Социальное прогнозирование в сфере демографических процессов

Оглавление
Введение
1. Теоретическое обоснование методологий демографического прогнозирования
1.1 Понятие и сущность демографических процессов
1.2 Сущность и содержание технологии социального прогнозирования в сфере демографических процессов
2. Прогнозирование демографических процессов Оренбургской области методами экстраполяции
2.1 Нахождение прогнозных значений методом скользящей средней.
2.2 Нахождение прогнозных значений методом экспоненциального сглаживания.
2.3 Нахождение прогнозных значений методом наименьших квадратов.
Заключение
Список используемой литературы
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3

Введение
Становление рыночных отношений сопровождается формированием нового хозяйственного механизма, в котором важная роль отводится прогнозированию и планированию экономических процессов на различных территориальных уровнях. Демографические прогнозы лежат в основе любого социального прогнозирования и планирования. В самом деле, что бы мы ни планировали на перспективу развитие производства конкретных товаров или услуг, социальной структуры общества, включая ее структуру по размерам и составу семей, любые социальные процессы — во всех случаях, очевидно, нам прежде всего нужно будет узнать число и состав будущих участников этих социальных процессов по полу и возрасту, поскольку эти «параметры» людей оказывают сильное влияние на характер и интенсивность их деятельности и, соответственно, на характер и интенсивность социальных процессов.
Огромное влияние на развитие экономики, социальной сферы оказывает возрастная структура населения. С увеличением доли лиц трудоспособного возраста в общей численности населения увеличиваются, при прочих равных условиях, темпы, масштабы социально-экономического развития, и наоборот.
Это происходит потому, что влияние демографического фактора проявляется прежде всего посредством реализации трудового потенциала населения, который определяется численностью трудовых ресурсов, их составом, структурой – профессиональной, квалификационной, образовательной и др. Формирование трудового потенциала осуществляется в процессе воспроизводства населения. Управление воспроизводством населения осуществляется посредством разработки и реализации демографической политики, основу которой образуют демографические прогнозы. Демографическая политика – это совокупность социальных, экономических, юридических и других мероприятий, направленных на изменение процесса воспроизводства населения. Например, меры поощрения деторождения (пособия и др.) или его сдерживание. Демографическая политика тесно связана с социальной политикой.
Целью данной курсовой работы является исследование методологии построения демографических прогнозов и практическая реализация технологий прогнозирования на основе имеющихся статистических данных о демографических процессах в Оренбургской области.
Выделим следующие задачи исследования
— Описать методы, используемые при прогнозировании демографических процессов;
— Построить региональный прогноз демографических показателей численности постоянного населения, естественного и миграционного прироста (убыли) населения, используя методы экстарполяции;
— Проанализировать полученные результаты, сделать вывод о том какой из методов позволяет получить наиболее достоверные результаты.
Таким образом, в качестве объекта исследования выступает население Оренбургской области, а в качестве предмета – показатели, характеризующие движение населения в абсолютном исчислении.
Методологической базой работы является теория анализа временных рядов.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и трех приложений.

1. Теоретическое обоснование методологий демографического прогнозирования

1.1 Понятие и сущность демографических процессов
Демография — наука о закономерностях воспроизводства населения, о зависимости его характера от социально-экономических, природных условий, миграции, изучающая численность, территориальное размещение и состав населения, их изменения, причины и следствия этих изменений и дающая рекомендации по их улучшению.
История демографической науки долгое время была связана с развитием эмпирической формы познания, ограничиваясь сбором, обработкой и интерпретации данных о населении в соответствии с практическими потребностями. Выполнение этой функции сопровождалось постоянным совершенствованием методов исследования.
Термин «демография» появился в 1855 г. в названии книги французского ученого А. Гийяра «Элементы статистики человека, или Сравнительная демография». Он рассматривал демографию в широком смысле как «естественную и социальную историю человеческого рода» или более узко как «математическое познание населений, их общего движения, физического, гражданского, интеллектуального и морального состояния».
Официальное признание понятие «демография» получило в наименовании Международного конгресса гигиены и демографии, проходившего в Женеве в 1882 г.
Демография имеет свой четко очерченный объект исследования — население. Демография изучает численность, территориальное размещение и состав населения, закономерности их изменений на основе социальных, экономических, а также биологических и географических факторов.
Единицей совокупности в демографии является человек, который обладает множеством признаков — пол, возраст, семейное положение, образование, род занятий, национальность и т. д. Многие из этих качеств меняются в течение жизни. Поэтому население всегда обладает такими характеристиками, как численность и возрастно-половая структура, семейное состояние. Изменение в жизни каждого человека приводит к изменениям в населении. Эти изменения в совокупности составляют движение населения.
Обычно движение населения подразделяют на три группы
· естественное
Включает в себя брачность, рождаемость, смертность, изучение которых является исключительной компетенцией демографии.
· миграционное
Это совокупность всех территориальных перемещений населения, которые в конечном счете определяют характер расселения, плотности, сезонную и маятниковую подвижность населения.
· социальное
Переходы людей из одних социальных групп в другие. Этот вид движения определяет воспроизводство социальных структур населения. И именно эта взаимосвязь воспроизводства населения и изменений в социальной структуре изучается демографией.
«Естественная» или «биологическая» сущность народонаселения проявляется в его способности к постоянному самовозобновлению в процессе смены поколений в результате рождений и смертей. И этот непрерывный процесс называется воспроизводством населения.
Процессы рождаемости, смертности, а также брачности и разводимости, будучи составными частями воспроизводства населения, называются демографическими процессами.
Для изучения демографических процессов используют систему статистических показателей все эти показатели имеют, как правило, количественное выражение, в основе которых лежат измерения демографических явлений и процессов.
Демографический анализ — основной метод обработки информации для получения демографических показателей. Наиболее распространены два типа демографического анализа.
Научно обоснованное предвидение основных параметров движения населения и будущей демографической ситуации называется демографическим прогнозом. Рассмотрим основные методы, применяемые для составления прогнозов.
1.2 Сущность и содержание технологии социального прогнозирования в сфере демографических процессов

