Формирование эконом-математической модели
Формирование экономико-математической модели.
Постановка задачи.
Пусть имеется пять предприятий-изготовителей и одиннадцать потребителей одинаковой продукции. Известны производственные мощности изготовителей и потребности потребителей. Суммарные мощности предприятий больше потребности потребителей.
Производственные мощности изготовителя составляют Ai. Потребность потребителя продукции равна Bj.
На выпуск единицы продукции изготовитель i расходует Ri затрат.
Известны затраты на доставку единицы продукции из пункта i в пункт j – Cij.
Издержки транспорта значительны и должны быть включены в целевую функцию.
Требуется составить такой план производства и поставок, чтобы суммарные расходы на производство и транспортировку были минимальны.
Математическая формулировка задачи.
Удовлетворение всех потребностей
Xij = Bj
Неотрицательность грузовых потоков
Xij >= 0
Соблюдение ограничений мощности
Xij <= Ai
Целевая функция
(Ri + Cij)*Xij -> min
От обычной транспортной задачи поставленная задача отличается тем, что показатель оптимальности складывается из двух составляющих. Однако, общие затраты на производство и транспортировку определяются простым суммированием.
Таким образом, поставленная задача является открытой транспортной задачей.
Исходные данные
Предприятие
А1
А2
А3
А4
А5
Производственные мощности
135
160
140
175
165
Затраты на ед. продукции в рублях
119
93
81
70
62
Потребители
В1
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
Спрос потребителей
30
45
60
50
45
65
79
87
44
30
Матрица транспортных затрат, руб.
(получена на основе данных по сети)
Потребители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
Отправители
Номера вершин
3
12
24
35
19
30
16
9
31
5
A1
2
41
34
45
64
41
46
31
38
41
18
A2
33
47
22
12
21
13
7
12
36
2
36
A3
26
35
14
7
33
1
5
16
24
10
24
A4
21
40
40
38
39
31
37
42
29
42
51
A5
13
21
16
19
47
13
19
18
10
24
19
Суммированием затрат на производство и транспортных затрат в каждой клетке матрицы получаем расчетную матрицу.
Расчетная матрица стоимостных затрат.
Потребители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
Отправи тели
Ресурсы
A1
135
160
153
164
183
160
165
150
157
160
137
A2
160
140
115
105
114
106
100
105
129
95
129
A3
140
116
95
88
114
82
86
97
105
91
105
A4
175
110
110
108
109
101
106
112
99
112
121
A5
165
83
78
81
109
75
81
80
72
86
81
Так как транспортная задача открытая, то мощности превышают потребности. Часть поставщиков в оптимальном плане остается недозагруженной. Для решения задачи в матричной форме вводится фиктивный потребитель – дополнительный столбец с потребностью, равной избытку ресурсов над реальными потребностями.
Решение транспортной задачи.
Исходные данные.
Потребители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
В10
В11
Отправи тели
Ресурсы
30
45
60
50
45
65
79
87
44
30
240
A1
135
160
153
164
183
160
165
150
157
160
137
0
A2
160
140
115
105
114
106
100
105
129
95
129
0
A3
140
116
95
88
114
82
86
97
105
91
105
0
A4
175
110
110
108
109
101
106
112
99
112
121
0
A5
165
83
78
81
109
75
81
80
72
86
81
0
Итого 775
Решение
Потребители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
Отправи тели
Ресурсы
30
45
60
50
45
65
79
87
44
30
240
A1
135
160
153
164
183
160
165
150
157
160
137
0
135
A2
160
140
115
105
114
106
100
105
129
95
129
0
49
44
67
A3
140
116
95
88
114
82
86
97
105
91
105
0
45
65
30
A4
175
110
110
108
109
101
106
112
99
112
121
0
20
87
30
38
A5
165
83
78
81
109
75
81
80
72
86
81
0
30
45
60
30
Итого 775
Для подтверждения правильности решения оптимальный план, полученный в данной таблице проверяется методом потенциалов на соблюдение условий оптимальности .
Условие оптимальности выглядит следующим образом
Vij – Uij <= Cij
Vij – Uij = Cij , если Xij > 0
Для всех клеток матрицы разность потенциалов столбца и строки меньше или равна показателю оптимальности, для занятых клеток точно равна его значению.
