Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел
IX математический симпозиум.
Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел.
г. Волжский.
05-11 октября 2008 года.
Белотелов В.А.
Нижегородская обл.
г. Заволжье
vbelotelov@mail. ru
Простые числа? – Это просто!?
Узнав о важной роли простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании и о том, что нужна закономерность распределения ПЧ в ряду натуральных чисел, не являясь математиком, всё же рискнул заняться решением этой задачи. Результат ниже.
Для начала выписал ряд ПЧ. Конечно же, это было сделано с целью заметить, хоть какую бы, закономерность. С этой же целью были вычислены разности между соседними числами ряда ПЧ. Было замечено, что иногда появлялась последовательность разностей 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, где эта последовательность нарушалась, были введены составныё числа (СЧ). Результат представлен в таблице 1, СЧ в которой подчёркнуты. Числа 2, 3, 5, являясь ПЧ, из рассмотрения всё же были убраны. Это первое исключение из правил. Вторая вольность заключалась введением в рассмотрение числа 1, зная, что единица не является простым числом.
Целью же было найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом уже найти закономерность среди ПЧ. Стратегия поиска закономерности ПЧ заключалась в следующей логической формуле
(закономерность ПЧ+СЧ) – (закономерность СЧ) = закономерность ПЧ.
Из ПЧ + СЧ, представленных в таблице 1, была составлена система из восьми арифметических прогрессий. Результат представлен в таблице 2.
Разности всех восьми прогрессий равны 30 и их первые члены равны соответственно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а сами ряды обозначены через R1, R7,R11, R13, R17, R19, R23, R29. СЧ, как и в таблице 1, подчёркнуты и сверху расписаны в виде произведений двух чисел. Можно сформулировать правило, по которому в любой из восьми арифметических прогрессий распределены СЧ.
Если в арифметической прогрессии, какой – либо член an можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии an+mf являются произведением fx(p+md), а члены an+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные
числа, а d – разность этой прогрессии.
Данное правило не нуждается в доказательстве, т. к. фактически следует из определения арифметической прогрессии. Но для обеспечения закономерности ПЧ имеет большое значение. Во — первых, оно запрещает поиск рядов ПЧ, подчиняющихся одной арифметической прогрессии, т. к. любое простое число an можно представить в виде anх1, и тогда в любом ряде через число членов an, появляется составное число anх(1+d).
Во – вторых, в любой арифметической прогрессии появление дополнительных составных чисел возможно только в сочетании с разностью именно этой прогрессии.
Это правило можно сформулировать для любого числа сомножителей, но в данном случае интерес представляет число сомножителей равное двум.
В качестве примера рассмотрим в ряде R1 четвёртый член равный 91=7х13. Ближайшим членом в ряде R1 кратным семи является число 301, отстоящее от числа 91 на семь номеров, соответственно, число 301 принадлежит ряду СЧ. Число 301 является произведением 7х43 (301=7х43), и с номера этого числа равного 11, каждое сорок третье число, тоже делится на 43 и, соответственно, принадлежит к ряду СЧ. Дальше это можно не описывать, т. к. это хорошо видно в таблице 2.
Расписав таблицу 2 в виде математических символов, удалось получить систему из восьми формул, расписанных в виде разности сумм, см. таблицу 3. Во всех восьми формулах системы, члены с рядами двойных сумм служат фильтрами, удаляющими СЧ из ряда ПЧ+СЧ, и задают работу фильтров в виде матриц.
В таблице 4 изображено распределение номеров СЧ в ряде R1, определяемых вторым членом формулы. Это матрица, в которой и по столбцам и по строкам арифметические прогрессии.
В формулах индексы и обозначают столбцы и строки подобных матриц, сами же и дополнительными индексами не отягощаю. Без и описать работу матриц не смог, а формальная фраза, что в выражениипод суммой произведений подразумеваются всевозможные их комбинации в зависимости от значений a1 и с1, будет неверна. Ибо все члены с номерами при >1 и >1 из формулы выпадают.