Демографические прогнозы являются важным элементом комплексного долгосрочного социально-экономического планирования. Практически очень трудно найти какую-либо область экономики и социальной жизни, где бы при долгосрочном планировании не использовались данные демографических прогнозов.
Разработка демографических прогнозов происходит в несколько стадий.
Первая стадия – аналитическая. Ее содержание – анализ демографической ситуации в стране, регионах на начало прогнозируемого периода, оценка демографических результатов развития общества за истекший период, сопоставление их с прогнозными значениями показателей, выявление диспропорций и негативных тенденций, возникших в демографическом развитии страны.
Вторая стадия – целевая. На этой стадии обосновывается состав целей демографического прогноза. В составе целей выделяются по характеру их возникновения две группы целей.
1-ая группа – это цели, достижение которых представляет собой решение тех проблем, которые возникли в демографическом развитии страны истекшего периода.
2-ая группа целей – это цели, достижение которых предопределено изменением демографических условий в прогнозируемом периоде, характером тех требований, которые предъявит развитие экономики и социальной сферы к демографической ситуации страны в прогнозном периоде.
Третья стадия – расчетная. Ее содержание заключается в обосновании системы прогнозных показателей.
С технической точки зрения демографический прогноз выступает обычно в виде так называемого перспективного исчисления населения, т.е. расчета численности и возрастно-половой структуры, построенного на основании данных об изменениях демографических характеристик (численности населения, демографических структур, рождаемости, смертности и т.д.) в прошлом, а также с учетом принимаемых гипотез относительно их динамики в будущем. Такого рода расчеты делаются обычно в нескольких вариантах, при этом задаются границы наиболее вероятных изменений населения.
Обычно прогноз делается в трех вариантах, которые принято называть «нижним», «средним» и «верхним», причем «средний» вариант соответствует как бы наиболее вероятному ходу событий, а «нижний» и «верхний» задают внешние границы динамики демографических показателей. Варианты демографических прогнозов отражают возможное влияние экономических, социальных, экологических, внешнеэкономических, внутриполитических и других факторов на демографическую ситуацию в стране.
Важной характеристикой демографических прогнозов является их достоверность, т.е. соответствие прогнозных характеристик населения и демографических прогнозов тому, какими они будут в действительности. Достоверность демографического прогноза определяется точностью исходной демографической информации, обоснованностью принимаемых гипотез, длительностью прогнозного периода.
Демографические прогнозы разрабатываются на различные периоды времени
· краткосрочные – на период от 1 до 10 лет;
· среднесрочные – от 10 до 25 лет;
· долгосрочные – от 25 до 50 лет;
· сверхдолгосрочные – свыше 50 лет.
С увеличением срока прогнозирования точность прогнозов снижается. По оценкам специалистов-демографов, наибольшую практическую ценность имеют прогнозы разрабатываемые на период до 20 лет.
Однако велика потребность и в разработке прогнозов с временным горизонтом свыше 20 лет, несмотря на их снижающуюся достоверность.
Она определяется тем, что для управления, регулирования экономическими и социальными процессами в стране, такими, как оптимизация размещения производительных сил, разработка генеральных схем развития городов, регионов, рационализация использования природных, трудовых ресурсов требуется информация, которая может содержаться только в долгосрочных демографических прогнозах.
При разработке демографических прогнозов наиболее часто используют следующие четыре группы методов
1) методы экстраполяции;
2) экономико-математические методы, позволяющие разработать многофакторные динамические модели;
3) методы передвижки возрастов и когорт;
4) методы экспертных оценок.
Методы экстраполяции. Широкое их использование при демографическом прогнозировании объясняется тем, что данные процессы в большинстве случаев достаточно инерционны в своем развитии. Методы экстраполяции применяются не только для оценки будущей численности населения, но и для расчета характеристик движения населения (например, коэффициентов рождаемости, смертности, миграции). Общий недостаток построенных с помощью методов экстраполяции прогнозов – это то, что они опираются на средние тенденции динамики населения, зачастую игнорируя особенности отдельных половозрастных групп.
Вторая группа методов, достаточно часто используемых при прогнозирование демографического развития — экономико-математические методы. Итогом их применения являются динамические модели, которые позволяют учесть влияние новых факторов, проявивших себя в последние периоды. Функция исследователя-прогнозиста заключается в том, чтобы из перечня факторов, оказывающих влияние на изучаемый процесс выбрать наиболее значимые и рассчитать параметры многофакторной модели.
В составе факторов, влияющих на характер демографического развития, различают две основные группы
первая группа — объективные факторы, на характер действия которых система органов управления повлиять не может, например, сложившиеся традиции, религиозные представления населения, состояние международной обстановки, последствия войн, иных социальных потрясений;
вторая группа — факторы, влияние которых в большей или меньшей степени управляемо (например, прогресс в медицинской науке, качество медицинского обслуживания, культурно-образовательный уровень населения, уровень жизни населения по различным аспектам – жилищная обеспеченность, бытовые условия, размер доходов и др.). Влияние каждого фактора рассчитывается отдельно, после чего определяется суммарное взаимодействие всех факторов.
Существует взаимозависимость между различными факторам, т.е. с изменением характера влияния одних факторов изменяется характер влияния других. Поэтому в прогнозных расчетах используются экономико-математические методы, разрабатываются многофакторные динамические модели, в которых значения демографических показателей представлены как функции, а факторы – как аргументы. В интегральной форме совокупное влияние всех факторов может быть выражено в виде следующей формулы

где — прогнозное значение демографического показателя; — количественные значения различных факторов в прогнозируемом периоде;
n – количество факторов, учитываемых в расчетах.
В составе прогнозируемых показателей наиболее значимы следующие численность населения страны по годам прогнозируемого периода, темпы роста численности, структура населения, ее динамика, трудовой, экономический, потребительский потенциалы населения, жизненный фонд населения и др.
Третья группа методов демографического прогнозирования — методы передвижки возрастов и когорт. Они позволяют устранить недостаток методов экстраполяции – прогнозирование на основе средней тенденции динамики населения. Эти методы основаны на том, что показатели рождаемости и смертности, миграции существенно различаются у различных половозрастных групп. Основой расчета по методу передвижки возрастов служит коэффициент дожития, достигнутый различными половозрастными группами, а основа метода когорт – коэффициент рождаемости, достигнутый различными возрастными группами женщин или когортами.
Четвертая группа методов, достаточно широко применяемых при демографическом прогнозировании – это методы экспертных оценок. Они незаменимы в случаях недостаточного объема статистической информации об объекте прогнозирования, а также и в случаях, когда в новом периоде на изучаемый процесс начинают оказывать влияние новые факторы, влияние которых изучить по данным за предыдущие периоды невозможно.
Рассмотрим применение методов демографического прогнозирования на примере демографических процессов Оренбургской области.

2. Прогнозирование демографических процессов Оренбургской области методами экстраполяции
В современных условиях развития рыночных отношений, реализации принципов федерализма, становления местного самоуправления возрастает роль региональных демографических прогнозов. Состав демографических факторов, характер их влияния своеобразны для каждого региона. Для одних огромное значение имеет миграционный фактор (Ставропольский край, Ростовская область), для других – природно-климатический (Север России), для третьих – последствия событий прошлых лет (Центральные районы России), для четвертых – национальные особенности (Юг России) и др. Региональные демографические прогнозы разрабатываются на уровне крупных, средних и малых регионов.
В качестве исходных показателей для прогнозирования демографических процессов в Оренбургской области, возьмем показатели
— численности постоянного населения на 1 января;
— число родившихся и умерших человек за год (естественное движение населения);
— число прибывших и выбывших человек за год (миграционное движение населения), представленные на сайте Федеральной службы государственной статистики РФ.
Рассчитаем прогнозные значения данных показателей, используя методы экстраполяции скользящих средних, экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов. Прогноз должен иметь высокую точность, ошибка прогноза будет тем меньше, чем меньше период (срок) упреждения и чем больше база прогноза.
Период (срок) упреждения — это интервал времени, на который разрабатывается прогноз. База прогноза — это статистическая информация за ряд лет, на которую мы опираемся при построении расчетов. Срок упреждения должен составлять не более 1/3 базы прогноза. В данной работе будем использовать базы прогноза за 19-20 лет и находить прогнозные значения на трехлетний период.
Для оценки точности прогнозов, построенных методом экстраполяции, существуют несколько способов.
Таблица 1
Формулы оценки точности прогнозов методом экстраполяции.

Средняя абсолютная оценка
Средняя квадратическая оценка
Средняя относительная ошибка

Δ

ε=

Интерпретация значений

Чем ближе к нулю, тем выше точность прогноза
ε <10 точность высокая 10<ε <20 хорошая 20<ε <50 удовлетворительная ε >50 неудовлетворительная

2.1 Нахождение прогнозных значений методом скользящей средней
Одним из наиболее старых и широко известных методов сглаживания временных рядов является метод скользящих средних. Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов. Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие замены первоначальных уровней временного ряда средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного периода. Затем период сдвигается на одно наблюдение, и расчет средней повторяется, причем периоды определения средней берутся все время одинаковыми. Таким образом, в каждом случае средняя центрирована, т.е. отнесена к серединной точке интервала сглаживания и представляет собой уровень для этой точки.
Данный метод используется при краткосрочном прогнозировании. Его рабочая формула
, если n = 3 (1)
где t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); yt+1 – прогнозируемый показатель;– скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; yt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; yt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.
Для временного ряда показателя «Численность населения на 1 января» определим величину интервала сглаживания n =3. Исходные данные представлены в приложении 1. Рассчитаем скользящую среднюю для первых трех периодов

Далее рассчитываем скользящую среднюю для следующих трех периодов
и т.д.
Составим таблицу расчетов (полностью в приложении 1).

Таблица 2
Расчет прогнозного значения численности населения в Оренбургской области методом скользящей средней.

