Пределы
Предел.
Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, N0, такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-A|
n
X
n=A. –E
A-E
Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N0, для кот. любые точки >N0 попадают в Е-окрестность (.)А.
Св-ва послед-ти, имеющей предел
1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.
Док-во предп, что пределы различны lim Xn=a, lim Xn=b (n), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n) => E/2 N1 n>N1 |a-Xn|
) =>
E/2
N
2
n>N
2 |Xn-и|
0=max(N
1;N
2), n>N
0. |a-b|=|a-Xn+Xn-b|
|a-Xn|+|Xn-b|
|a-b|=0 => a=b.
2.теорема о сжатой переменной. n>N1 XnZnYn limXn = lim Yn = a (n) => lim Zn=a (n)
Док-во 1. из того, что lim Xn=a (n) => n>N2 |Xn-a|
lim Yn=a (n
) => n>N
3, a-E
0=max(N
1,N
2,N
3). При всех n>N
0 Xn
Zn
Yn. a+E>Xn
Zn
Yn>a-E => lim Zn=a (n
)
,>
Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.
Бесконечно малая величина.
Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n, если lim Xn = 0 (n). E>0, N0, n>N0, |Xn|
Свойства б.м. величин
1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.
Док-во из Xn – б.м. => E/2 N1, n>N1 |Xn|
из Yn–б.м.=> E/2 N2, n>N2 |Yn|
0=max(N
1,N
2), N>N
0, |Xn
Yn|
|Xn|+|Yn|
lim(Xn
Yn)=0 (n
). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.
2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во Xn – огр. величина => K, |Xn| K,
Yn – б.м. => E/K N0 n>N0 |Yn|
|Xn*Yn|=|Xn||Yn|
*e>
3.Достаточный признак существования предела переменной величины если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. lim Xn=a (n) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.
Док-во Из lim Xn=a (n) => E N0 n>N0 |Xn-a|
Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n).
Бесконечно большая величина
Xn – бесконечно большая n, если M>0 N0, n>N0, |Xn|>M => M
(n
).
Свойства б.б. величин
1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.
из Xn – б.б. =>M N1, n>N1 |Xn|>M
из Yn – б.б. => M N2, n>N2 |Yn|>M
N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M
Lim XnYn= (n).
2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn= (n) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn= => M=1/E N0, n>N0 |Xn|>M =>n>N0.
|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n).
3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.
Основные теоремы о пределах
lim Xn=a, lim Yn=b => lim (XnYn)=ab (n)
Док-во lim Xn=a => Xn=a+n; lim Yn=b => Yn=b+n;
Xn Yn = (a + n) (b + n) = (a b) + ( n bn) => lim(XnYn)=ab (n).
limXnYn = lim Xn * lim Yn (n).
lim Xn=a, lim Yn=b (n) => lim Xn/Yn = (lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во Xn/Yn – a/b = (a+n)/(b+n) – a/b = (ab+nb–ab–an)/b(b+n) =(bn-an)/b(b+n)=n => Xn/Yn=a/b+n => lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n).
Пределы ф-ии непрерывного аргумента.
Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при хx0, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число >0, что при x будет выпол |x-x0|<, будет выполняться нер-во |f(x) – A|
x
выпол x
0-
=> A-E
Lim xx0 f(x)=A
Ф-ия y=f(x) наз-ся бесконечно большой при xx0 если для М>0 сколь угодно большого >0, что x |x-x0|< будет выполняться нер-во |f(x)|>M, x x0-
0+
, -M>f(x)>M.
Lim f(x)= (xx0).
Число А наз-ся пределом y=f(x) x, если для любого Е>0 можно найти число К, x |x|>K |f(x)-A|
I замечательный предел.
Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.
Sтреуг МОА< Sсект МОА
треуг СОА.
SтреугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.
SсектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.
SтреугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.
SinX
1
(sinX)/x>cosX.
Lim cosX=1, lim 1=1 (x0) =>lim (sinX)/x=1.
Следствия
1. limx0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=
=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;
2.limx0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t0}=
=limt0t/sint=1;
3. limx0 (sin x)/x = lim (Sin x)/(x)=
=/ limx0(sin x)/x=/.
II замечательный предел.
limn(1+1/n)n=?
Бином Ньютона (a+b)n=an+nan-1b+(n(n-1)an-2b2)/2!+… +(n(n-1)(n-2)(n-3)an-4b4)/4!+…+bn.
(1+1/n)n=1+n1/n+n(n-1)/2!n2+n(n-1)(n-2)/3!n3+…+1/nn= =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+…+1/nn={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22(1-1/n)(1-2/n)+1/23(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2n < 2+0.5+1/22+1/23+...+1/2n =2+0.5(1-1/2n)/(1-0.5)=2+1-1/2n=3-1/2n <3.
