Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

Реферат
Роботу виконала студентка 211 групи Піщук Олеся
Житомирський фармацевтичний колледж ім. Г.С. Протасевича
м. Житомир – 2006
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.
Правило Лопіталя.
Нехай виконані умови
функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0;
частка цих функцій в точці х0 має невизначеність вигляду або ;
існує .
Тоді існує і виконує рівність
(1)
а) Наслідок.
Нехай
1. Визначені в колі точки х0 функції f(х), g(х) та їх похідні до n-го порядку включно;
2. Частки , , …, мають невизначеність вигляду або ;
3. Існує , тоді
(2)
б) Приклад 1.
Знайти .
Розв’язання
Функції та визначені з усіма своїми похідними в околі точки х=0.
Маємо
.
2) Розкриття невизначеностей виду ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0.
Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду або , які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.
Нехай і , тоді
(3)
За умовою при , тому при .
Якщо не прямує до 0 при , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.
Якщо при , то вираз має невизначеність .
2. Нехай , , тоді має невизначеність вигляду при .
В цьому випадку поступають так

Під знаком останньої границі маємо невизначеність .
3. Нехай , при . Тоді має невизначеність вигляду .
Позначимо . Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо

Отже, обчислення натурального логарифма границі зводиться до розкриття невизначеності вигляду .
4. Невизначеності вигляду та зводять до невизначеностей або шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду .
а) Приклад 2.
Знайти границю .
Розв’язання
Функції та диференційовані, а їх частка має невизначеність вигляду при .
Використовуючи правило Лопіталя, одержимо
.
б) Приклад 3.
Знайти границю .
Розв’язання
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Позначимо і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо
, тобто невизначеність вигляду . Використовуючи правило Лопіталя, одержимо
.
Отже, .
в) Приклад 4.
Знайти границю .
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Нехай . Логарифмуючи цю рівність, одержимо
.
Чотири рази застосували правило Лопіталя.
Отже, маємо

Список литературы
Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум. Навчальний посібник.–Київ Центр навчальної літератури, 2005.–536с.
Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики. Радянська школа 1979.
Алгебра и начала анализа В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К. Вища шк., Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.