Система формул арифметических прогрессий, позволяющая вычислять ПЧ, получилась достаточно громоздкой, но закономерность обозначена.
Данная статья была подготовлена для публикации в научном журнале с математическим уклоном. Пока шёл поиск данного журнала, путём несложных умозаключений, была составлена система рядов арифметических прогрессий с разностью 10. Результат в таблице 5 и 6. Всё было расписано по образцу и подобию предыдущего материала. В таблице 7 изображена матрица для номеров второго члена формулы 1 таблицы 6.
Не начав переписывать статью заново, в связи с открытием новой системы уравнений, опять же путём размышлений, были расписаны арифметические прогрессии с разностью 2 и 1, т.е. при разности единица ПЧ были напрямую увязаны с натуральным рядом. Результат в таблице 8 и 9.
Всё расписано, как и в случаях с системами уравнений арифметических прогрессий разностей 30 и 10. И после этого наступил момент истины.
Оказалось, что подобных уравнений можно составить бесконечное множество. Навскидку – это арифметические прогрессии с разностью 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, и т.д. Даже в перечисленном до разности 60 указаны не все.
Обобщающий вывод
ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающий ряды ПЧ+СЧ.
1
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
49
53
59
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
61
67
71
73
77
79
83
89
91
97
101
103
107
109
113
119
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
121
127
131
133
137
139
143
149
151
157
161
163
167
169
173
179
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
181
187
191
193
197
199
203
209
211
217
221
223
227
229
233
239
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
241
247
251
253
257
259
263
269
271
277
281
283
287
289
293
299
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
301
307
311
313
317
319
323
329
331
337
341
343
347
349
353
359
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
361
367
371
373
377
379
383
389
391
397
401
403
407
409
413
419
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
421
427
431
433
437
439
443
449
451
457
461
463
467
469
473
479
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
481
487
491
493
497
499
503
509
511
517
521
523
527
529
533
539
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
541
547
551
553
557
559
563
569
571
577
581
583
587
589
593
599
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
601
607
611
613
617
619
623
629
631
637
641
643
647
649
653
659
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
661
667
671
673
677
679
683
689
691
697
701
703
707
709
713
719
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
721
727
731
733
737
739
743
749
751
757
761
763
767
769
773
779
6
4
2
4
2
4
6
2
6
4
2
4
2
4
6
2
7х13
11х11
7х43
19х19
17х23
11х41
13х37
7х73
1
31
61
91
121
151
181
211
241
271
301
331
361
391
421
451
481
511
541
571
11х17
7х31
13х19
7х61
11х47
7
37
67
97
127
157
187
217
247
277
307
337
367
397
427
457
487
517
547
577
7х23
13х17
11х31
7х53
19х29
7х83
11
41
71
101
131
161
191
221
251
281
311
341
371
401
431
461
491
521
551
581
7х19
11х23
7х49
13х31
17х29
7х79
11х53
13
43
73
103
133
163
193
223
253
283
313
343
373
403
433
463
493
523
553
583
7х11
7х41
13х29
11х37
