Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре. Помимо этого, ε = ε(r). Согласно теореме Гаусса,

qinside = 4π r2 Dr = 4π ε0ε(r) r2 Er
(31)

(32)

(33)

При наличии только объемного стороннего заряда ρ

(34)

В точках разрыва ε(r) (на стыке двух диэлектриков) или qinside(r) (в момент перехода» через заряженную сферу) соответствующая производная ε'(r) или qinside'(r) имеет разрыв. При этом поверхностный связанный заряд составляет

(35)

Другие значения r проверять на наличие связанного заряда бессмысленно, так как там заведомо σ’ = 0.
Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r), φ(r) и σ ‘, если пространство между сферами заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью ε.
Решение Такая задача, только без диэлектрика между обкладками, уже была решена нами с использованием теоремы Гаусса. Единственным отличием здесь будет связь Dr(r) и Er(r) в области R1 Как и раньше,

qinside = 4π r2 Dr(r)

причем

qinside
=
0 при rR2

Поле на каждом из участков будет

Er
=
0 при r При вычислении потенциала мы должны вычислить . При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке

φ(r)
=

=

φ(r)
=

=

φ(r)
=

=

В некоторых выражениях для φ(r) (но не всюду!) появилась дополнительная величина ε.
Для нахождения σ ‘ на сферах r = R1 и r = R2 нам потребуются значения поляризованности с обеих сторон каждой из сфер

,

,

Нулевые значения появились из-за отсутствия диэлектрика в областях rR2. Сразу же находим и (на других поверхностях никакого связанного заряда нет)

=

=

Легко проверить, что суммарный связанный заряд, то есть , равен нулю, как и должно быть.
Задача. Шар радиуса R равномерно заряжен по объему сторонним зарядом ρ. Проницаемость шара ε. Найти Er(r), φ(r), ρ'(r), σ’ на краю шара.
Ответ

.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М. Издательство БИНОМ, 1998. — 448 с.; или 2-е изд., М. Наука, 1988. — 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М. Наука, 1970. — 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М. Наука, 1992. — 661 с.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http //edu.ioffe.ru/r

«