Вычисление интеграла по поверхности

Содержание
1)Поверхностный интеграл второго рода
2)Вычисление интеграла по поверхности
3)Теорема Остроградского-Гаусса
4)Дивергенция
Литература
интеграл теорема доказательство

Интеграл по поверхности
Поверхность будем рассматривать
1. как образ замкнутой области при непрерывном отображении
2. Отображение можно задать в векторном виде в каждой точке гладкой поверхности
3. Для существует нормаль , перпендикулярный к касательным кривым в точке . Следовательно равен векторному произведению касательных к векторов

,

поверхность
—
направление касательных прямых к и в т. к поверхности

.
Направляющие косинусы нормали к поверхности

Задание векторного поля характеризует задание вектор функции

Примеры векторных полей
— поле скоростей текущей жидкости или газа.
— гравитационное поле
— электростатистическое поле.
Если в какой то области , заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью , к каждой точке можно поставить в соответствие векторное поле , то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.
Поверхностный интеграл второго рода.
Определение интеграла по поверхности.
Вычисление.
Дано — область ограниченная поверхностью

Дано — поверхность

-векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность в направлении нормали .
Функции — непрерывны в области с границей .
Т/н поток жидкости (или газа) через поверхность в направлении .
Решение.
1. Поверхность разобьем на произвольных частей.

2. Выберем по точке

3. Вычислим скорость течения жидкости в точке
4. Определим , где -скалярное произведение
-единичная нормаль к поверхности в точке
— вектор в точке .
5. Составим
6. Найдем
Механический смысл интеграла по поверхности

—
объем цилиндра с основанием и высотой .
Если -скорость течения жидкости , то равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность за единицу времени в направлении нормали .
— общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность в положительном направлении нормали равен потоку векторного поля через поверхность в направлении нормали .
Вычисление интеграла по поверхности
Пусть нормаль

Заметим, что

Действительно, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно , -угол между касательной плоскостью к и его проекцией на плоскость
Следовательно

Вычисление интеграла по поверхности.
1.

Аналогично

Пример 1.
Найти поток вектора через часть поверхности параболоида
в направлении внутренней нормали.

-проектируется на с двух сторон и образует с осью Ох углы (острый и тупой )

Аналогично

Пример 2. Вычислить , где -сфера , нормаль внешняя.

Пример 3. Найти поток вектора через часть сферы в направлении внешней нормали

Пример 4.

Пример 5.

Теорема Остроградского-Гаусса.
Дивергенция.

-поток вектора через поверхность в направлении за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области и количеством жидкости втекающей в область .
1. . Следовательно из области жидкости вытекает столько же сколько втекает.
2. жидкости или газа вытекает больше, внутри существует источник.
3. жидкости или газа втекает больше чем вытекает , внутри существует сток.
Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.

Если -непрерывна вместе с частными производными в области то

Поток изнутри равен суммарной мощности источников и стоков в области
за единицу времени.
Величина потока вектора через замкнутую поверхность
является глобальной характеристикой векторного поля в области и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области .
· Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали , а не абсолютное количество жидкости прошедшей через независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке)
Дивергенция
Определение — стягивается в точку.
Определение Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока векторного поля через поверхность к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность стягивается в точке .
Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля исходящего из точки , т.е. мощность источника и стока находящегося в точке .
— средняя объемная мощность потока .
-существует источник в точке .
— существует сток в точке
Теорема 2.
Доказательство

ч.т.д.
Пример 1. . Найти поток вектора через всю поверхность тела , в направлении внешней нормали.
Решение
1.
2.

Литература
1. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987
3. Шилов Г.Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.
4. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.