Годы
Численность населения Оренбургской области на 1 января, человек
Скользящая средняя m
Расчет средней относительной ошибки

1990
2 151 097

1991
2 159 743
2 159 699
0,00

1992
2 168 257
2 170 201
0,09

2006
2 137 850
2 137 920
0,00

2007
2 125 503
2 127 452
0,09

2008
2 119 003
2 118 679
0,02

2009
2 111 531
2 115 267

итого
43 528 625

0,85

прогноз

2010
2 116 188
2 114 949

2011
2 117 127

2012
2 115 261

Средняя относительная ошибка ɛ
0,05

Средняя абсолютная ошибка Δ
299

Средняя квадратическая ошибка
1 478

Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, построим прогноз на 2010 год по формуле (1)

Определяем скользящую среднюю для 2009 года

,
и строим прогноз на 2011 год
.
чел.
В таблице 2 приведены расчетные данные для определения средней относительной ошибки. Найдем ее значение, разделив на число уровней (n=18)
, что соответствует высокой точности прогноза.
Расчетные таблицы для определения прогнозных значений других демографических показателей приведены в приложении 1. Полученные результаты представим в таблице.
Таблица 3
Прогнозные значения абсолютных показателей родившихся, умерших, прибывших и выбывших в Оренбургской области, полученные методом скользящей средней.

Абсолютный показатель, человек
2006
2007
2008
Прогноз на 2009
Прогноз на 2010
Прогноз на 2011
Δ

ε

Родившиеся
23335
25776
26947
25 743
25 754
26 125
-85
594
2,20

Умершие
31 583
31 000
30 904
31 130
31 087
31 026
32
795
2,02

Абсолютный показатель, человек
2007
2008
2009
Прогноз на 2010
Прогноз на 2011
Прогноз на 2012
Δ

ε

Прибывшие
31 949
25 570
28 053
29 352
28 091
28 078
11
2177
5

Выбывшие
33 225
29 085
25 603
28 144
28 457
27 506
32
1161
2,05

Величины средних оценок и средней относительной ошибки позволяют считать точность прогноза достаточно высокой.
2.2 Нахождение прогнозных значений методом экспоненциального сглаживания
Метод экспоненциального сглаживания наиболее эффективен при разработке среднесрочных прогнозов. Он приемлем при прогнозировании только на один период вперед.
Рабочая формула метода экспоненциального сглаживания
(2)
где t – период, предшествующий прогнозному; t+1– прогнозный период; — прогнозируемый показатель; — параметр сглаживания; -фактическое значение исследуемого показателя за период, предшествующий прогнозному; экспоненциально взвешенная средняя для периода, предшествующего прогнозному.
При прогнозировании данным методом возникает два затруднения
1) выбор значения параметра сглаживания α;
2) определение начального значения Uо.
От величины α будет зависеть, как быстро снижается вес влияния предшествующих наблюдений. Чем больше α, тем меньше сказывается влияние предшествующих лет. Если значение α близко к единице, то это приводит к учету при прогнозе в основном влияния лишь последних наблюдений; если близко к нулю, то веса, по которым взвешиваются уровни временного ряда, убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все (или почти все) прошлые наблюдения. Таким образом, если есть уверенность, что начальные условия, на основании которых разрабатывается прогноз, достоверны, следует использовать небольшую величину параметра сглаживания (α→0). Когда параметр сглаживания мал, то исследуемая функция ведет себя как средняя из большого числа прошлых уровней. Если нет достаточной уверенности в начальных условиях прогнозирования, то следует использовать большую величину α, что приведет к учету при прогнозе в основном влияния последних наблюдений.
Точного метода для выбора оптимальной величины параметра сглаживания α нет. В отдельных случаях автор данного метода профессор Браун предлагал определять величину α, исходя из длины интервала сглаживания. При этом α вычисляется по формуле
(3)
где n – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.
Задача выбора Uо (экспоненциально взвешенного среднего начального) решается следующими путями
1) если есть данные о развитии явления в прошлом, то можно воспользоваться средней арифметической, и Uо равен этой средней арифметической;
2) если таких сведений нет, то в качестве Uо используют исходное первое значение базы прогноза Y1.
Также можно воспользоваться экспертными оценками.
Используем метод экспоненциального сглаживания для составления прогнозных значений. Величина параметра сглаживания для показателя численности населения составит , для показателей «число родившихся» и «число умерших», «число прибывших» и «число выбывших» . Значения близки к нулю, следовательно, веса, по которым взвешиваются уровни временного ряда, убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все (или почти все) прошлые наблюдения.
Определяем начальное значение Uо для показателя численности населения двумя способами
1 Способ (средняя арифметическая)
2 Способ (первое значение базы прогноза)
Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого года, используя формулу 2, занесем результаты в таблицу.
Таблица 4
Расчет прогнозного значения численности населения Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

года
Численность постоянного населения на 1 января, человек
Экспоненциально взвешенная средняя Ut
Расчет средней относительной ошибки

I способ
II способ
I способ
II способ

1
1990
2 151 097
2176434
2 151 097
1,18
0,00

2
1991
2 159 743
2174021
2 151 097
0,66
0,40

3
1992
2 168 257
2172661
2 151 920
0,20
0,75

19
2008
2 119 003
2175920
2 171 738
2,69
2,49

20
2009
2 111 531
2170499
2 166 716
2,79
2,61

прогноз
2010

2 164 883
2 161 460

итого

43 528 685

27,20
29,84

Средняя относительная ошибка ɛ
1,36
1,49

Средняя абсолютная ошибка Δ
-6064
5441

Средняя квадратическая ошибка
33749
36868

Величина средней относительной ошибки при расчете 2-м способом выше, но оба значения свидетельствуют о высокой точности прогноза.
Данные о прогнозных значениях показателей других демографических показателей, представим в таблице (расчет полученных параметров в Приложении 2).

Таблица 5
Прогнозные значения абсолютных показателей родившихся и умерших, прибывших и выбывших в Оренбургской области, полученные методом экспоненциального сглаживания.

Абсолютный показатель, человек
2006
2007
2008
Прогноз на 2009
Δ

ε

I способ определения экспоненциально взвешенного среднего начального

Родившиеся
23 335
25 776
26 947
23 915
-135
3 275
9,94

Умершие
31 583
31 000
30 904
30 754
64
2 571
8,14

II способ определения экспоненциально взвешенного среднего начального

Родившиеся
23 335
25 776
26 947
25 150
-4296
5 386
20,14

Умершие
31 583
31 000
30 904
29 557
1 241
2 965
14,91

I способ определения экспоненциально взвешенного среднего начального

Прибывшие
31 949
25 570
28 053
37 366
-3539
15857
35,27

Выбывшие
33 225
29 085
25 603
36311
-2070
8458
20,04

II способ определения экспоненциально взвешенного среднего начального

Прибывшие
31 949
25 570
28 053
41 292
-16856
19228
49,84

Выбывшие
33 225
29 085
25 603
38 162
-8348
9757
24,83

Так же как и с показателем численности населения, величина средней относительной ошибки при расчете 2-м способом выше, что свидетельствует о нецелесообразности применения первого значения базы прогноза в качестве экспоненциально взвешенной Uо. В целом точность прогноза для показателей естественного движения населения находится в границах высокой точности, для показателей миграционного движения точность прогноза удовлетворительная.

2.3 Нахождение прогнозных значений методом наименьших квадратов
демографический прогноз население численность
Сущность метода наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами. Расчетные величины находятся по подобранному уравнению – уравнению регрессии.
Чем меньше расстояние между фактическими значениями и расчетными, тем более точен прогноз, построенный на основе уравнения регрессии. Теоретический анализ сущности изучаемого явления, изменение которого отображается временным рядом, служит основой для выбора кривой. Иногда принимаются во внимание соображения о характере роста уровней ряда. Для нахождения прогнозных значений численности населения часто предполагается, что рост идет в геометрической прогрессии, и тогда сглаживание производится по показательной функции.
(4)
где — численность населения в прогнозный период; — численность населения в период, предшествующий прогнозному; е — основные натурального логарифма; k — общий коэффициент прироста населения, выраженный в долях единиц, рассчитанный по формуле (5)
где M — число родившихся за период; N – число умерших за период; П- число прибывших за период; В – число выбывших за период; S – средняя численность населения за период; t- период, на который разрабатывается прогноз.
Согласно имеющимся данным, численность населения Оренбургской области на 1 января 2008 года составила 2 119 003 чел., на 1 января 2009 – 2 111 531 чел., за 2008 год родилось 26 947 чел., умерло 30 904 чел., 25 570 чел. прибыло и 29 085 чел. выбыло. Рассчитаем численность населения в 2010-2012 гг. при условии, что коэффициент общего прироста населения () останется неизменным на всем протяжении прогнозных лет

