Середні Значення

Середні значення
Статистика оперує такими середніми значеннями серед­нє арифметичне, середнє квадрати­чне, середнє геометричне.
Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об’єктів, у яких виміряно деяку характеристику, що має значення x1, x2, …, xn.
Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число , яке дістають ді­ленням суми всіх да­них вибірки x1, x2, …, xn на число цих даних n,

або (- знак суми – “сигма” велика)
Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березня температура повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови­ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.
Маємо
2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу­чень м’яча в корзину на кожні десять кидків під час тренувань.
Таблиця 1

Номер тренувань
1
2
3
4
5

Перший учень

4
3
5
3
6

Кількість влучень
Другий учень

5
4
3
6
5

Розв’язання.
Знаходимо середню кількість влу­чень.
Для першого учня

Для другого учня

Отже, в команду слід узяти другого учня.
Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.
1) Знайдемо відхилення l кожного значення xj від се­реднього. Різниця х —може бути від’є­мною або додатною.
Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє­мо цю властивість на при­кладі. Вихі­дні дані . (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5); n= 8; = 2.
2) Якщо до кожного ре­зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне пере­твориться в + с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна­чень і додамо до кож­ного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10) 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше.
Таблиця 2

Значення
Середнє арифметичне
Відхилення

0
2
-2

0
2
-2

1
2
-1

1
2
-1

3
2
1

3
2
1

3
2
1

5
2
3

—

0

3) Якщо кожне значення сукупності з середнім по­множити на константу с, то середнє ариф­метичне стане с. Перевірте властивість, використовуючи попередні дані.
Якщо величини деяких даних повторюються, то середнє арифметичне визначають за фор­мулою
,де
fi — частота повторення результату xi.
Приклади. 1) Протягом двадцяти днів серпня тем­пература повітря вранці була такою 17°, 18°, 19°, 20°, 18°, 18°, 18o, 19o, 19°, 20°, 20°, 19°, !9°, 19°, 20°, 19o, 18°, 17°, 16°, 19°.
Знайти середню температуру за цими даними.
Тут окремі значення (17°, 18°, 19°, 20°) повторюються. Середня температура дорівнює

2) Подаємо запис обчислення середнього арифметичного при повторенні деяких даних у ви­гляді таблиці.
Таблиця 3

Вихідні дані
xi
Час­тота fi
xifi
Остаточне обчис­лення

2
6
10
2
2
4
де I=1,2,3,…,11

2
6
10
3
1
3

3
6
11
4
3
12

4
6
12
5
2
10

4
8
12
6
4
24

4
9
15
8
1
8

5
9
15
9
3
27

5
9
15
10
2
20

11
1
11

12
2
24

15
3
45

3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки
Оцінки (бали) 5 4 3 2
Кількість
учнів 6 7 4 17
Чи достатньо засвоєний матеріал?
Знайдемо середню величину оцінок.

Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки «2» (мода) дуже висока, вона дорівнює 17. Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо.
Середнє квадратичне відхилення. Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере­днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником — середнім квадратич­ним відхиленням, який знаходять так усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадра­тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою σ (“сигма” мала)

Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4.
Таблиця 4

Зна­чен­ня xi
Сере­днє ариф­ме­ти­чне
Відхи­лення xi —
Квадрат відхи­лення (xi-)2
Квадратичне від­хилення σ

5

— 7
49

8
— 4
16

10
— 2
4

12
0
0

17
5
25

20
8
64

=72
= =12

У статистиці користуються також величиною σ2 (квад­рат середнього квадратичного відхи­лення), яку називають дисперсією.
Середнє геометричне п додатних чисел х1, х2, х3, …,хп визначається виразом
, тобто середнє ге­ометричне х1 х2 х3…п є корінь n-го степеня з добутку всіх xi (і = 1, 2, …).
У випадку двох чисел а і b середнє геометричне нази­вають середнім пропорційним цих чисел. З рівності тс = аb випливає, що а mc= тс b.
На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв’язу­вати різноманітні задачі, пов’язані з використанням поняття моди, медіани, серед­нього. Напри­клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж інших; на якому з міських марш­ру­тів треба пустити автобусів більше, ніж на решті; якого розміру спортивних костюмів слід ви­готовити найбільше для учнів 10—11 класів тощо.
Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.