свойствам не устойчив к интегральному вовлечению (растворению) в окружающей среде µ §. Рассматриваемый уровень целостности элемента µ § определим
как субаддитивная целостность.

Таким образом, введенный показатель µ § может использоваться как критерий
оценки качества целостных свойств элемента µ §, а также для сравнения раэличных элементов µ § (n = 1, 2, … , N) по критерию целостности.

2.4. Метод концептуального метамоделирования
Концептуальное метамоделирование ( КММ ) основано на использовании индук-
тивно-дедуктивного подхода. Создание КММ осуществляется на основе индуктивного подхода ( от конкретного к абстрактному, от частного к общему ) посредством обобще-
ния, концептуализации и формализации.
Использование КММ предполагает переходы от общего к частному, от абстракт-
ного к конкретному на основе интерпретаций.
КММ функционирования системного элемента µ § предполагает описание динами-
ки поведения на заданном уровне абстракции с точки зрения его взаимодействия с окру-
жающей средой, т.е. внешнего поведения. Математическое описание такого элемента должно отражать последовательность причинно-следственных связей типа «вход — вы-
ход» с заданной временной направленностью из прошлого в будущее. КММ функциони-
рования системного элемента µ § должна учитывать базовые концепции и существенные факторы, к числу которых, в первую очередь, следует отнести следующие.

1. Элемент µ §, как компонент системы µ §, связан и взаимодействует с другими компонентами этой системы.

2. Компоненты µ § системы µ § воздействуют на элемент µ § посредст-
вом входных сигналов, в общем случае, обозначаемых векторным множеством µ §.

3. Элемент µ § может выдавать в окружающую его среду µ § выходные сигна-лы, обозначаемые векторным множеством µ §.

4. Функционирование системного элемента µ § ( µ § ) происходит во време-
ни с заданной временной направленностью от прошлого к будущему µ § где µ §

5. Процесс функционирования элемента µ § представляется в форме отображения µ § входного векторного множества µ § в выходное — µ §, т.е. по схеме «вход — выход» и представляется записью вида
µ §.

6. Структура и свойства отображения µ § при моделировании на основе метода прямых аналогий определяется внутренними свойствами элемента µ §, во всех остальных случаях — инвариантны и связаны феноменологически.

7. Совокупность существенных внутренних свойств элемента µ §, представ-ляется в модели «срезом» их значений для фиксированного момента времени µ §, при
условии фиксированного «среза» значений входных воздействий µ § и опреде-
ляется как внутреннее состояние µ § элемента µ §.

8. Внутренние свойства элемента µ § характеризуются вектором параметров
µ §, которые назовем функциональными ( j — параметры ).

Концептуальное математическое описание системного элемента µ § ( µ § )
с учетом изложенных выше положений, представим кортежем

µ § . ( 1 )

Такое описание определим как концептуальную метамодель — КММ функционирования системного элемента µ §.

2.5. Стратифицированный анализ и описание КММ системного элемента
Концептуальные метамодели элемента, основанные на записи ( 1 ), могут образо-
вывать некоторые иерархии. Уровни таких иерархий определяются степенью ( этапами ) конкретизации свойств элемента. Ранжирование КММ ( 1 ) по шкале «Абстрактное — Конкретное» на основе метода стратификации, следовательно, приводит к иерархичес-
кой дедуктивной системе концептуальных метамоделей. Такая система может быть ис-
пользована для математического моделирования конкретных элементов как некоторый исходный базовый инвариант, интерпретируемый в конкретную математическую мо-
дель.
В зависимости от степени конкретизации, сформируем дедуктивную систему, вклю-чающую следующие уровни КММ элемента µ §
КММ элемента µ § на теоретико-системном уровне ( ТСУ );
КММ элемента µ § на уровне непараметрической статики ( УНС );
КММ элемента µ § на уровне параметрической статики ( УПС );
КММ элемента µ § на уровне непараметрической динамики ( УНД );
КММ элемента µ § на уровне параметрической динамики ( УПД ).

Рассмотрим более подробно КММ на каждом из перечисленных уровней.

КММ теоретико-системного уровня

Наиболее общую и абстрактную форму описания функционирования системного
элемента µ § дает концептуальная метамодель теоретико-системного уровня ( ТСУ ). Это описание включает векторное множество входных воздействий на элемент µ §

µ §

и векторное множество выходных реакций ( откликов ) элемента µ §

µ §.

Кроме того, на рассматриваемом уровне абстракции учитывается факт связности век-
торного множества µ § с соответствующим векторным множеством µ § посредством отображения «j». Однако, отображение «j» не указывает каким образом рассматривае-
мые множества связаны.