19х23
7х71
17х31
17
47
77
107
137
167
197
227
257
287
317
347
377
407
437
467
497
527
557
587
7х7
13х13
7х37
17х17
11х29
7х67
23х23
13х43
19х31
19
49
79
109
139
169
199
229
259
289
319
349
379
409
439
469
499
529
559
589
11х13
7х29
17х19
7х59
11х43
13х41
23
53
83
113
143
173
203
233
263
293
323
353
383
413
443
473
503
533
563
593
7х17
11х19
13х23
7х47
11х49 7х77
29
59
89
119
149
179
209
239
269
299
329
359
389
419
449
479
509
539
569
599
7х103
11х71
29х29
13х67
17х53
19х49 7х133
31х31
23х47
11х101
7х163
601
631
661
691
721
751
781
811
841
871
901
931
961
991
1021
1051
1081
1111
1141
1171
13х49 7х91
23х29
17х41
19х43
11х77 7х121
13х79
7х151
31х37
11х107
607
637
667
697
727
757
787
817
847
877
907
937
967
997
1027
1057
1087
1117
1147
1177
13х47
11х61
17х43
7х113
23х37
13х77 11х91 7х143
19х59
611
641
671
701
731
761
791
821
851
881
911
941
971
1001
1031
1061
1091
1121
1151
1181
19х37
7х109
13х61
11х83
23х41
7х139
17х59
13х91 7х169
613
643
673
703
733
763
793
823
853
883
913
943
973
1003
1033
1063
1093
1123
1153
1183
7х101
11х67
13х59
7х131
19х53
17х61
11х97
23х49 7х161
13х89
617
647
677
707
737
767
797
827
857
887
917
947
977
1007
1037
1067
1097
1127
1157
1187
11х59
7х97
17х47
7х127
13х73
11х89
7х157
19х61
29х41
619
649
679
709
739
769
799
829
859
889
919
949
979
1009
1039
1069
1099
1129
1159
1189
7х89
23х31
11х73
17х49 7х119
19х47
13х71
7х149
29х37
11х103
623
653
683
713
743
773
803
833
863
893
923
953
983
1013
1043
1073
1103
1133
1163
1193
17х37
13х53
7х107
19х41
11х79
29х31
7х137
23х43
13х83
17х67
7х167
11х109
629
659
689
719
749
779
809
839
869
899
929
959
989
1019
1049
1079
1109
1139
1169
1199
4
+7
11
+7
18
+7
25
+7
32
39
46
53
60
67
…
+13
+43
+73
+103
+133
+163
+193
+223
+253
+283
17
+37
54
+37
91
+37
128
165
202
239
276
313
350
…
+43
+73
+103
30
+67
97
+67
164
+67
231
298
365
432
499
566
633
…
+13
+43
+73
+103
43
+97
140
+97
237
+97
334
431
528
625
722
819
916
…
56
+127
183
310
437
564
691
818
945
1072
1199
…
69
+157
226
383
540
697
854
1011
1168
1325
1482
…
82
+187
269
456
643
830
1017
1204
1391
1578
1765
…
95
+217
312
529
746
963
1180
1397
1614
1831
2048
…
108
+247
355
602
849
1096
1343
1590
1837
2084
2331
…
121
+277
398
675
952
1229
1506
1783
2060
2337
2614
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
3х7
3х17
9х9 3х27
7х13
3х37
11х11
3х47
7х23
9х19 3х57
3х67
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
201
3х11
7х9 3х21
3х31
3х41
7х19
11х13
9х17 3х51
3х61
7х29
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
103
113
123
133
143
153
163
173
183
193
203
3х9
3х19
7х11
3х29
9х13 3х39
7х21 3х49
3х59
11х17
9х23 3х69
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
107
117
127
137
147
157
167
177
187
197
207
3х3
3х13
7х7
3х23
9х11 3х33
7х17
3х43
3х53
13х13
9х21 7х27 3х63
11х19
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
109
119
129
139
149
159
169
179
189
199
209
R1
13х17
11х21 7х33 3х77
9х29 3х87
3х97
7х43
3х107
11х31
9х39 13х27 3х117
19х19
7х53
3х127
17х23
211
221
231
241
251
261
271
281
291
301
311
321
331
341
351
361
371
381
391
R3
9х27 3х71
9х27 3х81
11х23
7х39 3х91
3х101
17х19
9х37 3х111
7х49
11х33 3х121
3х131
213
223
233
243
253
263
273
283
293
303
313
323
333
343
353
363
373
383
393
9х27 11х27
R7
9х33 7х31
3х79
13х19
3х89
7х41
