Расслоенные пространства внутренних степеней свободы

АННОТАЦИЯ

      В физике реализуются  расслоенные пространства внутренних степеней свободы. Для демонстрации данного утверждения используется  соответствующее термоэлектрическое состояние.

ABSTRACT

     In physics the fiber space of internal degrees of freedom  are realized. For demonstration of the given statement the conforming thermoelectric condition is used.

      Введем базовое пространство  [ 1 ] с координатами      ( Расслоенные пространства внутренних степеней свободы    = 1,2):    1   - внутренняя энергия     ,   Расслоенные пространства внутренних степеней свободы  - тепло      . Введем слоевые координаты      Расслоенные пространства внутренних степеней свободы      и            , где  t  - абсолютная температура   T,   - молярная теплоемкость при постоянном объеме             и    Расслоенные пространства внутренних степеней свободы- молярная теплоемкость при постоянном давлении   Расслоенные пространства внутренних степеней свободы. Итак, слоевое пространство   Расслоенные пространства внутренних степеней свободыимеет    N  = 2 измерений.

     Пусть      Расслоенные пространства внутренних степеней свободы, тогда имеем дело с векторным полем.

Введем метрическую функцию  в каждой точке Расслоенные пространства внутренних степеней свободы, которая является  однородной функцией степени один в слоевых координатах и однородной функцией степени нуль в базовых координатах. Чтобы такого добиться, следует еще ввести постоянную составляющую  вектора Расслоенные пространства внутренних степеней свободы. Исходя из физических соображений, такой составляющей вектора может служить величина   Расслоенные пространства внутренних степеней свободы, являющаяся универсальной газовой постоянной  R. Таким образом, мы переходим к  слоевому пространству c   N + 1     измерений. Подобное наблюдается в СТО, где вводится скорость света    с    и переходят     четырехмерному пространству. Функция Расслоенные пространства внутренних степеней свободы определяет длину вектора  . Удобно перейти к функции   = , которая является однородной функцией степени два в слоевых координатах. Составляющие метрического тензора в общем случае определяются по формуле  [ 2]

                                            ,     где       Расслоенные пространства внутренних степеней свободы=.

Это есть однородные функции степени нуль в слоевых координатах.

Тогда           

                и Расслоенные пространства внутренних степеней свободы.

В точке   имеется и  пространство  Расслоенные пространства внутренних степеней свободы с координатами  , которые определяются следующим образом

                       

Имеем

,          Расслоенные пространства внутренних степеней свободы

Параллельный перенос будет, если   = 0    и   Расслоенные пространства внутренних степеней свободы= 0.

     В качестве  модельного дифференциального уравнения привлекаем уравнение типа модифицированного нелинейного дифференциального уравнения Кортевега - де Вриза, которое хорошо изучено. Этим уравнением мы описываем термоэлектрическое состояние:

                       

где         - безразмерная постоянная,   Расслоенные пространства внутренних степеней свободы – диэлектрическая проницаемость. Она является безразмерной величиной. Если же среда анизотропная, то   диэлектрическую проницаемость могли составлять величины . Ограничимся классом решений  Расслоенные пространства внутренних степеней свободы, где ,  то есть  . Тогда одним из решений данного уравнения будет являться функция   

   Построим функцию     следующим образом:

, где    Расслоенные пространства внутренних степеней свободы.

     Тогда нелинейные дифференциальные уравнение для  L  и   F2  представляется в форме:

          Расслоенные пространства внутренних степеней свободы

    Каждое дифференциальное уравнение индуцирует соответствующей структуры пространство [ 3 ]. В данном случае решение дифференциального уравнения сводится к поиску геометрических структур данного пространства.

        Введем обозначение

                       

   В выделенном классе решений получаем следующие дифференциальные уравнения слоевых координат пространства         Расслоенные пространства внутренних степеней свободы:

                              Расслоенные пространства внутренних степеней свободы

     Имеем  и следующие значения слоевых координат (составляющие ковариантного вектора ):

      Расслоенные пространства внутренних степеней свободы,              где   Расслоенные пространства внутренних степеней свободы.

