Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла

 

МГТУ им Н.Э.Баумана

гр. ФН2-41

Котов В.Э.

 

 

 

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла.

 (по материалам лекций Толмачева В.В.)

 

 

Постановка задачи

  Пусть  имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с  электрической и магнитной проницаемостью   и   соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна  (границу раздела будем считать плоской).При  переходе через  границу раздела волна разделится  на две части : отраженную волну (в среде 1)  и преломленную волну (в среде 2) , необходимо выяснить соотношения между углами  и , а также между  интенсивностями  падающей и отраженной волн (рис 1).

                             рис.1

Данная  волна должна представлять собой точное  решение уравнений Максвелла :  и   (1)   (учитывая , что среда диэлектрическая , т.е. )

для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет (если оси Х направить в сторону распространения волны):

     и     (==0)    (2)

где  A и B ,  и , - постоянные (не зависят от времени и координаты) ,

       и - характеристики среды , в которой распространяется волна ,

        ,  t - рассматриваемый момент времени

                             x - рассматриваемая координата на оси Х

                            

                             V - скорость распространения волны в данной среде

 

(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным  решением )

   Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : и  не терпят разрыва на поверхности раздела ,  и  также не терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:

                (3)

(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 - ко второй)

   Таким образом  , необходимо построить точное решение уравнений  (1) , удовлетворяющих  условиям  (3). Для этого рассмотрим два случая : случай  ТМ -волны (р-волны )  - вектор перпендикулярен плоскости падения  (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор  перпендикулярен плоскости падения  (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.

Случай  ТМ -волны (p - волны)

                                       рис.2

Из рисунка видео , что   , запишем условия равенства   на  границе раздела :

    ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн)

подставляем значения:

 подставляем  из  (2) :

       

Аналогично , поскольку  получаем для вектора на границе раздела:

 ( c учетом (2) )

для выполнения равенств для и  потребуем  равенства  аргументов косинусов :

потребуем также равенства начальных фаз:

из рисунка видно , что :  ,     (4)

(,и  - соответственно : угол падения , угол отражения и угол преломления ) , тогда имеем :

из равенства аргументов получаем :

 

 (т.к.  ,  )

т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и преломления света

разделим теперь  выражения дляи на   , получим (c учетом (4) ) следующую систему :

      (5)

здесь неизвестными являются и  , а  - заданно.

 Умножим   первое уравнение на   а второе на   и вычтем из первого второе , тогда члены с сократятся и получим:

поскольку для неферромагнетиков  магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать , тогда:

.    

( разделим числитель и знаменатель на , и учтя , что ) 

применив закон преломления , получим (6):

 

из второго уравнения системы (5) получаем для :

   (поскольку полагаем ,) , тогда:

      (7)

проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли - и . Второе равенство выполняется заведомо , поскольку  , проверим первое равенство  :

 из рисунка видно , что   , а   подставим значения , и ( из 2) , сократив сразу на  , и учитывая  (4) :

(выражая через второе уравнение системы  (5) )

 Таким  образом  действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем  следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):

    и      

 

 

Случай  ТЕ -волны ( s - волны)

                                      рис.3

Из рисунка видно , что 

Условия  (3) для   и  :

подставляя значения  и   из (2) получим :

как и в случае  ТМ-волны  предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на  и с учетом (4)  получим систему :

             (8)

умножим первое уравнение на   а второе на  и вычтем из первого второе :

поскольку мы полагаем   (см. выше) то 

   (9)

из второго уравнения системы (8) получаем:

      (10)

проверим  теперь неучтенные условия на границе раздела :  и    .

Второе условие выполняется , поскольку  , проверим выполнение равенства :    из рисунка видно , что  , а   подставим значения , и ( из 2) , сократив сразу на  , и учитывая  (4) получим :

подставляем  из второго уравнения системы (8) :

таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления  (из (9) и (10))

    и

 

Анализ формул Френеля

  Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной  ТМ и ТЕ  волн и падающей и  прошедшей волн  в зависимости от угла падения . Для этого рассмотрим  отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга    падающей и отраженной  ( и  в случае ТМ и ТЕ волн  соответственно)  и падающей и прошедшей (

и )  волн. Тогда с из  полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь:

               

А. Отражение

 Исследуем  сначала  поведение и  на границах отрезка :

при   (просто положить  равным нулю нельзя , потому что будет неопределенность ):

для случая падения из воздуха в стекло () :   

т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что если поменять среды местами  - т.е. рассматривать падение из воды в воздух , то это значение не изменится)

 В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную  при:

            

 Действительно, преломленной  волны при скользящем падении не образуется и интенсивность                   падающей волны не меняется.