11х27 9х33 3х99
3х109
17х21 7х51 3х119
13х29
9х43 3х129
217
227
237
247
257
267
277
287
297
307
317
327
337
347
357
367
377
387
397
9х27
R9
3х73
3х83
7х37
9х31 3х93
17х17
13х23
3х103
11х29
7х47
19х21 3х113
9х41 3х123
7х57 3х133
219
229
239
249
259
269
279
289
299
309
319
329
339
349
359
369
379
389
399
R1
3х137
9х49 21х21 7х63 3х147
11х41
3х157
13х37
3х167
7х73
9х59 3х177
19х29
11х51 17х33 3х187
7х83
401
411
421
431
441
451
461
471
481
491
501
511
521
531
541
551
561
571
581
R3
7х59
9х47 3х141
3х151
11х43
7х69 21х23 3х161
17х29
19х27 9х57 3х171
3х181
7х79
3х191
11х53
403
413
423
433
443
453
463
473
483
493
503
513
523
533
543
553
563
573
583
7х81 9х63
R7
11х37
3х139
7х61
19х23
3х149
9х53 3х159
7х71
3х169
11х47
17х31
3х179
7х81 9х63 3х189
407
417
427
437
447
457
467
477
487
497
507
517
527
537
547
557
567
577
587
R9
11х39 3х143
9х51 17х27 3х153
7х67
3х163
3х173
23х23
11х49 7х77
9х61 3х183
3х193
19х31
409
419
429
439
449
459
469
479
489
499
509
519
529
539
549
559
569
579
589
3
+3
6
+3
9
+3
12
+3
15
18
21
24
27
30
…
+7
+17
+27
+37
+47
+57
+67
+77
+87
+97
10
+13
23
+13
36
+13
49
62
75
88
101
114
127
…
+7
+17
+27
+37
+47
17
+23
40
+23
63
+23
86
109
132
155
178
201
224
…
+7
+17
+27
+37
+47
24
+33
57
+33
90
+33
123
156
189
222
255
288
321
…
+7
31
+43
74
117
160
203
246
289
332
375
418
…
38
+53
91
144
197
250
303
356
409
462
515
…
45
+63
108
171
234
297
360
423
486
549
612
…
52
+73
125
198
271
344
417
490
563
636
709
…
59
+83
142
225
308
391
474
557
640
723
806
…
66
+93
159
252
345
438
531
624
717
810
903
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
3х3
ani =2n — 1
1, 3, 5, 7,
9, 11, 13,
15, 17, 19,
21, 23,
25,
27, 29, 31,
33,
35, 37,
39, 41, 43,
45, 47,
49,
51, 53,
55,
57, 59, 61 …
5
+3
8
+3
11
+3
14
+3
17
+3
20
+3
23
+3
26
+3
29
…
+3
+5
+7
+9
+11
+13
+15
+17
+19
8
+5
13
18
23
28
33
38
43
48
…
+3
+6
+6
11
+7
18
25
32
39
46
53
60
67
…
+3
14
+9
23
32
41
50
59
68
77
86
…
+3
+6
+7
n ≠
n ≠
17
+11
28
39
50
61
72
83
94
105
…
+3
20
+13
33
46
59
72
85
98
111
124
…
+3
23
+15
38
53
68
83
98
113
128
143
…
+3
26
+17
43
60
77
94
111
128
145
162
…
+3
29
+19
48
67
86
105
124
143
162
181
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
2х2
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32,
33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 ,45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56. 57, 58, 59, 60, 61 …
ani = n
4
+2
6
+2
8
+2
10
+2
12
+2
14
+2
16
+2
18
…
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
6
+3
9
+3
12
+3
15
+3
18
+3
21
+3
24
+3
27
…
+2
+6
+6
8
+4
12
16
20
24
28
32
36
…
+2
n ≠
10
+5
15
20
25
30
35
40
45
…
+2
+6
n ≠
+7
12
+6
18
24
30
36
42
48
54
…
+2
14
+7
21
28
35
42
49
56
63
…
+2
16
+8
24
32
40
48
56
64
72
…
+2
18
+9
27
36
45
54
63
72
81
…
…
…
…
…
…
…
…
…
5х5 7х7 5х11 5х17 7х13 5х23 11х11 7х19 5х29
1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 133, 139, 145,
5х7 5х13 7х11 5х19 7х17 5х25
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71 , 77, 83, 89, 95, 101, 107, 113, 119, 125, 131, 137, 143. 149 …
5
+5
10
+5
15
+5
20
+5
25
…
+5
+11
+17
+23
+29
10
+11
21
+11
32
+11
43
+11
54
…
+5
+11
15
+17
32
49
66
83
…
+5
+11
20
+23
43
66
89
112
…
+5
+11
25
+29
54
83
112
141
…
…
…
…
…
…
Закономерность распределения простых чисел (дополнение).
