Моделирование дискретной случайной величины и исследование ее параметров

ИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра РЭС (РТС)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По курсу «Методы проектирования и оптимизации РЭA»

Вариант №7

Выполнил ст.гр. РТз – 98 – 1 Чернов В.В. Шифр 8209127
Проверил Карташов В. И. ____________________

Харьков 2003
Задание 1. Выполнить моделирование на ЭВМ базовой случайной величины (БСВ) Х. Получить выборки реализаций БСВ объемом n = 170, 1700. Для каждого случая найти минимальное и максимальное значения, оценить математическое ожидание и дисперсию. Сравнить полученные числовые характеристики с теоретическими значениями.
Решение
Базовой называют случайную величину, равномерно распределенную на интервале (0,1). Моделирование производится при помощи функции rnd(m) пакета MathCad 2000, возвращающей значение случайной величины, равномерно распределенной в интервале 0xm.
а) для выборки объемом 170 (рис. 1.1) Xmin = 0.0078, Xmax = 0.996.
Первый начальный момент (математическое ожидание) равен среднему арифметическому значений выборки
МХ = 0.502 , (1.1)
второй центральный момент (дисперсия)
D = 0.086 , (1.2)
среднеквадратичное отклонение
s = 0.293 . (1.3)

Рисунок 1.1 Выборка объемом 170.
Для выборки объемом 1700 (рис. 1.2) Xmin = 0.0037, Xmax = 0.998,
МХ = 0.505 , (1.4)
D = 0.085 , (1.5)

s = 0.292 . (1.6)

Рисунок 1.2 Выборка объемом 1700.
Теоретически значения математического ожидания и дисперсии БСВ рассчиты-ваются из определения плотности распределения вероятности
pравн(x) = , (1.7)
математическое ожидание
Mx = 0.5 , (1.8)
дисперсия
Dx =
=0.083 , (1.9)
что хорошо совпадает с результатами моделирования (1.1) – (1.5).
Задание 2. Получить выборку реализаций БСВ объемом n = 1700. Построить гистограмму распределений и сравнить ее с плотностью распределения равномерно распределенной случайной величины.
Решение
а) выборка получается аналогично Заданию 1(рис. 2.1)

Рисунок 2.1 Выборка объемом 1700
Приняв Xmin = 0, Xmax = 1, разбиваем интервал на q = 10 равных промежутков, каждый из которых равен
DX = . (2.1)
Количества выборок, попадающих в каждый из интервалов, частоты попадания, оценки плотности сведены в табл. 2.1. Гистограмма распределений представлена на рис. 2.2. Как видно, она достаточно хорошо совпадает с равномерным законом распределения (1.7).
Таблица 2.1 Результаты оценки плотности распределения

Номеринтер-вала
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Диапа-зон значе-ний
0-0.1
0.1-0.2
0.2-0.3
0.3-0.4
0.4-0.5
0.5-0.6
0.6-0.7
0.7-0.8
0.8-0.9
0.9-1

Коли-чество попа-даний
151
174
149
189
190
161
166
182
177
161

Часто-та по-пада-ния Pi
0.089
0.102
0.088
0.111
0.112
0.095
0.098
0.107
0.104
0.095

Оцен-ка плот-ности pi
0.888
1.024
0.876
1.112
1.118
0.947
0.976
1.071
1.041
0.947

Рисунок 2.2 Гистограмма распределений
Задание 3. Получить выборку БСВ объемом n = 1700, По этой выборке проверить свойства независимости полученной случайной последовательности (вычислить 10 значений коэффициента корреляции).
Решение
а) снова получим выборку значений БСВ объемом n = 1700 (рис. 3.1)

Рисунок 3.1 Выборка объемом 1700
б) значения математического ожидания и дисперсии
M = 0.512 , (3.1)
D = 0.088 . (3.2)
в) функция корреляции
R(j) = , (3.3)
значения R(j) для j = 1…10 приведены в табл. 3.1 , значение R(0) = 0.088 совпадает с дисперсией.
Таблица 3.1 Значения функции корреляции

j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

R(j)
-9.6·10-4
3.53­·10-3
2.7·10-4
4.24·10-3
-1.73·10-3
6.61·10-4
4.11·10-4
6.74·10-5
3.95·10-4
1.12·10-3

Задание 4. Выполнить моделирование случайной величины, распределенной по закону Релея. Объем выборки n = 17, s2 = 27.
Решение
Ддя получения случайной величины с заданным законом распределения из БСВ применим метод обратной функции
а) для распределения Релея
p(x) = (4.1)
случайная величина
x = F(x) = (4.2)
равномерно распределена в интервале 0…1, и может быть задана с помощью БСВ. Решив уравнение (4.2) относительно x, получаем случайную величину, распределенную по закону (4.1)
xi = ,
xi = , (4.3)
где xi – значения выборки БСВ
Результат моделирования случайной величины xi представлен на рис. 4.1

Рисунок 4.1 Выборка случайной величины, распределенной по закону Релея
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М. Физматгиз, 1962. – 246 с.
2. Тихонов В. И. и др. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. М. – Сов. радио, 1970. – 600 стр.
3. Трохименко Я.К., Любич Ф.Д. Радиотехнические расчеты на ПК Справочник. М. – Радио и связь, 1988. – 304 с.