чел.
чел.
чел.
Сглаживание временных рядов методом наименьших квадратов служит для отражения закономерности развития изучаемого явления. В аналитическом выражении тренда время рассматривается как независимая переменная, а уровни ряда выступают как функция этой независимой переменной. Ясно, что развитие явления зависит не от того, сколько лет прошло с отправного момента, а от того, какие факторы влияли на его развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Развитие явления во времени выступает как результат действия этих факторов.
Правильно установить тип кривой, тип аналитической зависимости от времени – одна из самых трудных задач предпрогнозного анализа.
Подбор вида функции, описывающей тренд, параметры которой определяются методом наименьших квадратов, производится в большинстве случаев эмпирически, путем построения ряда функций и сравнения их между собой по величине среднеквадратической ошибки, вычисляемой по формуле
(6)
где – фактические значения ряда динамики; – расчетные (сглаженные) значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда; р – число параметров, определяемых в формулах, описывающих тренд.
С помощью программы Excel проверим предположение о том, что изменение численности населения в Оренбургской области, хорошо апроксимируется экспоненциальной линией тренда.

Рис. 1. Динамика численности населения в Оренбургской области с экспоненциальной линией тренда.
Видно, что разница между фактическими и сглаженными значениями данного ряда очень велика. Невысокий коэффициент достоверности аппроксимации также подтверждает, что использовать данный тип тренда нецелесообразно.
Наибольшее приближение к фактическим уровням данного динамического ряда дает функция полинома второй степени.

Рис. 2. Динамика численности населения в Оренбургской области с полиномиальной линией тренда.

При использовании уравнения полинома третьей степени, коэффициент аппроксимации увеличивается до 0,97, но при этом усложняется и сама модель, что может отрицательно сказаться на ее прогностических возможностях.
Уравнение регрессии примет вид
(7)
— выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i; а — это средний (выровненный) уровень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. t = 0; b — это средний за весь период среднегодовой прирост, который изменяется равномерно со средним ускорением, равным 2с; c- константа, главный параметр параболы II порядка.
Параметры a, b и c оцениваются методом наименьших квадратов и отвечают принципу максимального правдоподобия сумма квадратов отклонений фактических уровней от тренда (от выровненных по уравнению тренда уровней) должна быть минимальной для данного типа уравнения.
На диаграмме уравнение тренда имеет вид ,где =0 в 1990г.
При этом нумерация периодов начинается с t=1. Однако рациональнее начало отсчета времени перенести в середину ряда, т.е. при нечетном п — на период (момент) с номером (п +1 )/2, а при четном числе уровней ряда — на середину между периодом с номером n/2 и (n/2)+1. Расчет параметров тренда при переносе отсчета времени на середину ряда приведен в приложении 3. Тогда уравнение тренда принимает вид , где =0,5 в 2000г.
За период 1990-2009г показатель численности населения в Оренбургской области убывал в номинальной оценке ускоренно, со средним ускорением человек за год; средняя убыль населения за весь период составила 3 087 человек; средний уровень численности населения на середину периода был равен 22 084 35 чел.
Для оценки надежности тренда необходимо оценить надежность его главного параметра – ускорения. Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки параметра с вычисляется по формуле
(8)
Где S(t) – оценка генерального показателя колеблемости, учитывающая потерю степеней свободы и определяемая по формуле 6.
Используя данные приложения 3, найдем искомые величины

Отношение параметра с (половина ускорения) к его средней ошибке — это t-критерий Стьюдента
Табличное значение критерия Стъюдента Фактическая величина критерия больше табличного, следовательно, вероятность нулевой гипотезы (о равенстве параметра с нулю) чрезвычайно мала. Достоверно известно, что тренд существовал, и что численность населения Оренбургской области снижалась не случайно.
Прогноз по этой модели заключается в подстановке в уравнение тренда номера периода, который прогнозируется. Для 2010 года период времени t = 10,5, прогнозное значение составит
2010==2 069 907 чел.

Полученное прогнозное значение является точечным и не учитывает колеблемость уровней показателя.
При прогнозе с учетом случайной колеблемости учитывается как вызванная колеблемостью ошибка репрезентативности выборочной оценки тренда, так и колебания уровней в отдельные периоды (моменты) относительно тренда.
Общая формула средней ошибки прогноза положения параболического тренда на период с номером от середины базы расчета тренда имеет вид
(9)
Средняя ошибка тренда на 2010 год равна

Вероятность того, что фактическая ошибка не превысит одного среднего квадратического отклонения, т.е. m равна при нормальном распределении 0,68. Чтобы получить доверительный интервал прогноза линии тренда с большей вероятностью, например с вероятностью 0,95,среднюю ошибку нужно умножить на величину t-критерия Стъюдента для вероятности 0,95 и n-p степеней свободы.
Получаем вероятную ошибку

с вероятностью 95% можно утверждать, что тренд численности населения в Оренбургской области в 2010 году проходит в границах 2 069 907±13 307 или от 2 056 600 до 2 083 214 человек.
Определив ошибку репрезентативности выборочной оценки тренда, и колебания уровней в отдельные периоды (моменты) относительно тренда, получаем единую формулу средней ошибки прогноза конкретного отдельного уровня
(10)
Для искомого прогнозного значения 11 286 .
Таким образом, для прогнозного значения показателя численности населения на 1 января 2010 года определены границы доверительного интервала 2 046 096 – 2 093 718 человек.
Аналогично рассчитываем прогнозные значения на 2011-2012 годы
2011=2 045 646 чел.
Доверительный интервал (2 020 126; 2 071 166).
2012=2 019 459 чел.
Доверительный интервал (1 991 780; 2 047 138)
Средняя относительная ошибка , что свидетельствует о высокой точности прогноза.
Расчет прогнозных значений для других показателей приведен в приложении 3, сведем полученные результаты в общую таблицу

Таблица 5
Прогнозные значения абсолютных показателей родившихся и умерших, прибывших и выбывших в Оренбургской области, полученные методом наименьших квадратов.

Абсолютный показатель, человек
2006
2007
2008
Прогноз на 2009
Прогноз на 2010
Прогноз на 2011
Δ

ε

Родившиеся
23335
25776
26947
29 253
31 220
33 395
0
1135
4,13

Умершие
31 583
31 000
30 904
30 190
29 392
28 470
0
1420
3,69

Абсолютный показатель, человек
2007
2008
2009
Прогноз на 2010
Прогноз на 2011
Прогноз на 2012
Δ

ε

Прибывшие
31 949
25 570
28 053
29 586
31 144
33 202
0,11
3499
7,68

Выбывшие
33 225
29 085
25 603
24 352
22 589
20 826
0
2437
5,17

Величины относительной ошибки свидетельствуют о высокой точности прогноза. По имеющимся данным видно, что при наметившихся тенденциях естественный прирост населения в прогнозируемые годы увеличится (увеличение рождаемости и снижение смертности), как и миграционный прирост.
Для сравнения полученных результатов составим сводную таблицу по всем применяемым методам

Численность постоянного населения на 1 января, человек

МСС
МЭС
МНК

2007
2 125 503
2 125 503
2 125 503

2008
2 119 003
2 119 003
2 119 003

2009
2 111 531
2 111 531
2 111 531

прогноз

2010
2 116 188
2 164 883
2 069 907

2011
2 117 127

2 045 646

2012
2 115 261

2 019 459

Ср. абсолют. оценка
299
-6064
0,38

Ср. квадрат. оценка
1 478
33749
8628

Ср. относит. ошибка
0,05
1,36
0,017

Число родившихся, чел.
Число умерших, чел.