Белотелов В.А.
Нижегородская обл.
г. Заволжье
vbelotelov@mail. ru
Там где даны в качестве примера разности арифметических прогрессий и указан их ряд 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60. На самом деле пропусков в ряду быть не должно. Ряд разностей арифметических прогрессий имеет вид – 1, 2, 3, 4, 5, 6…. ® ¥.
Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.
И ещё. Формулы членов матриц составных чисел (СЧ), которые описываются в системах уравнений двойными суммами. Для этого требуется всего лишь в значения переменных двойных сумм вставить их аналитические выражения через переменные и — столбцы и строки матриц.
Тогда формула любого члена матриц СЧ таблицы 4, примет вид (30I — 17) (30j — 23).
Аналогично для таблицы 7 — (10I — 3) (10 j — 7).
Для таблицы 8, ряда нечётных чисел — (2I + 1) (2 j + 1).
Для таблицы 9, ряда натуральных чисел — (I + 1) ( j + 1).
Заостряю внимание на том факте, что это уже не номера членов СЧ в рядах простых чисел ПЧ + СЧ, а численные значения этих номеров. И подобных уравнений СЧ можно составить по числу систем арифметических прогрессий, и даже значительно больше, т.е. бесконечное множество.
Всё же для наглядности распишу систему уравнений таблицы 3 предыдущей работы.
и — столбцы и строки матриц, индексами не снабжаю.
И уж больно симпатичная система из 2-х уравнений с разностью арифметических прогрессий d=6.
5х5
7х7
5х11
5х17
7х13
1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
5х7
5х13
7х11
5х19
5
11
17
23
29
35
41
47
53
59
65
71
77
83
89
95
101
Напишу только формулы составных чисел
1 – для верхнего ряда (6I — 1) (6 j — 1), (6k + 1) (6e +1).
2 – для нижнего ряда (6I + 1) (6 j — 1).
А написал с единственной целью сравнить формулы разных систем простых чисел.
В системе c d = 30 число 91 – это (30 — 17) (30 — 23), при = 1, = 1.
В системе c d = 10 это же число – (10 — 3) (10 — 7), при = 2, = 1.
В системе c d = 6 ……………… – (6+ 1) (6+ 1), при = 1, = 2.
В системе c d = 4 ……………… – (4 — 1) (4+ 1), при = 2, = 3.
В системе c d = 2 ……………… – (2+ 1) (2+ 1), при = 3, = 6.
В системе c d = 1 ……………… – (+ 1) (+1), при = 6, = 12.
6
+5
11
+5
16
+5
21
+5
26
…
+7
+13
+19
+25
+31
13
+11
24
+11
35
+11
46
+11
57
…
+7
+13
+19
20
+17
37
54
71
88
…
+7
+13
27
+23
50
73
96
119
…
+7
+13
34
+29
63
92
121
150
…
…
…
…
…
…
9
+7
16
+7
23
+7
30
+7
37
…
+7
+13
+19
+25
+31
16
+13
29
+11
42
+11
55
+11
68
…
+7
+11
27
+19
42
61
80
99
…
+7
+11
30
+25
55
80
105
130
…
+7
+11
37
+31
68
99
130
161
…
…
…
…
…
…
n2 ≠