Эрмитовы операторы

Эрмитовы операторы

Содержание
Линейные операторы
Линейные уравнения
Эрмитовы операторы

Линейные операторы

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство
L(λ+ μg) = λLf + μLg (1)
При этом множество M = ML называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Линейные уравнения
Пусть L — линейный оператор с областью определения ML . Уравнение

Lu = F (2)
называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из ML — решением этого уравнения.
Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

Lu = 0 (3)
называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).
В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.
Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

и = ио + ŭ.
Отсюда непосредственно выводим для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в ML, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в ML. Обозначим через Rl область значений оператора L, т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf}, где f пробегает ML. Тогда для любого F Є Rl уравнение (2) имеет единственное решение и Є ML , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из Rl соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L-1, так что

и = L-1F. (4)
Оператор L-1, очевидно, является линейным и отображает Rl на ML. Непосредственно из определения оператора L-1, а также из соотношений (2) и (4) вытекает

L L-1F = F, F Є Rl ; L-1Lu = u, и Є ML,
т.е. L L-1=I, L-1L = I.

Если линейный оператор L имеет обратный L-1, то системы функций {φk} и {Lφk} одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φk принадлежат ML.)
Рассмотрим линейное однородное уравнение

Lu = λu, (5)
где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r ≤ ∞, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.
Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u1,…,и2 — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

u0 = c1u1 + c2u2 + … + crur
также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает если решение уравнения

Lu = λ u + f (6)

существует, то его общее решение представляется формулой

и = и* +∑сkиk, (7)
где и* — частное решение (6) и сk, k = l,2,…,r, — произвольные постоянные.

Эрмитовы операторы
Линейный оператор L, переводящий MLСL2(G) в L2(G), называется эрмитовым, если его область определения ML плотна в L2(G) и для любых f и g из Ml справедливо равенство

(Lf,g) = (f,Lg ).
Выражения (Lf, g) и (Lf, f) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L.
Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є Ml, где Ml плотна в L2(G), принимала только вещественные значения.
Линейный оператор L, переводящий Ml С L2(G) в L2(G), называется положительным, если Ml плотна в L2(G) и
(Lf, f) ≥ 0, f Є Ml .
В частности, всякий положительный оператор эрмитов.
Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть λ0 — собственное значение, u0 — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u0 = λ0u0. Умножая скалярно это равенство на u0, получим

(Lu0, u0) = (λ0 u0, u0) = λ0 (u0, u0) λ0|| u0||2 = λ0. (8)
Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ0 — вещественное (неотрицательное) число.
Докажем, что любые собственные функции и1 и и2, соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2, ортогональны. Действительно, из соотношений

Lu1 = λ1 и1, Lu2 = λ2и2,
из вещественности λ1 и λ2 и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств
λ1(и1,и2) = (λ и1,и2) = (Lи1,и2) = (и1,Lu2) = (и1,λ2и2) = =λ2(и1,и2),
т.е. λ1(и1,и2) = λ2(и1,и2). Отсюда, поскольку λ1 ≠ λ2, вытекает, что скалярное произведение (и1,и2) равно нулю. Теорема доказана.
Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения λ1,λ2,…, повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и1,и2,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция иk

Luk = λk , иk, k = 1,2,…
Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φk} состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ1,ψ2,… линейно независимых функций из L2(G) преобразуется в ортонормальную систему φ1,φ2, — следующим процессом ортогонализации Шмидта

φ1 = ψ1 /||ψ2 || , φ2 = ψ2 – (ψ2, φ1) φ1 / || ψ2 – (ψ2, φ1) φ1 ||
φk = ψk – (ψk, φk-1)φk-1 – … – (ψk,φ1)φ1 / || ψk – (ψk, φk-1)φk-1 – … – – (ψk,φ1)φ1||
При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Таким образом, если система собственных функций {ик} эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной

(Luk,ui ) = λk(иk,ui) = λkδki

Список литературы

1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики Учебник для вузов. — М. Физмат-лит, 2000.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М. Наука, 1985.
3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М. Физмат-лит, 2000.