МСС
МЭС
МНК
МСС
МЭС
МНК

2 006
23335
23335
23335
31 583
31 583
31 583

2 007
25776
25776
25776
31 000
31 000
31 000

2 008
26947
26947
26947
30 904
30 904
30 904

прогноз

2 009
25 743
23 915
29 253
31 130
30 754
30 190

2 010
25 754

31 220
31 087

29 392

2 011
26 125

33 395
31 026

28 470

Ср. абсолют. оценка
-85
-135
0
32
64
0

Ср. квадрат. оценка
594
3 275
1135
795
2 571
1420

Ср. относит. ошибка
2
9,94
4,13
2,02
8,14
3,69

Число прибывших, человек
Число выбывших, человек

МСС
МЭС
МНК
МСС
МЭС
МНК

2007
31 949
31 949
31 949
33 225
33 225
33 225

2008
25 570
25 570
25 570
29 085
29 085
29 085

2009
28 053
28 053
28 053
25 603
25 603
25 603

прогноз

2010
29 352
37 366
29 586
28 144
36311
24 352

2011
28 091

31 144
28 457

22 589

2012
28 078

33 202
27 506

20 826

Ср. абсолют. оценка
11
-3539
0,11
32
-2070
0

Ср. квадрат. оценка
2 177
15857
3499
1 161
8458
2437

Ср. относит. ошибка
5
35,27
7,68
2
20,04
5,17

Как видно из таблицы, значения средней квадратической оценки средней относительной ошибки у показателей минимальны для метода скользящей средней, и в целом данный метод дает хорошие результаты при прогнозировании демографических процессов. Кроме того, метод прост в использовании, что открывает широкие возможности для его применения. Метод наименьших квадратов более сложен в работе, но позволяет получить также достоверные результаты при условии подбора вида линии тренда, хорошо аппроксимирующей исходный динамический ряд.
Применение метода экспоненциального сглаживания целесообразно только при условии использования среднего уровня ряда в качестве начального значения экспоненциальной взвешенной. Но и в этом случае, полученные результаты являются самыми ненадежными по сравнению с прогнозированием другими методами.
Следует отметить, что прогнозирование методами экстраполяции основывается на использовании простого методологического аппарата и часто используется для получения будущих оценок социально-экономических процессов. Оправдано их использование и в частности при построении демографических прогнозов, поскольку процессы естественного и миграционного движения достаточно инерционны и не подвержены резким скачкам в уровнях.

Заключение
В соответствии с поставленными задачами в данной работе были исследованы 4 группы методов, используемых при прогнозировании демографических процессов
1) методы экстраполяции;
2) экономико-математические методы, позволяющие разработать многофакторные динамические модели;
3) методы передвижки возрастов и когорт;
4) методы экспертных оценок.
Опираясь на имеющиеся в распоряжении данные, для практической части работы, была выбрана первая группа методов. В результате чего были построены прогнозные оценки показателей, характеризующих естественное и миграционное движения населения в Оренбургской области, с помощью трех методов экстраполяции
— метод скользящей средней;
— метод экспоненциального сглаживания;
— метод наименьших квадратов.
Сравнив полученные результаты, сделаем вывод о целесообразности применения для прогнозирования метода скользящей средней и метода наименьших квадратов. Метод экспоненциального сглаживания позволил найти менее точные прогнозные оценки по сравнению с другими методами.
Метод наименьших квадратов позволил определить, что наилучшее приближение к исходным уровням временных рядов дает функция параболы II порядка для всех показателей, кроме «Числа выбывших, человек» — для него лучшей аппроксимацией является линейный тренд.
Для показателя «постоянного населения», «Число прибывших» и «Число выбывших» найдены прогнозные значения и определены границы доверительных интервалов на 2010, 2011,2012 годы.
Для показателей «Числа родившихся» и «Числа умерших» найдены прогнозные значения и определены границы доверительных интервалов на 2009, 2010,2011 годы.
Полученные абсолютные данные могут использоваться для формирования демографической политики, а также прогнозирования социально-экономических процессов.

Список использованных источников и литературы
1. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование Учебник. — М. Финансы и статистика, 2001. — 228 с.
2. Артамонова И. А., Краснопевцева Б. В. Учебное пособие «Теория управления». Москва МИИГАик, 2003.-86с.
3. Ахметов Р. Ш. Демографические процессы в Оренбургской области вчера, сегодня, завтра – Региональный портал образовательного сообщества Оренбуржья http //www.orenport.ru/
4. Борисов В. А. Демография Учебник для вузов 2-е изд., исправленное— М. Издательский дом NOTABENE, 1999, 2001. — 272 с.
5. Добров Г.М. Рабочая книга по прогнозированию. — М. 1998
6. Концепция демографической политики Оренбургской области на период до 2025 года. Портал органов государственной власти Оренбуржья http //www.orenburggov.ru/magnoliaPublic/regportal/Info/SocialServices/dempolit/Main.html
7. Кузьмин А.И. Курс лекций Основы демографии». Лекция 6 Основные показатели демографии. http //www.humanities.edu.ru/db/msg/47074
8. Курбатов В.И. Социальная работа Учебное пособие. – М. Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», Ростов н/Д Наука – Пресс, 2007 – 480с.
9. Луков В.А. Социальное проектирование. — М. 1997. – 282 с.
10. Медков В. М. Демография Учебное пособие. Серия «Учебники и учебные пособия». — Ростов-на-Дону «Феникс», 2002. — 448 с.
11. Новикова Н.В., Поздеева О.Г. Прогнозирование национальной экономики Учебно-методическое пособие. Екатеринбург Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2007. — с.138
12. Областной статистический ежегодник. 2009 Стат.сб./Территориальный орган Федеральной службы государственной статистики по Оренбургской области.- Оренбург. 2009. – 525 с.
13. Основы социальной работы Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / Под ред. Н.Ф. Басова. – М. Издательский центр «Академия», 2004. – 288 с.
14. Прогнозирование и планирование в условиях рынка./ Под редакцией Т.Г. Морозовой, А.В.Пулькина. М. ЮНИТИ – ДИАНА, 20001 г., 318 с.
15. Сафронова В.М. Прогнозирование и моделирование в социальной работе Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М. Издательский центр «Академия», 2002. – 192с.
16. Смагина И. В. «Статистический анализ демографических процессов в Орловской области на фоне депопуляции населения России» автореферат диссертации соискание ученой степени кандидата экономических наук www.econ.msu.ru/cmt2/lib/a/839/File/Smagina.doc
17. Смирнова И.В. Демография Учебно-методическое пособие для студентов специальности «Государственное и муниципальное управление» / филиал СЗАГС в г. Калуга. – Калуга, 2004. – 138 с.
18. Теория управления. Учебник / Уколов В.Ф., Масс А.М., Быстряков И.К. — М. Экономика, 2003. — 576 с.
19. Указ Президента РФ № 1351 от 9 октября 2007 года «Об утверждении Концепции демографической политики Российской Федерации на период до 2025 года»
20. Черныш Е.А., Молчанова и др. Прогнозирование и планирование. М., 2001 г.
21. Шмойлова Р.А, Минашкин В. Г. Теория статистики- Финансы и Статистика 2009г., 656стр. Яковлева А.В. Эконометрика конспект лекций ЭКсмо, 2008
22. Материалы сайтов www.demographia.ru, wikipedia.org.

Приложение 1
Расчет прогнозных значений абсолютного показателя родившихся методом скользящей средней.

годы
Число родившихся, человек
Скользящая средняя m
Расчет средней относительной ошибки

итого

37,38

1990
33 311

1991
30 177
30 327
0,50

1992
27 494
27 273
0,80

1993
24 148
25 367
5,05

1994
24 458
23 813
2,64

1995
22 833
22 913
0,35

1996
21 449
21 724
1,28

1997
20 890
21 430
2,58

1998
21 951
20 998
4,34

1999
20 154
21 193
5,16

2000
21 475
21 163
1,45

2001
21 861
22 279
1,91

2002
23 500
22 934
2,41

2003
23 442
23 508
0,28

2004
23 583
23 162
1,79

2005
22 460
23 126
2,97

2006
23 335
23 857
2,24

2007
25 776
25 353
1,64

2008
26 947
26 155

прогноз 2009
25 743
26 148

прогноз 2010
25 754

прогноз 2011
26 125

Средняя относительная ошибка
2,20

Средняя абсолютная ошибка
-85

Средняя квадратическая ошибка
594

Расчет прогнозных значений абсолютного показателя умерших методом скользящей средней.