Первый потенциал может быть присвоен любой строке или столбцу. В данном случае первый потенциал присвоен базисной клетке, где затраты на транспортировку максимальны (А4 – В10).
Проверка решения методом потенциалов.
Потребители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
Отправител
Ресурсы
30
45
60
50
45
65
79
87
44
30
240
A1
135
160
153
164
183
160
165
150
157
160
137
0
150
135
A2
160
140
115
105
114
106
100
105
129
95
129
0
150
49
44
67
A3
140
116
95
88
114
82
86
97
105
91
105
0
158
45
65
30
A4
175
110
110
108
109
101
106
112
99
112
121
0
150
20
87
30
38
A5
165
83
78
81
109
75
81
80
72
86
81
0
150
30
45
60
30
233
228
231
259
240
244
255
249
245
271
150
Потребители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
Отправител
Ресурсы
30
45
60
50
45
65
79
87
44
30
240
A1
135
50
48
62
74
64
65
45
51
50
35
0
135
A2
160
30
10
3
5
10
0
0
30
0
27
0
30
79
44
7
A3
140
20
4
0
19
0
0
6
20
10
17
20
60
45
35
A4
175
0
5
6
0
5
6
7
0
17
19
0
50
27
98
A5
165
0
0
0
27
0
2
2
0
18
0
27
30
45
60
30
Далее следует сравнить Целевую функцию в решении задачи (F1) и целевую функцию, полученную при решении потенциалов (F2), если F1 > F2, то план оптимален.
Потребители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
Отправите
Ресурсы
30
45
60
50
45
65
79
87
44
30
240
A1
135
160
153
164
183
160
165
150
157
160
137
0
135
A2
160
140
115
105
114
106
100
105
129
95
129
0
49
44
67
A3
140
116
95
88
114
82
86
97
105
91
105
0
45
65
30
A4
175
110
110
108
109
101
106
112
99
112
121
0
20
87
30
38
A5
165
83
78
81
109
75
81
80
72
86
81
0
30
45
60
30
Цел. Ф-ия (F1)
2490
3510
4860
5450
3690
5590
8055
8613
4180
3630
0
Цел. Ф-ия (F1)
50068
Потребители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
Отправител
Ресурсы
30
45
60
50
45
65
79
87
44
30
240
A1
135
160
153
164
183
160
165
150
157
160
137
0
135
A2
160
140
115
105
114
106
100
105
129
95
129
0
30
79
44
7
A3
140
116
95
88
114
82
86
97
105
91
105
0
60
45
35
A4
175
110
110
108
109
101
106
112
99
112
121
0
50
27
98
A5
165
83
78
81
109
75
81
80
72
86
81
0
30
45
60
30
Цел. Ф-ия (F2)
2490
3510
5280
5450
3690
6010
8295
6993
4180
2430
0
Цел. Ф-ия (F2)
48328
Т.к. 50068 > 48328 , то план оптимален, т.е. условие оптимальности соблюдается во всех клетках матрицы, следовательно задача решена правильно.
Вывод.
Разработанный оптимальный план обеспечивает минимальные затраты на производство и транспортировку продукции из пяти пунктов производства в десять пунктов потребления.
На основе решения транспортной задачи определены поставки каждого пункта производства в пункты потребления, производственные программы по заводам изготовителям и резервы производственных мощностей.
Резерв производственной мощности на заводе А1 составляет 135 единиц (поставки фиктивному потребителю), на заводе А2 – 7 единиц, на заводе А4 – 98 единиц, остальные предприятия резервов не имеют.
Минимальные затраты на транспортировку и производство составили 48328 рублей. Затраты на производство продукции в составе суммарных затрат определяются умножением затрат на производство единицы продукции на производственную программу и составят
119*0+93*153+81*140+70*77+62*165= 14229+11340+5390+10230=41189 рублей или 85,2%.
Затраты на транспортировку составляют 7139 рублей или 14,8%. Такую долю транспортных затрат для готовой продукции следует считать довольно высокой, хотя по отдельным видам дешевых массовых грузов эта доля может быть значительно выше.