Вычисление электрической энергии и электрических сил

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Полная энергия заряженной системы определяется как

(24)

Она состоит из собственных энергий тел системы Wown, i и энергий взаимодействия каждого из тел со всеми остальными Wint, i, all. При необходимости можно разбить Wint, i, all на энергии попарного взаимодействия Wint, i, j. Для вычисления собственной энергии i-го тела при интегрировании учитывается только им создаваемый потенциал, а для нахождения Wint, i, all — напротив, потенциал всех тел, кроме i-го

W
=

(25)

=

При наличии заряженных точек или нитей в местах их нахождения оказывается φ = ∞. Собственные энергии таких объектов и полная энергия — формально — равны ∞, так что рассмотрению подлежат лишь энергии взаимодействия.
В случае двух тел энергия их взаимодействия — это энергия взаимодействия первого тела со вторым Wint, 1, 2 плюс равная ей энергия взаимодействия второго тела с первым Wint, 2, 1

(26)

Сила взаимодействия двух тел может быть найдена как сила, действующая со стороны первого тела на второе или (что — с точностью до знака — то же самое) как сила, с которой второе тело действует на первое

(27)

Здесь — поле, создаваемое одним первым, а — одним вторым телом.
Задача. Шар R, равномерно заряженный по объему (ρ0). Найти собственную энергию заряженного шара.
Решение Мы должны сначала найти потенциал внутри шара, для чего ищем по теореме Гаусса поле

=

=

Это поле мы интегрируем, получая φ(r) для r =

Имея потенциал и записав dq как

dq = ρ0 r2dr sinθdθ dφ

можно найти энергию шара непосредственным интегрированием

Wown
=

Эта энергия совпадает с полной энергией, поскольку система состоит только из одного тела.
Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти энергию и силу взаимодействия заряда со своим изображением.
Ответ , , плоскости.

Задача. Длинная нить расположена на оси кольца R и упирается в его плоскость. И нить, и кольцо заряжены равномерно с плотностью λ0. Найти силу их взаимодействия.
Решение Требуемая в задаче сила может быть найдена либо путем интегрирования заряда нити с полем кольца, либо путем интегрирования заряда кольца с полем нити

Мы осуществим оба эти способа. Введем систему координат с началом в центре кольца так, чтобы кольцо оказалось лежащим в плоскости xy, а нить — вдоль оси z, занимая область координат z>0. Тогда

dqwire = λ0dz, dqring = λ0Rdφ

Поле кольца в точке (0, 0, z) находится посредством интегрирования закона Кулона (Раздел 1), которое в итоге даёт

Поле, создаваемое нитью в точке (Rcosφ, Rsinφ, 0), будет равно

После этого проводим интегрирование с целью нахождения силы

=

=

Как и должно быть, сила, действующая со стороны кольца на нить , с точностью до знака равна силе, действующей со стороны нити на кольцо — в соответствии с третим законом Ньютона.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М. Издательство БИНОМ, 1998. — 448 с.; или 2-е изд., М. Наука, 1988. — 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М. Наука, 1970. — 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М. Наука, 1992. — 661 с.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http //edu.ioffe.ru/r