  В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения , когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от  поверхности раздела. Это происходит при  значениях  больших , чем , вычисляемого следующим образом:

[1][к1]

 Для падения из стекла в воздух

Здесь не рассматривается  полное внутреннее отражение , поэтому  в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную  изменяется до , в этом случае:

        

 

 Далее исследуем  поведение  этих функций между крайними точками , для этого исследуем на монотонность функции:   и

Нам понадобится производная , найдем ее как производную функции , заданной неявно :

 

Знак этой  производной ( поскольку  , ) зависит только от  знака  выражения  , это выражение > 0  , когда   (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и  <0 , когда    (из более оптически плотной в менее оптически плотную ) , следовательно в первом случае     монотонно возрастает, а  во  втором , убывает . Но  в случае    , следовательно  по модулю это выражение будет возрастать , в случае оно также будет по модулю  возрастать . Таким образом  ,  , как квадрат этого выражения , в обоих случаях  монотонно возрастает  от  при  до  1 при .или

 Знак этой производной ,( поскольку  ,

есть >0 при  и  <0 при .

 Знак функции  меняется следующим образом :

при   если  невелико>0 , но эта функция  проходит через нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения  в 0 обращаться не может[2][к2]   это происходит тогда , когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:

Это есть угол Брюстера () , при котором   обращается в 0 , то есть отраженная волна отсутствует . Для  случая падения из воздуха в стекло , для обратного случая (из стекла в воздух) При переходе через этот угол  меняет знак на минус  , следовательно   как квадрат этой функции сначала  убывает (до нуля) , а затем возрастает (до 1).

 При    для  небольших<0 , при переходе через  знак будет меняться  на плюс. Переход через  действительно будет  иметь место , хотя  изменяется до  ,а не до  , поскольку   . Таким образом   снова  монотонно убывает до 0 , а затем  монотонно возрастает до 1.

  Итак , в обоих случаях   сначала монотонно убывает от при  до 0 при  , а затем монотонно возрастает до 1 при  или .

 Полученные  зависимости  иллюстрируются следующими графиками :

на первом показана зависимость (сплошная линия) и (пунктирная линия) от  для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)

на втором -для случая падения волны из стекла в воздух

 

В. Преломление

    Для анализа поведения  и  воспользуемся следующим соображением - падающая волна на границе раздела  разделяется на две - прошедшую  и отраженную  , причем энергия падающей  волны (энергия , переносимая волной  через границу раздела сред) уходит в энергию отраженной  и преломленной волн (поскольку никаких других источников нет). Поэтому , поскольку коэффициент  показывает отношение энергии прошедшей волны к энергии падающей ,  - отношение энергии  отраженной волны к энергии падающей в p-волне , а  и  - аналогичные отношения в s-волне , должны выполнятся соотношения :

                и    

  Действительно , проверим это :

рассмотрим отдельно числитель:

таким образом действительно  , аналогично

   Таким образом , используя предыдущее исследование  , можно сказать , что :

 

  Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить , что если среды поменять местами , то это значение не изменится )

 Между  этими точками  и  ведут себя противоположно и  .

 Окончательно ,  монотонно возрастает от   ( )до  , а затем монотонно убывает до 0 ( при  ) ,  монотонно убывает от  до 0 (при тех же пределах изменения). Причем как для случая падения из менее оптически плотной среды , так и из более оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости для обоих этих случаев.

 

С. Набег фаз при отражении и преломлении

  Из формул Френеля следует , что отношения  ,,и  могут в принципе получится и отрицательными . Поскольку амплитуда есть существенно положительная величина , в  этом случае имеет место сдвиг фазы волны на . Далее выясним , когда такой сдвиг имеет место.

   В случае отраженной p-волны     , как установлено в п. А , эта функция

при n>1 больше 0 при  и меньше 0 при , при n<0 промежутки знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на в отраженной p-волне наблюдается при  , а в случае падения из более плотной в менее плотную - при.

   В случае отраженной s-волны  , эта функция меньше 0 при  и больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на в отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной среды в менее плотную.

   В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким образом , можно получить , в общем случае волну произвольной (эллиптической) поляризации .

   Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе  (7) и (10) :

                    и    

из этих соотношений видно , что , поскольку    и  , то всегда и  . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит (причем это верно для волн произвольной поляризации).

 

 

  Дополнительная литература:

 Cивухин Д.В. “Общий курс физики. Оптика”  , Москва , “Наука”,1985г.

 Савельев И.В. “Курс общей физики” , том 2 , Москва , “Наука” , 1979г.

 



[1] -здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n понимают показатель преломления  оптически более плотной среды относительно оптически менее плотной , т.е. в  этом случае в этой формуле стоит

[2]-- числитель также не может обращаться в бесконечность , поскольку это возможно только в случае  , но в этом случае  , а это невозможно т.к.  и


 [к1]-здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n понимают показатель преломления  оптически более плотной среды относительно оптически менее плотной , т.е. в  этом случае в этой формуле стоит

 [к2]