2(1+1/n)n<3 => limn(1+1/n)n=e.
Следствия
1.limx+(1+1/x)x=e. Док-во nxn+1 =>1/n1/x1/(n+1), 1/n+1 (1/x)+1 1/(n+1) + 1, (1/n+1)x(1/x+1)x(1+1/(n+1))x
(1/n+1)n+1(1+1/x)x(1+1/(n+1))n limn(1+1/n)n(1+1/n)=e*1=e, limn(1+1/(n+1))n+1*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => limx+(1+1/x)x=e.
Непрерывность.
-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при хх0 равный значению фун f(x0).limf(x)=f(x0)
Условия
1. f(x) – опред ф-ия; 2. limxx0-0f(x) limxx0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limxx0-f(x)=limxx0+f(x);
4. limxx0f(x)=f(x0).
Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род
Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.
Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.
Св-ва непрерывности в точке
1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность) y(х)=f1(x)f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.
Док-во (суммы) По определению получ limхх0f1(x)=f1(x0) и limхх0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать limхх0у(х)=limхх0[f1(x)+f2(x) ]=
=limхх0f1(x)+limхх0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная фун.
2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
3.Если фун z=(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=(х0), то фун y=f((х)) непрерывна в точке х0.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).
Непрерывности на заданном промежутке
Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.
Свойства(small)
1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м
x
0 на [a;b], f(x
0)=0.
Св-ва непрерывности на заданном промежутке(full)
1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x1)f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2, что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю
f(x2) f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).
2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль f(с)=0, а<с<в.
3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число , заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=.
Производная.
1.Пусть y=f(x), xX, x0; x0+x X => y=f(x0)=f(x0+x)-f(x0), y/x=(f(x0+x)-f(x0))/x.
Если limx0y/x, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х0. Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+хХ. Limх0(f(x0+x)-f(x0))/x= =f/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y|(x).
2. Геометр смысл производ.
Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х0;f(x0)).
Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при х0), то секущая приближ-ся к касат.
y|(x0)=limх0(f(x0+x)-f(x0))/ /x=limх0y/x=limх0tg==lim0tg=tg0.
L y-f(x0)=f(x0)(x-x0)
Nl=y-f(x0)=-(x-x0)/f(x0).
3. Основ теоремы о производных.
1. y=U(x)+V(x), y|=U|(x)+ V|(x). Док-во для х+х имеем y+y=(u+u)+(v+v). Следовательно, y=u+v, y/x=u/x+v/x, y|=limx0y/x = limx0u/x+ limx0v/x=U|(x)+V/(x).
2. y=uv, y|=u|v+uv|. Док-во y+y=(u+u)(v+v), y=(u+u)(v+v)-uv=uv+uv+uv, y/x=uv/x+vu/x+uv/x,
y|= limx0y/x= limx0uv/x + limx0vu/x + limx0uv/x={ limx0u=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u|v+uv|.
3. y=u/v, y|=(u|v-uv|)/v2. Док-во y+y=(u+u)/(v+v), y=(u+u)/(v+v)-u/v=(vu-uv)/v(v+v)
y/x…
4. y=ax, y|=axln a. Док-во ln y=x ln a, y|/y=ln a, y|=yln a y|=axln a.
Неявно задан фун и нахождение ее производ.
Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество() {F(x;y)=0,у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) 0}
Правило нахождения Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]/=0/}
Формула Лейбница.
y(n)=(uv)(n)=(u)(n)v+nu(n-1)v|+([n(n-1)]/[1*2])*n(n-2)v||+…+uv(n)
Дифференцирование ф-ии в точке.
Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0, если y=Ax+O(x), где А не зависит от Х, О(Х) – б.м., более высокого порядка малости, чем Х, когда Х0, т.е. limx0O(x)/x=0. АХ – главная часть приращения.
Теорема y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f(x0).
Необход усл-ие дифф-ти если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано y=Ax+O(x)
f(x0)=limx0y/x= limx0[(Ax+O(x))/x] = limx0(A+O(x)/x)=A => y=f(x0)x+O(x) => limx0y=0 => f(x) – непрерывна.
Достат усл-ие дифф-ти если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано f(x0) – число, f(x0)=limx0y/x => y/x=f(x0)+(x) {(ч) – б.м.}, y=f(x0)x+(x)x => y=f(x0)x+O(x), т.е. O(x)=(x)x => limx0O(x)/x=limx0(x)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит Х.
Приближ знач ф-ии в некот т-ке y=f(x0+x)-f(x0) =>f(x0+x)=f(x0)+yf(x0)+df(x0)=f(x0)+f(x0)dx, dx=x.