итого

22,64

1990
20 933

1991
22 469
22 507
0,17

1992
24 120
24 991
3,61

1993
28 383
27 916
1,65

1994
31 244
29 887
4,34

1995
30 033
29 949
0,28

1996
28 570
28 938
1,29

1997
28 210
28 406
0,70

1998
28 439
29 006
1,99

1999
30 368
30 187
0,59

2000
31 755
31 472
0,89

2001
32 293
32 360
0,21

2002
33 031
32 772
0,79

2003
32 991
32 781
0,64

2004
32 321
32 819
1,54

2005
33 145
32 350
2,40

2006
31 583
31 909
1,03

2007
31 000
31 162
0,52

2008
30 904
31 011

Прогноз 2009
31 130
31 040

Прогноз 2010
31 087

Прогноз 2011
31 026

Средняя относительная ошибка
2,02

Средняя абсолютная ошибка
32

Средняя квадратическая ошибка
795

Расчет прогнозных значений абсолютного показателя числа прибывших методом скользящей средней.

годы
Число прибывших за год
Скользящая средняя m
Расчет средней относительной ошибки

итого

75,0

1993
73131

1994
76108
73 160
3,87

1995
70242
68 229
2,87

1996
58336
62 100
6,45

1997
57721
55 832
3,27

1998
51438
52 475
2,02

1999
48267
47 730
1,11

2000
43484
41 538
4,47

2001
32864
35 192
7,08

2002
29228
30 611
4,73

2003
29740
29 556
0,62

2004
29701
30 921
4,11

2005
33322
30 912
7,23

2006
29712
31 661
6,56

2007
31949
29 077
8,99

2008
25570
28 524
11,55

2009
28 053
27 658
1,41

Прогноз 2010
29 352
28 499

Прогноз 2011
28 091

Прогноз 2012
28 078

Средняя относительная ошибка
5

Средняя абсолютная ошибка
11

Средняя квадратическая ошибка
2 177

Расчет прогнозных значений абсолютного показателя числа выбывших методом скользящей средней.

годы
Число выбывших за год
Скользящая средняя m
Расчет средней относительной ошибки

итого

31,0

1993
53931

1994
51900
54 083
4,21

1995
56419
53 455
5,25

1996
52047
51 873
0,33

1997
47152
47 831
1,44

1998
44293
45 041
1,69

1999
43678
42 558
2,56

2000
39703
39 702
0,00

2001
35725
36 248
1,46

2002
33317
34 516
3,60

2003
34506
33 952
1,61

2004
34032
34 577
1,60

2005
35194
34 389
2,29

2006
33940
34 120
0,53

2007
33225
32 083
3,44

2008
29085
29 304
0,75

2009
25 603
27 611

Прогноз 2010
28 144
27 401

Прогноз 2011
28 457

Прогноз 2012
27 506

Средняя относительная ошибка
2,05

Средняя абсолютная ошибка
32

Средняя квадратическая ошибка
1 161

Приложение 2
Расчет прогнозного значения абсолютного показателя родившихся в Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

года
Число родившихся, человек
Экспоненциально взвешенная средняя Ut
Расчет средней относительной ошибки

Iспособ
IIспособ
I способ
II способ

1
1990
33311
24 171
33 311
27,44
0,00

2
1991
30177
25 085
33 311
16,87
10,39

3
1992
27494
25 594
32 998
6,91
20,02

4
1993
24148
25 784
32 447
6,77
34,37

5
1994
24458
25 620
31 617
4,75
29,27

6
1995
22833
25 504
30 901
11,70
35,34

7
1996
21449
25 237
30 095
17,66
40,31

8
1997
20890
24 858
29 230
19,00
39,92

9
1998
21951
24 461
28 396
11,44
29,36

10
1999
20154
24 210
27 751
20,13
37,70

11
2000
21475
23 805
26 992
10,85
25,69

12
2001
21861
23 572
26 440
7,83
20,95

13
2002
23500
23 401
25 982
0,42
10,56

14
2003
23442
23 411
25 734
0,13
9,78

15
2004
23583
23 414
25 505
0,72
8,15

16
2005
22460
23 431
25 313
4,32
12,70

17
2006
23335
23 334
25 027
0,01
7,25

18
2007
25776
23 334
24 858
9,47
3,56

19
2008
26947
23 578
24 950
12,50
7,41

прогноз
2009

23 915
25 150

итого

459 244

188,92
382,72

Средняя относительная ошибка ɛ
9,94
20,14

Средняя абсолютная ошибка Δ
-135
-4 296

Средняя квадратическая ошибка
3 275
5 386

Расчет прогнозного значения абсолютного показателя умерших в Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

года
Число умерших, человек
Экспоненциально взвешенная средняя Ut
Расчет средней относительной ошибки

Iспособ
IIспособ
I способ
II способ

1
1990
20933
29 795
20 933
2,34
0,00

2
1991
22469
28 909
20 933
28,66
6,84

3
1992
28 439
28 265
21 087
0,61
25,85

4
1993
28383
28 282
21 822
0,35
23,12

5
1994
31244
28 293
22 478
9,45
28,06

6
1995
30033
28 588
23 355
4,81
22,24

7
1996
28570
28 732
24 022
0,57
15,92

8
1997
28210
28 716
24 477
1,79
13,23

9
1998
28439
28 665
24 850
0,80
12,62

10
1999
30368
28 643
25 209
5,68
16,99

11
2000
31755
28 815
25 725
9,26
18,99

12
2001
32293
29 109
26 328
9,86
18,47

13
2002
33031
29 428
26 925
10,91
18,49

14
2003
32991
29 788
27 535
9,71
16,54

15
2004
32321
30 108
28 081
6,85
13,12

16
2005
33145
30 330
28 505
8,49
14,00

17
2006
31583
30 611
28 969
3,08
8,28

18
2007
31000
30 708
29 230
0,94
5,71

19
2008
30904
30 737
29 407
0,54
4,84

прогноз
2009

30 754
29 557

итого

566 111

154,69
283,29

Средняя относительная ошибка ɛ
8,14
14,91

Средняя абсолютная ошибка Δ
64
1241

Средняя квадратическая ошибка
2 571
2 965

Расчет прогнозного значения абсолютного показателя прибывших в Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

года
Число прибывших, человек
Экспоненциально взвешенная средняя Ut
Расчет средней относительной ошибки

Iспособ
IIспособ
I способ
II способ

1
1993
73131
44 051
73 131
39,76
0,00

2
1994
76108
47 282
73 131
37,88
3,91

3
1995
70242
50 485
73 462
28,13
4,58

4
1996
58336
52 680
73 104
9,70
25,32

5
1997
57721
53 309
71 463
7,64
23,81

6
1998
51438
53 799
69 936
4,59
35,96

7
1999
48267
53 537
67 881
10,92
40,64

8
2000
43484
52 951
65 702
21,77
51,09

9
2001
32864
51 899
63 233
57,92
92,41

10
2002
29228
49 784
59 859
70,33
104,80

11
2003
29740
47 500
56 455
59,72
89,83

12
2004
29701
45 527
53 487
53,28
80,08

13
2005
33322
43 768
50 844
31,35
52,58

14
2006
29712
42 608
48 897
43,40
64,57

15
2007
31949
41 175
46 765
28,88
46,38

16
2008
25570
40 150
45 119
57,02
76,45

17
2009
28053
38 530
42 947
37,35
53,09

прогноз
2010

37 366
41 292

итого

748866

599,6
845,51

Средняя относительная ошибка ɛ
35,27
49,74

Средняя абсолютная ошибка Δ
-3 539
-16 856

Средняя квадратическая ошибка
15 857
19 228

Расчет прогнозного значения абсолютного показателя выбывших в Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

года
Число выбывших, человек
Экспоненциально взвешенная средняя Ut
Расчет средней относительной ошибки

Iспособ
IIспособ
I способ
II способ

1
1993
53931
40 221
53 931
25,42
0,00

2
1994
51900
41 744
53 931
19,57
3,91

3
1995
56419
42 872
53 705
24,01
4,81

4
1996
52047
44 378
54 007
14,74
3,77

5
1997
47152
45 230
53 789
4,08
14,08

6
1998
44293
45 443
53 052
2,60
19,77

7
1999
43678
45 316
52 078
3,75
19,23

8
2000
39703
45 134
51 145
13,68
28,82

9
2001
35725
44 530
49 874
24,65
39,60

10
2002
33317
43 552
48 302
30,72
44,98

11
2003
34506
42 415
46 637
22,92
35,16

12
2004
34032
41 536
45 289
22,05
33,08

13
2005
35194
40 702
44 038
15,65
25,13

14
2006
33940
40 090
43 055
18,12
26,86

15
2007
33225
39 407
42 043
18,61
26,54

16
2008
29085
38 720
41 063
33,13
41,18

17
2009
25603
37 649
39 732
47,05
55,18

прогноз
2010

36 311
38 162

итого

683750

340,73
422,10

Средняя относительная ошибка ɛ
20,04
24,83

Средняя абсолютная ошибка Δ
-2070
-8348

Средняя квадратическая ошибка
8458
9757

Приложение 3
Расчет параметров параболического тренда для абсолютного показателя численности населения в Оренбургской области.

