Перестановки

Описываются понятия r-перестановок множества, r-сочетания, перестановки с повторениями.
п.1. r- перестановки.
Определение. r- перестановкой множества A называется кортеж из r попарно различных элементов множества A. Иногда r- перестановки называют размещениями без повторения.
Если (a, …, a) есть r- перестановка n- элементного множества, то r £ n.
Обозначение. Обозначим P(n, r) число всех r- перестановок n- элементного множества, где n, rÎN. Положим P(n, 0) = 1 для nÎN0.
Теорема 1. Число всех r- перестановок n- элементного множества, где
n, rÎN, вычисляется по формуле
P(n, r) = n= n(n -1)…(n — r + 1). (1)
Доказательство. Первая координата r- перестановки n- элементного множества может быть выбрана n способами, если первая координата выбрана, то вторая координата может быть выбрана n-1 способами, если выбраны первые две координаты, то третья координата может быть выбрана n-2 способами и т.д. до r- ой координаты включительно, которая может быть выбрана n-r+1 способами. Из теоремы 2, п.3, следует равенство (1).
Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества, |A| = n, |B| = r, где
n, r ÎN. Тогда число всех инъекций f B ® A равно P(n, r) = n.
Доказательство. Обозначим B={b, …, b}, инъекция f B ®A может быть записана в табличной форме
,
где кортеж есть r- перестановка множества A. Поэтому искомое число равно P(n, r).
Определение. Пусть A есть n- элементное множество. Перестановкой множества A называется n- перестановка множества A. Другими словами, перестановка множества A это кортеж содержащий все элементы множества A по одному разу.
Следствие 2. Число всех перестановок n- элементного множества равно n!.
Доказательство. Искомое число равно P(n, n) = n= n(n-1)…(n-n+1) =
= n!.
Следствие 3. Пусть A и B- конечные множества, |A| = |B| = n, nÎN. Тогда число всех биекций f B ® A равно n!.
Доказательство. Т.к. |A| = |B|, то каждая биекция f B ® A является инъекцией и наоборот. По следствию 1, искомое число равно P(n, n) = n!.
п.2. r -элементные подмножества (r — сочетания).
Определение. Пусть A- конечное множество. r- сочетанием множества A называется любое r- элементное подмножество множества A.
Теорема 1. Пусть A есть n- элементное множество, n, rÎN. Справедливы утверждения
1. Число всех r- сочетаний n- элементного множества равно .
2. Число всех r- элементных подмножеств n- элементного множества равно .
Доказательство. Обозначим K- число всех r- сочетаний n- элементного множества A. Каждое r- элементное подмножество n- элементного множества A определяет r! перестановок множества A, при этом разные подмножества определяют разные перестановки. Поэтому K×r! — число всех r- перестановок множества A, равное n. Отсюда следует, что K = n/ r! = =.
Пример 1. Каждый кортеж N, где , кодируется k-элементным подмножеством множества . Поэтому, при фиксированном k, число всех кортежей N, где , равно .
Пример 2. Перечисление беспорядков степени n. Обозначим U- множество всех перестановок степени n, . Будем считать, что элементами перестановок являются числа . Перестановка степени n называется беспорядком, если для всех .
Существует только один беспорядок степени 2.
Существует только два беспорядка степени 3.
Для обозначим множество всех перестановок степени n таких, что . Число всех беспорядков степени n равно числу всех перестановок степени n не принадлежащих множеству . Обозначим число всех беспорядков степени n. По формуле включения- исключения
, (1)
где суммирование ведётся по всем кортежам Nтаким, что
. Легко видеть, что для любого кортежа N, где справедливо равенство
.
При фиксированном k число всех кортежей N, где , равно . Из равенства (1) следует, что
.
Поэтому
.
п.3. Перестановки с повторениями.
Определение. Кортеж t = (b, …, b) называется перестановкой с повторениями состава (n, …, n) множества {a, …, a}, если элемент a входит в t n раз, …, a входит в t n раз, где n, …, nÎN, .
Обозначение. Обозначим P(n, …, n) число всех перестановок с повторениями состава (n, …, n) некоторого k — элементного множества, где n = = n+…+n.
Теорема 1. Для любого (n, …, n)ÎN
P(n, …, n) = n!/n!…n! , где n = n+…+n .
Доказательство. Перестановка (b, …, b) состава (n, …, n) множества {a, …, a} кодируется кортежем длины k на первом месте кортежа записано множество тех мест в перестановке на которых расположен элемент ; на втором месте кортежа записано множество тех мест в перестановке, на которых расположен элемент ; …; на k — ом месте кортежа записано множество тех мест в перестановке, на которых расположен элемент . Первый элемент кортежа может быть выбран способами; если первый элемент выбран, то второй можно выбрать способами; …; если первые элементов выбраны, то k- ый элемент может быть выбран способами. По правилу произведения получаем, что число всех перестановок с повторениями состава (n, …, n) из {a, …, a} равно
P(n, …, n) = …=
=
Обозначение. Для n, …, nÎN полиномиальный коэффициент определяется равенствами
если n +…+ n = n, то ;
если n +…+ n ⊃1; n, то .
Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества такие, что |A| = n, |B| = k, (n, …, n)ÎN, n +…+ n = n, B = {b, …, b}. Тогда число всех функций
f A ® B таких, что |f (b)| = n для всех i = 1, …, k, равно .
Доказательство. Пусть A={a, …, a}. Запишем функцию f A ® B в табличном виде .
Кортеж (f(a), …, f(a)) есть перестановка с повторениями состава (n, …, n) множества {b, …, b}.
Следствие 2. Пусть U- конечное множество, |U| = n. Тогда число кортежей множеств (A, …, A) таких, что
|A| = n, …, |A| = n,
|AÇA| = Æ для всех i ⊃1; j,
AÈ…ÈA = U, равно.
Доказательство. По теореме 2 п.3 число таких кортежей равно
…= .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М. Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М. Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М. Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М. Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http //referat.ru/

«