Затухание ЭМВ при распространении в средах с конечной проводимостью

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Харьковский национальный университет

им. В.Н. Каразина

Радиофизический факультет

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

 

«Затухание ЭМВ  при распространении в средах с конечной проводимостью»


Руководитель:

Колчигин Н.Н.

Студент группы РР-32

Бойко Ю.В.

Харьков 2004

Содержание

 

Введение. 4

Основная часть. 5

1. Вывод уравнений для плоских волн. 5

2. Связь характеристик распространения с параметрами среды.. 9

3. Вычисление затухания в данной среде. 14

Список использованной литературы.. 15


ЗАДАНИЕ

1.Изучить общие сведения и формулы.

2.Построить зависимость электрической компоненты поля от глубины проникновения.

3.Вычислить затухание на глубине Н=0,5 м, l=10 м, в пресной воде (e=80, s=10-3 См/м)


Введение

Распространение электромагнитных волн широко рассматривается в литературе, но в ней большое внимание уделяется распространению волн в диспергирующих средах и законам геометрической оптики. В данной работе рассматривается связь   характеристик распространения с параметрами среды и затухание элекромагнитных волн в средах с конечной проводимостью
Основная часть

1. Вывод уравнений для плоских волн

Рассмотрим    электромагнитный    волновой    процесс,    векторы  и    которого могут быть представлены в виде

          =(x,t),             =(x,t)                                                  (1.1)                   

Рис.  1.1.   Направление  распространения плоской волны

Здесь (рис.   1.1.)     есть  расстояние   от   начала    координатной системы до плоскости


а  является постоянным  единичным  вектором. Так  как  производные по координатам будут равны   и т. д., то

                                           (1.2)

    (1.3)

Следовательно, для плоской волны уравнения Максвелла принимают вид

      

                                          (1.4)

,                   

Последние два уравнения означают независимость проекций  и  на направление распространения от координаты x, т. е. Ex =const и Hx=const в данный момент времени. Исследуем их по­ведение во времени. Для этого второе уравнение  (1.4)    умножим скалярно на :

Так как

то

и

или , т.е.  dHx = 0, Hx = const.   Для  исследования поведения Ex умножим скалярно  первое  из уравнений  (1.4)   на :

Так  как , получаем

Прибавим к этому равенству

Следовательно, при конечной s компонента Ex экспоненциально убывает со временем, т. е. статическое электрическое поле не может поддерживаться внутри проводника.

Найдем уравнения для  и отдельно. Для этого продиффе­ренцируем по t первое из уравнений (1.4)

Найдем  из второго   из   уравнений   (1.4),   продифференцировав его по x:

Получаем

откуда

, так как

Отсюда следует

                                   (1.6)

Аналогично

                                           (1.7)

Эти уравнения   можно   решить   методом   разделения   переменных, идем решение для комплексной амплитуды Е поля , Положив

E=f1(x)f2(x)

Получаем

               (1.8)

Общее решение для f1 будет

Частное решение для f2 возьмем в виде

Таким образом, решением  для  будет выражение

Решая уравнение (1.7), получим аналогичное решение для

Подставив эти значения во второе из уравнений (1.4), получим

откуда

Так как x в этом равенстве может принимать   любые   значения,    коэффициенты при экспонентах должны равняться нулю:

Поэтому

                                (1.9)

Отсюда следует  ()=0 (так как ([])=0), т. е. векторы  и ортогональны  к  направлению  и друг к другу.

2. Связь характеристик распространения с параметрами среды

Установим связь между р и k. Из (1.8) получим

                                      (2.1)

Если задана периодичность в пространстве, т. е. k,   то р   можно найти из уравнения (2.1)

Тогда

где

Распространение возможно, если q действительно. Волновой про­цесс, в котором поверхности равных амплитуд и поверхности рав­ных фаз являются плоскостями, называется плоской волной. Про­стейшим случаем плоской волны является плоская однородная волна. В плоской однородной волне плоскости равных амплитуд совпадают с плоскостями равных фаз. Фазовая скорость такой волны будет равна

Если , то q — мнимое, и распространения нет: существует

пространственная периодичность по x и монотонное затухание. На­чальная форма волны не смещается вдоль оси x, волновое явление вырождается в диффузию.

Частный случай временной зависимости р = iw. Тогда

                                      (2.2)

Таким образом, при  волновое число k комплексно. Обозначим k=a+ib, где a — фазовая константа, b — коэффициент затухания. Тогда

                                       (2.3)

Следовательно, при р=iw имеет место волновой процесс с зату­ханием, если .

Исследуем фазовую скорость волны в среде с конечными e и s. Поскольку волновое число комплексно: k=a+ib, имеем

(2 считаем равным нулю).

В общем случае 1 также комплексно: ,

где a, b, , q — действительные числа. Отсюда получаем  выражение фазовой скорости

Действительно,   так как  представляет   скорость,   с   которой движется плоскость постоянной фазы

=const

то

откуда

Для определения   степени затухания  и  фазовой скорости  нужно вычислить a и b. Из уравнений (2.3) получаем

Введем обозначение

   

    

 тогда

или

Здесь   нужно   оставить знак   +,  так как a — действительное число

      (2.4)

Аналогично получим для b

                              (2.5)

Отсюда находим фазовую скорость

                      (2.6)

Зависимость фазовой скорости от частоты сложная: если e, m, s не зависят от частоты, то с увеличением w фазовая скорость увеличи­вается, т. е. в сложной волне гармоники убегают вперед.

Рассмотрим зависимость  поглощения b, определяемого равенством (2.5), от электрических характеристик среды. Член  представ­ляет отношение , так как . Следовательно,

Но , поэтому при tgd<<1

Ограничившись двумя членами разложения, получим

                                              (2.7)

Следовательно, по поглощению волны можно определить tgd:

        

при (единица длины) получаем

Измеряется b в неперах

или в децибелах

где P — мощность.

В случае малых   tgd   зависимость  b  от   частоты   пренебрежимо мала, так как

В случае tgd>> 1 формулы (2.4), (2.5) можно упростить и привес­ти к виду

Фазовая скорость

3. Вычисление затухания в данной среде

Электромагнитная волна l=10м проникает в воду пресного водоема (e=80, s=10-3См/м) на глубину 0,5м.

,      tgd<<1

 1/м

, на глубине 0,5 м


 Список использованной литературы

 

1.   Семенов А.А. Теория электромагнитных волн.-М.: Изд-во МГУ,1968.

2.   Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны.-М.:Сов.Радио, 1957.

3.   Баскаков С.И. Электродинамика и распространение волн.-М.: Высш.шк., 1992.

4.   Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах.-М.: Наука ,1973.

5.   Тамм И.Е. Основы теории электричества.-М.: Наука, 1989.