Высшая математика
Государственный университет управления
Институт заочного обучения
Специальность – менеджмент
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине Высшая математика.
Вариант № 1.
Выполнил студент Ганин Д.Ю.
Студенческий билет № 1211
Группа № УП4-1-98/2
Москва, 1999 г.
Содержание
Часть I.________________________________________________________ 3
Задание №2. Вопрос №9.________________________________________________________ 3
Задание №3. Вопрос №1.________________________________________________________ 3
Задание №12. Вопрос №9._______________________________________________________ 5
Задание №13. Вопрос №2._______________________________________________________ 5
Задание №18. Вопрос №9_______________________________________________________ 6
Часть II._______________________________________________________ 9
Задание №8. Вопрос №8.________________________________________________________ 9
Задание №12. Вопрос №9.______________________________________________________ 10
Задание №14. Вопрос №2.______________________________________________________ 10
Задание №15. Вопрос №6.______________________________________________________ 11
Задание №18. Вопрос №9.______________________________________________________ 12
Дополнительно Часть I._______________________________________ 13
Задание №7. Вопрос №1._______________________________________________________ 13
Задание №9. Вопрос №8._______________________________________________________ 13
Задание №11. Вопрос №6.______________________________________________________ 14
Задание №15. Вопрос №1.______________________________________________________ 15
Дополнительно Часть II._______________________________________ 15
Задание №7. Вопрос №1._______________________________________________________ 15
Задание №9. Вопрос №8._______________________________________________________ 16
Задание №11. Вопрос №6.______________________________________________________ 18
Задание №15. Вопрос №1.______________________________________________________ 18
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение
машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.
машин с водителями ежедневно уходят в рейс.
водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
Ответ
Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь свободных дней.
Задание №3. Вопрос №1.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и найдите координаты точки равновесия, если , .
Решение
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат
С осью OP (Q=0)
С осью OQ (P=0)
Для Q=QS(P)
Для Q=QD(P)
Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему
, из этой системы получаем
, тогда , значит координаты т.M.
Ответ
Координаты точки равновесия равны ,
Задание №12. Вопрос №9.
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций
Решение
Ответ
Производная заданной функции равна
Задание №13. Вопрос №2.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа
Решение
Ответ
Приближенное значение заданного числа равно 1,975.
Задание №18. Вопрос №9
Исследуйте функцию и постройте ее график
Решение
1. Область определения данной функции .
2. Найдем точки пересечения с осями координат
С осью OY
С осью OX
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
Точка пересечения
Точки пересечения ,
3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение , где
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид , т.е. — уравнение горизонтальной асимптоты.
5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е.
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда , следовательно , значит точка — точка экстремума функции.
На участке производная > 0, значит, при , заданная функция возрастает.
На участке производная < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.).
Следовательно — точка максимума заданной функции .
6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е.
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , значит , тогда , отсюда
Отсюда , .
На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика функции.
На участке производная >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.
На участке производная <0, значит, при график заданной функции является выпуклым (рис. 3).
Следовательно, точки , — точки перегиба графика заданной функции .
Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Фирма производит товар двух видов в количествах и. Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.
, ,
Решение
Пусть — функция прибыли, тогда
Найдем первые частные производные функции
, . Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему
Следовательно — стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого
введем обозначения , , ,
тогда , , , . Т.к. > 0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальная прибыль равная
Ответ
и достигается при объемах выпуска и .
Задание №12. Вопрос №9.
Вычислить неопределенный интеграл
Решение
Ответ
Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .
Решение
Ответ
Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Задание №15. Вопрос №6.
Решить уравнение
Решение
. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда
Ответ
Решением данного уравнения является .
Задание №18. Вопрос №9.
Найти общее решение уравнения
Решение
Найдем корни характеристического уравнения , тогда , следовательно , , тогда
фундаментальную систему решений образуют функции
,
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид
Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида
. Имеем , , тогда т.к. — многочлен второй степени, то общий вид правой части . Найдем частные решения
, ,
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , решив систему
, отсюда .
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид .
Ответ
.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Найти предел .
Решение
.
Ответ
Заданный предел равен .
Задание №9. Вопрос №8.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики
.
Решение
1. Область определения данной функции .
2. Т.к. точка не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. и , следовательно, уравнение – уравнение вертикальной асимптоты.
3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид , где
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид .
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты с осями
координат
С осью OX точка,
с осью OY точка
Ответ
и – уравнения асимптот заданной функции.
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите .
Решение
Т.к. по определению производная функции в точке вычисляется по формуле , тогда приращение в точке .
Следовательно .
Ответ
.
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя .
Решение
.
Ответ
Заданный предел равен .
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Написать в точке уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением .
Решение
Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке имеет вид . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности . Подставив в полученное уравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим
.
Ответ
Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид .
Задание №9. Вопрос №8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Решение
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему
, точка не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями и . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа
1. , тогда , , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид
Эта система имеет четыре решения
, ,
Точка – точка условного максимума, при этом функция .
, ,
Точка – точка условного максимума, при этом функция .
, ,
Точка – точка условного минимума, при этом функция .
, ,
Точка – точка условного минимума, при этом функция .
2. , тогда , ,
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид
Эта система также имеет четыре решения
, ,
Точка – точка условного максимума, при этом функция .
, ,
Точка – точка условного максимума, при этом функция .
, ,
Точка – точка условного минимума, при этом функция .
, ,
В точке – точка условного минимума, при этом функция .
Следовательно, заданная функция в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках и и наименьшего в точках и при этом графики функций и касаются окружности в точках , и , соответственно (см. рис.6).
Ответ
Заданная функция при условии имеет и .
Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл .
Решение
Ответ
Заданный неопределенный интеграл равен .
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение .
Решение
. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение
.
Ответ
Решением данного уравнения является .