Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
РЕФЕРАТ
Пояснительная записка 44 с., 14 рис, 2 таблицы, 3 источника, 4 прил.
Данный продукт представляет собой программу, позволяющую решать СНАУ
F1(X1, X2, X3)=0,5arctg(X1+X2)+0,2ln(1+X21+ X22+X23)-0,05(X1X2-X1X3-X2X3)+85X1-20X2+35X3-99;
F2(X1, X2, X3)=5arctg(X1+X2+X3)-25,5X1+19,5X2-15,5X3+15;
F3(X1, X2, X3)=-0,3cos(X1-2X2+X3)+0,5exp(-0,25(X21+X22+X23-3))-44,75X1 +20,25X2+5,25X3+18.
Модифицированным методом Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Кроме вычисления корня уравнения, существует возможность построения графика зависимости приближений двух координат решения. При построении графика задаются промежутки и константы. Программа может использоваться как наглядное пособие для студентов высших учебных заведений.
В программе реализуются
1) работа с BGI графикой;
2) работа с файлами.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Постановка задачи
1.1. Цель создания программного продукта
1.2. Постановка задачи
2. Математическая модель
3. Описание и обоснование выбора метода решения
4. Обоснование выбора языка программирования
5. Описание программной реализации
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1 Цель создания программного продукта
Главной целью работы является разработка программы способной решать СНАУ трёх переменных модифицированным методом Ньютона, что должно являться пособием для студентов высших учебных заведений в снижении ненужной нагрузки, связанной с многочисленными массивами вычислений.
1.2 Постановка задачи
В данном программном продукте необходимо реализовать решение СНАУ
0,5arctg(X1+X2)+0,2ln(1+X21+ X22+X23)-0,05(X1X2-X1X3-X2X3)+85X1-
-20X2+35X3-99;
5arctg(X1+X2+X3)-25,5X1+19,5X2-15,5X3+15;
-0,3cos(X1-2X2+X3)+0,5exp(-0,25(X21+X22+X23-3))-44,75X1+20,25X2+
+5,25X3+18.
Начальным приближением (X0) должны служить X1,0=0, X2,0=0, X3,0=0. Необходимо ввести точность (ξ) вычисления корня системы уравнений, ограниченную размером (не менее 0,00001). После вычислений с заданной погрешностью возникает множество приближений к корню, последнее из которых будет считаться корнем. После нахождения корня СНАУ и приближений к нему, необходимо построить график зависимости двух любых компонент решения (например, X1 и X3). Для этого третья компонента решения (X3) принимает значение константы. Необходимо указать какая функция будет участвовать в построении графика (например, F1), а также определить промежутки изменения обеих компонент решения (например, [X1min; X1max] и [X3min; X3max]).
2 МАТЕМЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Общий вид решения системы нелинейных арифметических уравнений имеет вид
F1(X1,…,Xn)=0
…
Fn(X1,…,Xn)=0
, где Fi – функция n переменных.
Решением СНАУ является вектор X=(X1,…,Xn), при подстановке компонент которого в систему каждое её уравнение обращается в верное равенство.
При n=3 – точка пересечения трёх поверхностей.
Модифицированный метод Ньютона – один из методов, применяющихся для нахождения корня СНАУ. Модифицированный метод Ньютона предполагает наличие начального приближения X0. Суть метода заключается в построении последовательности точек X0, …, Xn, сходящихся к решению.
Рекуррентная формула имеет вид
Xk+1=Xk+W(X0)-1F(Xk), где W(X0)-1 – обратная матрица частных производных уравнений системы уравнений (якобиан I-1) от начального приближения X0, а F(Xk) – вектор значений функций СНАУ вектора приближения к корню X, высчитанном, на предыдущем шаге.
Условием окончания выполнения приближений является шаг, на котором k-норма (в данном случае), т.е √F22(Xn+1)+ F22(Xn+1)+ F22(Xn+1), меньше определённой погрешности (ξ)
√F22(Xn+1)+ F22(Xn+1)+ F22(Xn+1) < ξ.
3 ОПИСАНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ
Для решения СНАУ был выбран один из численных методов, который называется модифицированным методом Ньютона.
По сравнению с методом Ньютона модифицированный метод Ньютона сходится дольше, но имеет более простой алгоритм реализации, следовательно, проще реализуем программно на языке программирования.
4 ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Реализация поставленной задачи совершается на языке программирования Borland C++ version 3.1.
Система программирования Borland C++, разработанная американской корпорацией Borland, остаётся одной из самых популярных систем программирования в мире. Этому способствует простота лежащая в основе языка программирования C, а также поддержка графического и текстового режимов, что делает Borland C удачным выбором для реализации практически любого программного продукта.