Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов

Антон Никифоров
Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида

(1)

Если последовательность {} при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что =f( ), =f( ), …, =f( ) или . Заметим, что производная порядка n функции (n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна .
Точки цикла, удовлетворяющие соотношению

(2)

называются неподвижными.
Величина (так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если <1.
n-цикл, содержащий в качестве одной из своих точек, называются сверхустойчивым. Для такого цикла =0.
Как было продемонстрировано в 1978 году М.Фейгенбаумом [4], значения параметра , при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным , удовлетворяют масштабному соотношению, или как говорят имеют скейлинг

(3)

Данное соотношение встречается также и в следующей записи

,n>>1 ([1], стр. 49),
(3.1)

Рис.1
Или в таком виде

,(см. [2], p.3),

Расстояния от точки , где — точка экстремума рассматриваемого отображения (на рис 1. x=1/2), до ближайшей к ней точки на — цикле подчиняются следующему соотношению

, n>>1
(4)

Константы Фейгенбаума имеют значения , и являются ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как или e.

Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным — какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. волшебные» числа и ) будет тем же самым.
Алгоритм
Интересно, что точки также можно использовать для расчета , этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках мультипликатор всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов

(a)
Например, для цикла периода два

, где

, таким образом

(5.1)

(б)
Цикл периода четыре

, где

, таким образом

(5.2)

Для произвольных же -циклов справедливо выражение

(6)

Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра , например, с помощью метода последовательных итераций Ньютона

(6.1)

Здесь i — номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы сводится к нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма пересекает линию . Для этого необходимо решить уравнение (6), проитерировав его раз.
НА ВХОД ПОДАЕМ
Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения
Итерируем производную функции начиная с
Начальные приближения двух значений параметра R ,
Разумное начальное приближение для постоянной
НА ВЫХОДЕ ПОЛУЧАЕМ

А весь процесс может быть описан следующими выражениями
, n=2,3,4,…
, i=0,1,2,…

Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные вычислительные формулы.
ПРИМЕР 1

При данном значении функция f будет зависеть только от константы r, обозначим эту функцию как . Тогда предыдущее уравнение можно будет переписать

ПРИМЕР 2

ПРИМЕР 3

Программу расчета константы вы можете найти здесь. Её легко модицифировать для расчета постоянной , что предоставляется проделать читателю. Результат расчета в зависимости от шага i приводится ниже.

i

1
6.9032539091…

2
4.7443094689…

3
4.6744478277…

4
4.6707911502…

5
4.6694616483…

6
4.6692658098…

…
…

11
4.66920173800930…

Список литературы
[1] Г.Шустер, «Детерминированный хаос. Введение», М Мир, 1988
[2] K.Briggs «Feigenbaum Scaling in Discrete Dynamical Systems», PhD thesis, 1997
[3] Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин, «Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм», УМН, т.39, вып.3(237), 1984
[4] М.Фейгенбаум, «Универсальность в поведении нелинейных систем», УФН, т.141, вып.2, октябрь 1983
[5] Н.Н.Калиткин, «Численные методы», М Наука, 1978
[6] Метод Ньютона

«