годы
Численность населения, человек
Условное обозначение времени t

Тренд

1990
2 151 097
-9,5
-20 435 422
194 136 504
2 150 906

1991
2 159 743
-8,5
-18 357 816
156 041 432
2 165 143

1992
2 168 257
-7,5
-16 261 928
121 964 456
2 177 454

1993
2 182 602
-6,5
-14 186 913
92 214 935
2 187 841

1994
2 196 785
-5,5
-12 082 318
66 452 746
2 196 303

1995
2 213 038
-4,5
-9 958 671
44 814 020
2 202 840

1996
2 218 052
-3,5
-7 763 182
27 171 137
2 207 452

1997
2 215 936
-2,5
-5 539 840
13 849 600
2 210 139

1998
2 218 082
-1,5
-3 327 123
4 990 685
2 210 901

1999
2 217 558
-0,5
-1 108 779
554 390
2 209 738

2000
2 211 204
0,5
1 105 602
552 801
2 206 651

2001
2 203 616
1,5
3 305 424
4 958 136
2 201 638

2002
2 189 876
2,5
5 474 690
13 686 725
2 194 701

2003
2 176 000
3,5
7 616 000
26 656 000
2 185 839

2004
2 162 545
4,5
9 731 453
43 791 536
2 175 052

2005
2 150 407
5,5
11 827 239
65 049 812
2 162 340

2006
2 137 850
6,5
13 896 025
90 324 163
2 147 703

2007
2 125 503
7,5
15 941 273
119 559 544
2 131 141

2008
2 119 003
8,5
18 011 526
153 097 967
2 112 655

2009
2 111 531
9,5
20 059 545
190 565 673
2 092 243

Итого
43 528 685
0
-2 053 216
1 430 432 259
2 150 906

Три частные производные функции приравниваются к нулю, и после преобразований получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными

(11)
(12)
(13)
При переносе начала отсчета периодов (моментов) времени в середину ряда суммы нечетных степеней номеров этих периодов и обращаются в нуль. При этом второе уравнение обращается в уравнение с одним неизвестным, откуда
Уравнения (11) и (13) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными
(14)
(15)

Где ;
По данным таблицы вычисляем параметры

Расчет прогнозных значений показателя численности населения в Оренбургской области, величин средней относительной ошибки ɛ, среднего квадратического отклонения уровней ряда от тренда S(t).

годы
Числен-ность населения, человек
Условное обозна- чение времени t

Тренд
Расчет средней относительной ошибки

1990
2 151 097
-9,5
90,25
8 145,06
2 150 906
0,01
36 313,11

1991
2 159 743
-8,5
72,25
5 220,06
2 165 143
0,25
29 158 033,30

1992
2 168 257
-7,5
56,25
3 164,06
2 177 454
0,42
84 590 617,73

1993
2 182 602
-6,5
42,25
1 785,06
2 187 841
0,24
27 446 426,15

1994
2 196 785
-5,5
30,25
915,06
2 196 303
0,02
232 640,71

1995
2 213 038
-4,5
20,25
410,06
2 202 840
0,46
104 008 801,08

1996
2 218 052
-3,5
12,25
150,06
2 207 452
0,48
112 370 444,03

1997
2 215 936
-2,5
6,25
39,06
2 210 139
0,26
33 609 785,73

1998
2 218 082
-1,5
2,25
5,06
2 210 901
0,32
51 569 300,84

1999
2 217 558
-0,5
0,25
0,06
2 209 738
0,35
61 149 881,16

2000
2 211 204
0,5
0,25
0,06
2 206 651
0,21
20 733 279,01

2001
2 203 616
1,5
2,25
5,06
2 201 638
0,09
3 911 705,33

2002
2 189 876
2,5
6,25
39,06
2 194 701
0,22
23 279 609,22

2003
2 176 000
3,5
12,25
150,06
2 185 839
0,45
96 800 266,25

2004
2 162 545
4,5
20,25
410,06
2 175 052
0,58
156 416 307,39

2005
2 150 407
5,5
30,25
915,06
2 162 340
0,55
142 389 530,26

2006
2 137 850
6,5
42,25
1 785,06
2 147 703
0,46
97 079 368,75

2007
2 125 503
7,5
56,25
3 164,06
2 131 141
0,27
31 789 121,19

2008
2 119 003
8,5
72,25
5 220,06
2 112 655
0,30
40 302 155,83

2009
2 111 531
9,5
90,25
8 145,06
2 092 243
0,91
372 021 543,38

Итого
43 528 685
0
665
39 667
2 150 906
0,34
1 488 895 130

Ср.зн.
2 176 434

33,25
1 983,36

Для показателя числа родившихся функцией тренда лучше всего аппроксимирующей временной ряд также является парабола II порядка

Рис. 3. Динамика числа родившихся в Оренбургской области с полиномиальной линией тренда.
Расчет параметров параболического тренда для абсолютного показателя числа родившихся в Оренбургской области.
;

Уравнение регрессии
, где =0 в 1999г.
Среднее квадратическое отклонение

Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки параметра с
=46,27

Фактическая величина t-критерия больше табличного , следовательно, вероятность нулевой гипотезы (о равенстве параметра с нулю) чрезвычайно мала. Достоверно известно, что тренд существовал, и что численность числа родившихся в Оренбургской области снижалась не случайно.
Средняя ошибка прогноза положения параболического тренда на период с номером
=949
=1 156
=1 390
Средняя ошибка прогноза
== 1 558
== 1 693
== 1 860
Вероятная ошибка прогноза

Прогнозные значения
=29 253
Доверительный интервал (25 949; 32 557)
=31 220
Доверительный интервал (27 630; 34 809)
=33 395
Доверительный интервал (29 452; 37 338)
Как видно по полученным данным, при сохранении имеющейся тенденции, число родившихся продолжит расти и вероятно в 2011 году превысит максимальный уровень в наблюдаемом периоде (1990г.)
Средняя относительная ошибка
прогноз обладает высокой точностью.

годы
Число родив-шихся, человек
Условное обозначение времени t

Тренд
Расчет средней относительной ошибки

1990
33 311
-9
81
6561
-299799
2698191
31 474,74
5,51
3 371 862,39

1991
30 177
-8
64
4096
-241416
1931328
29 482,33
2,30
482 561,78

1992
27 494
-7
49
2401
-192458
1347206
27 698,31
0,74
41 744,52

1993
24 148
-6
36
1296
-144888
869328
26 122,68
8,18
3 899 365,50

1994
24 458
-5
25
625
-122290
611450
24 755,43
1,22
88 466,04

1995
22 833
-4
16
256
-91332
365328
23 596,57
3,34
583 037,05

1996
21 449
-3
9
81
-64347
193041
22 646,09
5,58
1 433 023,95

1997
20 890
-2
4
16
-41780
83560
21 904,00
4,85
1 028 187,63

1998
21 951
-1
1
1
-21951
21951
21 370,29
2,65
337 227,71

1999
20 154
0
0
0
0
0
21 044,96
4,42
793 814,80

2000
21 475
1
1
1
21475
21475
20 928,02
2,55
299 183,03

2001
21 861
2
4
16
43722
87444
21 019,47
3,85
708 173,49

2002
23 500
3
9
81
70500
211500
21 319,30
9,28
4 755 451,14

2003
23 442
4
16
256
93768
375072
21 827,52
6,89
2 606 558,60

2004
23 583
5
25
625
117915
589575
22 544,12
4,41
1 079 278,69

2005
22 460
6
36
1296
134760
808560
23 469,10
4,49
1 018 287,18

2006
23 335
7
49
2401
163345
1143415
24 602,47
5,43
1 606 486,92

2007
25 776
8
64
4096
206208
1649664
25 944,23
0,65
28 300,68

2008
26 947
9
81
6561
242523
2182707
27 494,37
2,03
299 612,19

Итого
459 244
0
570
30 666
-126 045
15 190 795
459 244,00
78,37
24 460 623

Ср. Знач.