Таким образом, КММ теоретико-системного уровня задаются тройкой

µ §. ( 2 )

КММ уровня непараметрической статики

Второй уровень представления КММ включает в рассмотрение отображение µ §, определяющее правила преобразования входов µ § в выходы µ §, т.е. что необходимо сделать, чтобы при условии µ § получить µ §, адекватное целевому функционированию элемента µ §. В общем случае µ § — отображение может быть представлено скалярной или векторной функцией, а также функционалом или оператором. Концептуальная метамо-
дель уровня непараметрической статики, следовательно, представляется кортежем вида
µ §. ( 3 )

Раскрытие структуры преобразования вида µ § является основной задачей КММ уровня µ § . Рассмотрим в качестве иллюстрации функциональное описание элемента µ §, представленное скалярной функцией µ §, причем µ §.
Функционирование элемента µ § ( µ § ) на УНС описывается как отобра-
жение µ §. Это отображение называется функцией, если оно однозначно. Ус-
ловия однозначности определяются следующим образом. Пусть заданы пары значений
сигналов «вход — выход»

µ § ( 4 )

Если из условия ( µ § ), следует, что ( µ § ), то отображе-
ние µ § однозначно. Значение величины µ § в любой из пар µ § называется функ-
цией от данного µ § . Общий вид записи функции µ § позволяет дать формальное
определение функции элемента µ § в скалярной форме представления

µ § ( 5 )

Таким образом, КММ ( 3 ) проинтерпретирована в КММ того же уровня, но в скаляр-
ной форме функционального представления. Отметим, что богатство концептуальных метамоделей µ § функционирования системного элемента µ § ( µ § ) на уровне непараметрической статики определяется многообразием ее интерпретаций на матема-
тическом, логическом или логико-математическом языках описания ( представления )
µ § — отображения.

КММ уровни параметрической статики

Дальнейшая конкретизация КММ функционирования системного элемента µ §
осуществляется за счет включения в рассмотрение функциональных параметров µ §, определяющих статические режимы. Для элемента µ § рассматриваются три группы параметров
µ § ( 6 )

где µ § — совокупность параметров { µ § } входных воздействий µ §
µ § — совокупность параметров { µ § } выходных реакций ( откликов ) µ §
µ § — совокупность параметров { µ § } отображения µ §.
Перечни ( номенклатура ) параметров µ § и их значений определяются для каждого ти-
па конкретной модели µ § . Для µ § — отображения, по аналогии со структурными моде- лями, вводится понятие конфигурации. С учетом параметрического описания и интер-
претаций КММ задается четверкой

µ § ( 7 )

КММ уровня непараметрической динамики

Следующий, четвертый уровень конкретизации КММ функционирования систем-
ного элемента µ § определяется учетом в модели его динамических свойств. Динамика элемента µ § рассматривается в нескольких аспектах. Первый аспект характеризуется реакцией элемента µ § на динамику изменения входных воздействий µ §
при неизменном отображении µ §, т.е. когда µ § — скалярная или векторная функция. Второй аспект определяется реакцией элемента µ § на входные ( статические µ § или ди-
намические µ § ) воздействия при времязависимом отображении µ §, т.е. когда µ § —
функционал или оператор, зависящий от времени µ §.
При изложенных условиях КММ рассматриваемого уровня абстракции представ-
ляется кортежем, включающем следующие четыре компоненты

µ § ( 8 )

Отметим, что на данном уровне представления КММ время µ § указывает на факт
наличия динамических свойств, но не характеризует их конкретно.

КММ уровня параметрической динамики

Последний — пятый уровень дедуктивного представления КММ функционирова-
ния системного элемента µ §, определяемый как уровень параметрической динамики, включает все рассмотренные ранее аспекты модели, представляемые кортежем ( 1 )

µ §.

В КММ рассматриваемого уровня выполняются условия концептуальной полноты представления функциональных свойств элемента µ §. Интерпретация та- кой модели на семантическом, синтаксическом, качественном и количественном уров-
нях дает возможность порождать ( генерировать ) любые конкретные математические модели функционирования системного элемента.
Отметим, что выражения ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 7 ) и ( 8 ) могут быть представлены в форме традиционных аналитических зависимостей вида

µ § ( 9 )

Выводы

Таким образом, концептуальное метамоделирование функционирования систем-
ного элемента µ § на основе дедуктивного подхода приводит к пятиуровневой иерархии моделей, представленной на рис. .
Практическое использование представленных выше КММ для моделирования функций системных элементов µ § осуществляется посредством их ретрансляции в тер-минах выбранного математического языка и последующей интерпретации на четырех перечисленных выше уровнях конкретизации.
«