  Проверим правильность нахождения векторов .  Должно иметь силу соотношение . Имеем

           

Составляющие          определены правильно.

   В рассматриваемом классе решений получаем следующие нелинейные дифференциальные уравнения для составляющих метрического тензора      :

  Расслоенные пространства внутренних степеней свободы      Расслоенные пространства внутренних степеней свободы

Тогда составляющие коэффициентов связностей  находится по формулам:

 Расслоенные пространства внутренних степеней свободы

                       

В итоге получаем составляющие метрического тензора

И составляющие коэффициентов связностей:

, Расслоенные пространства внутренних степеней свободы,

.

Проверка правильности найденных составляющих метрического тензора производится традиционным способом, а именно, в выражение    следует подставить конкретные значения для составляющих метрического тензора и получить квадрат метрической функции. Подстановка в данное выражение найденных здесь составляющих метрического тензора приводит к квадрату метрической функции.

   Проверка правильности найденных здесь составляющих связностей производится посредством достижения выполнения условия Эйлера   .

 Найденные здесь значения метрического тензора  приводят к выполнению данного условия .

Определим коэффициенты

         .

Поставим конкретные значения для составляющих метрического тензора. Получаем

Расслоенные пространства внутренних степеней свободы,

Расслоенные пространства внутренних степеней свободы,   Расслоенные пространства внутренних степеней свободы  .

Составляющие  этих  матрицы сводятся  к      ,   Расслоенные пространства внутренних степеней свободы      и     . Используя производные от этих величин, получаем конкретные значения    Расслоенные пространства внутренних степеней свободы:

          Расслоенные пространства внутренних степеней свободы  ,                           Расслоенные пространства внутренних степеней свободы             .

  Определим  величины   ,  входящие  в уравнение геодезических, по формуле  [ 2 ]:

                                   

Имеем

   Расслоенные пространства внутренних степеней свободы                                                       

 Используя формулы:

      

Получаем для         и   Расслоенные пространства внутренних степеней свободы:

Расслоенные пространства внутренних степеней свободы                                                                     

Правильность введенных здесь  значений для      и    Расслоенные пространства внутренних степеней свободы можно проверить, если выполняется условие

             

  Такое тождество выполняется при подстановке конкретных значений.

Определим коэффициенты          и      Расслоенные пространства внутренних степеней свободы [ 2 ].        

Существует связь  [ 2 ]

         Если Расслоенные пространства внутренних степеней свободы, тогда

                     .                                                                      

Речь идет о параллельном переносе составляющих вектора  Расслоенные пространства внутренних степеней свободы. Имеем

=Расслоенные пространства внутренних степеней свободы

 где     

   В введенном пространстве могут быть определены переносы  тензоров более высокого ранга по формулам, которые приведены в работах [ 1, 2 ].                                                                                                                                       

Заключение. Построенные здесь геометрические структуры  расслоенного пространства внутренних степеней свободы, ассоциируемого с термоэлектрическим состоянием. Возможно многообразие других термоэлектрических состояний. Речь идет о методе построения геометрических структур, об “офизичивании” геометрии расслоенных пространств. Привлечение в физику расслоенных пространств позволяет построить весьма корректно  теории сложных физических систем с большой неоднородностью и анизотропией, с большой нелинейностью и находящихся в сильных физических полях.

      

ЛИТЕРАТУРА

1.Лаптев Б.Л. Ковариантный дифференциал и теория дифференциальных инвариантов в пространстве тензорных опорных элементов/Ученые записки. Том 118, кн.4, 1958, с. 75-147.

2.Рунд Х. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. Перевод с англ.  под ред. Э.Г. Позняка.М.: 1981, 501 с.

3.Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986, 335 с.