30
1614

Расчет параметров параболического тренда для абсолютного показателя числа умерших в Оренбургской области.

Рис. 4. Динамика числа умерших в Оренбургской области с полиномиальной линией тренда.
;

Уравнение регрессии
, где =0 в 1999г.

Среднее квадратическое отклонение

Средняя ошибка прогноза положения параболического тренда на период с номером
=1 187
=1 447
=1 739
Средняя ошибка прогноза
== 1 950
== 2 118
== 2 327

Вероятная ошибка прогноза

Прогнозные значения
=30 190
Доверительный интервал (26 057; 34 324)
=29 392
Доверительный интервал (25 258; 33 525)
=28 470
Доверительный интервал (24 336; 32 604)
При сохранении имеющейся тенденции, число умерших будет снижаться.
Средняя относительная ошибка

прогноз обладает высокой точностью.

годы
Число умерших, человек
Условное обозначение времени t

Тренд
Расчет средней относительной ошибки

1990
20 933
-9
81
6561
-188397
1695573
-332 202
5,08
1 130 605,29

1991
22 469
-8
64
4096
-179752
1438016
-188 971
4,74
1 135 606,98

1992
24 120
-7
49
2401
-168840
1181880
-92 113
3,44
688 882,23

1993
28 383
-6
36
1296
-170298
1021788
-30 557
7,54
4 582 505,41

1994
31 244
-5
25
625
-156220
781100
5 292
12,27
14 686 948,28

1995
30 033
-4
16
256
-120132
480528
23 552
5,24
2 480 753,73

1996
28 570
-3
9
81
-85710
257130
30 866
2,84
658 150,93

1997
28 210
-2
4
16
-56420
112840
32 400
6,99
3 887 057,51

1998
28 439
-1
1
1
-28439
28439
31 844
8,51
5 855 677,34

1999
30 368
0
0
0
0
0
31 413
3,44
1 092 297,71

2000
31 755
1
1
1
31755
31755
31 844
0,28
7 992,64

2001
32 293
2
4
16
64586
129172
32 400
0,43
19 694,21

2002
33 031
3
9
81
99093
297279
30 866
2,10
480 363,15

2003
32 991
4
16
256
131964
527856
23 552
1,79
349 088,78

2004
32 321
5
25
625
161605
808025
5 292
0,06
338,52

2005
33 145
6
36
1296
198870
1193220
-30 557
2,98
978 859,85

2006
31 583
7
49
2401
221081
1547567
-92 113
0,84
70 673,80

2007
31 000
8
64
4096
248000
1984000
-188 971
1,35
175 607,63

2008
30 904
9
81
6561
278136
2503224
-332 202
0,12
1 424,52

Итого
561 792
0
570
30 666
280 882
16 019 392
-1 008 361
70
38 282 528

Ср. Знач.

30
1614

Расчет параметров параболического тренда для абсолютного показателя числа прибывших в Оренбургской области.

Рис. 5. Динамика числа прибывших в Оренбургской области с полиномиальной линией тренда.
;

Уравнение регрессии
, где =0 в 2001г.

Среднее квадратическое отклонение

Средняя ошибка прогноза положения параболического тренда на период с номером
=3 171
= 3 949
=4830
Средняя ошибка прогноза
==4 992
== 5519
== 6 180
Вероятная ошибка прогноза

Прогнозные значения
=29 586
Доверительный интервал (18 878; 40 294)
=31 144
Доверительный интервал (19 306; 42 982)
=33 202
Доверительный интервал (19 946; 46 457)
Средняя относительная ошибка
прогноз обладает высокой точностью.

годы
Число прибывших, человек
Условное обозначение времени t

Тренд
Расчет средней относительной ошибки

1993
73131
-8
64
4096
-585048
4680384
79 563
8,80
41 370 292,11

1994
76108
-7
49
2401
-532756
3729292
72 625
4,58
12 129 198,93

1995
70242
-6
36
1296
-421452
2528712
66 187
5,77
16 440 106,28

1996
58336
-5
25
625
-291680
1458400
60 249
3,28
3 660 157,34

1997
57721
-4
16
256
-230884
923536
54 811
5,04
8 469 953,01

1998
51438
-3
9
81
-154314
462942
49 872
3,04
2 452 532,97

1999
48267
-2
4
16
-96534
193068
45 433
5,87
8 031 899,65

2000
43484
-1
1
1
-43484
43484
41 494
4,58
3 961 416,51

2001
32864
0
0
0
0
0
38 054
15,79
26 937 481,88

2002
29228
1
1
1
29228
29228
35 114
20,14
34 648 892,78

2003
29740
2
4
16
59480
118960
32 674
9,87
8 609 898,77

2004
29701
3
9
81
89103
267309
30 734
3,48
1 066 941,89

2005
33322
4
16
256
133288
533152
29 293
12,09
16 230 192,53

2006
29712
5
25
625
148560
742800
28 352
4,58
1 848 341,97

2007
31949
6
36
1296
191694
1150164
27 911
12,64
16 302 775,03

2008
25570
7
49
2401
178990
1252930
27 970
9,39
5 759 675,55

2009
28053
8
64
4096
224424
1795392
28 528
1,69
225 879,97

Итого
561 792
0
408
17 544
-1 301 385
19 909 753
748 866
131
208 145 637

Ср. зн.

24
1032

Расчет параметров линейного тренда для абсолютного показателя числа выбывших в Оренбургской области.

Рис. 6. Динамика числа выбывших в Оренбургской области с линейной линией тренда.
Уравнение имеет вид ,
Где — уровень тренда для периода или момента с номером ;
а — свободный член уравнения, равный среднего уровню тренда для периода (момента) с нулевым номером ;
b – главный параметр линейного тренда, его константа, среднее абсолютное изменение за принятую в ряду единицу времени.
Уравнения метода наименьших квадратов

Откуда а = 40 220, b = -1 763
, t=0 в 2001году

годы
Число выбывших, человек
Условное обозначение времени t
t2

Тренд
Расчет средней относительной ошибки

1993
53931
-8
64
-431448
56 563
4,88

1994
51900
-7
49
-363300
53 961
3,97

1995
56419
-6
36
-338514
51 471
8,77

1996
52047
-5
25
-260235
49 092
5,68

1997
47152
-4
16
-188608
46 826
0,69

1998
44293
-3
9
-132879
44 671
0,85

1999
43678
-2
4
-87356
42 628
2,40

2000
39703
-1
1
-39703
40 698
2,51

2001
35725
0
0
0
38 878
8,83

2002
33317
1
1
33317
37 171
11,57

2003
34506
2
4
69012
35 576
3,10

2004
34032
3
9
102096
34 092
0,18

2005
35194
4
16
140776
32 721
7,03

2006
33940
5
25
169700
31 461
7,30

2007
33225
6
36
199350
30 313
8,76

2008
29085
7
49
203595
29 276
0,66

2009
25603
8
64
204824
28 352
10,74

Итого
683 750
0
408
-719 373
683 750
88

Средняя ошибка прогноза положения о тренда на период с номером от середины базы расчета тренда имеет вид

Средняя ошибка прогноза

Вероятная ошибка прогноза

Прогнозные значения
=24 352 (17 166; 31 537)
=22 589 (15 275; 29 902)
= 20 826 (13 383; 28 267).
Средняя относительная ошибка

прогноз обладает высокой точностью.

«