Математическая статистика

1-я контрольная работа
Задача № 1.33
Вычислить центральный момент третьего порядка (m3) по данным таблицы

Производитель­ность труда, м/час
80.5 – 81.5
81.5 – 82.5
82.5 – 83.5
83.5 – 84.5
84.5 – 85.5

Число рабочих
7
13
15
11
4

Производитель­ность труда, м/час
XI
Число рабочих, mi
mixi
(xi-xср)3
(xi-xср)3mi

80.5 – 81.5
81
7
567
-6,2295
-43,6065

81.5 – 82.5
82
13
1066
-0,5927
-7,70515

82.5 – 83.5
83
15
1245
0,004096
0,06144

83.5 – 84.5
84
11
924
1,560896
17,16986

84.5 – 85.5
85
4
340
10,0777
40,31078

Итого

50
4142

6,2304

Ответ m3=0,1246
Задача № 2.45
Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес у n=200 пачек чая равен =26 гр. А S=1гр. В предложение о нормальном распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится в пределах от ( до .
Р(25 m=n*p=200*0,3634 » 73

Ответ n=73
Задача № 3.17
На контрольных испытаниях n=17 было определено =3000 ч . Считая, что срок службы ламп распределен нормально с =21 ч.., определить ширину доверительного интервала для генеральной средней с надежностью =0,98

Ответ [2988<<3012]
Задача № 3.69
По данным контрольных испытания n=9 ламп были получены оценки =360 и S=26 ч. Считая, что сроки служб ламп распределены нормально определить нижнюю границу доверительного интервала для генеральной средней с надежностью

Ответ 358
Задача № 3.71
По результатам n=7 измерений средняя высота сальниковой камеры равна =40 мм, а S=1,8 мм. В предложение о нормальном распределение определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала .

Ответ P=0,516
Задача № 3.120
По результатам измерений длины n=76 плунжеров было получено =50 мм и S=7 мм. Определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для генеральной средней.
Ответ 50,2

Задача № 3.144
На основание выборочных наблюдений за производительностью труда n=37 рабочих было вычислено =400 метров ткани в час S=12 м/ч. в предложение о нормальном распределение найти вероятность того, что средне квадратическое отклонение будет находится в интервале от 11 до 13.

Ответ P(11 Задача № 4.6
С помощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0,02 проверить гипотезу о биноминальном законе распределения на основание следующих данных.

Mi
85
120
25
10

Mti
117
85
37
9

mi
miT
(mi-miT)2
(mi-miT)2/ miT

85
117
1024
8,752137

120
85
1225
14,41176

25
37
144
3,891892

10
9
1
0,111111

27,1669

c2факт.=S(mi- miT)/ miT=27,17
c2табл.= (n=2, a=0,02)=7,824
c2факт>c2табл
Ответ Выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки альфа.
2-я контрольная работа

Задача 4.29
По результатам n =4 измерений в печи найдено = 254° C. Предполага­ется, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с s = 6° C. На уровне значимости a = 0.05 проверить гипотезу H0 m = 250° C против гипотезы H1 m = 260° C. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.
m1 > m0 Þ выберем правостороннюю критическую область.

Ответ Т.к. используем правостороннюю критическую область, и tкр > tнабл, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|tкр| — |tнабл |=0,98).

Задача 4.55
На основание n=5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна мм, а S=1,2 мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровне значимости a=0,01 мощность критерия при гипотезе H0 50 и H1 53

Ответ 23
Задача 4.70
На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна = 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина на уровне значимости a = 0.1 проверить гипотезу H0 мм2 при конкурирующей гипотезе . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.
построим левостороннюю критическую область.

Вывод на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается ().
Задача 4.84
По результатам n = 16 независимых измерений диаметра поршня одним прибором получено = 82.48 мм и S = 0.08 мм. Предположив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение, на уровне значимости a = 0.1 вычислить мощность критерия гипотезы H0 при конкурирующей гипотезе H1 .
построим левостороннюю критическую область.

Ответ 23;
Задача 4.87
Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки n1 = 16 и n2 = 12 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены = 180 мм и = 186 мм. Предварительным анализом установлено, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями мм2 и мм2. На уровне значимости a = 0.025 проверить гипотезу H0 m1 = m2 против H1 m1 < m2.
Т.к. H1 m1 < m2, будем использовать левостороннюю критическую область. Вывод гипотеза отвергается при данном уровне значимости.
Задача 4.96
Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n2 = 18 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены = 260 мм, S1 = 6 мм, = 266 мм и S2 =7 мм. Предполагая, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины и , на уровне значимости a = 0.01 проверить гипотезу H0 m1 = m2 против H1 m1 ⊃1; m2.

Вывод при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.
Задача 4.118
Из n1 = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты решили m1 = 152, а из n2 = 250 задач второго типа студенты решили m2 = 170 задач. Проверить на уровне значимости a = 0.05 гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. H0 P1 = P2. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

Вывод нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается ().
Задача 1.39
Вычислить центральный момент третьего порядка (m3*) по данным таблицы

Урожайность (ц/га), Х
34,5-35,5
34,5-36,5
36,5-37,5
37,5-38,5
38,5-39,5

Число колхозов, mi
4
11
20
11
4

Решение

Урожайность (ц/га), Х
Число колхозов, mi
Xi
mixi
(xi-xср)3
(xi-xср)3mi

34,5-35,5
4
35
140
-8
-32

34,5-36,5
11
36
396
-1
-11

36,5-37,5
20
37
740
0
0

37,5-38,5
11
38
418
1
11

38,5-39,5
4
39
156
8
32

Итого
50

1850

0

Ответ m3*=0
Задача 2.34
В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд

Число дефектных изделий
0
1
2
3
4

Число партий
79
55
22
11
3

Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.
Решение

m
0
1
2
3
4

p
0.4647
0.3235
0.1294
0.0647
0.0176

Ответ P=7.79*10
-7

Зпадача 3.28
В предложении о нормальной генеральной совокупности с s=5 сек., определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести, чтобы с надежностью g=0.96 точность оценки генеральной средней m времени обработки зубчатого колеса будет равна d=2 сек.

Решение

n=(5.1375)
3=26.39»27

Ответ n=27
Задача 3.48
На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя и S=8 мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально, определить с надежностью g=0.98 точность оценки генеральной средней.
Решение
St(t,n=n-1)=g=St(t,6)=0.98
Ответ d=0.4278
Задача 3.82
На основании n=4 измерений температуры одним прибором определена S=9 °С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная величина определить с надежностью g=0.9 нижнюю границу доверительного интервала для дисперсии.
Решение
Ответ 41.4587
Задача 3.103
Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100 клубней превысили 50 г. Определить с надежностью g=0.98 верхнюю границу доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня превысит 50 г.
Решение
t=2.33
Ответ 0.3
Задача 3.142
По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля требуется Xср=30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью g=0.98 верхнюю границу для оценки s генеральной совокупности.
Решение
t=2.33
Ответ 8.457
Задача 4.18
Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0.05 по следующим данным

mi
6
13
22
28
15
3

miT
8
17
29
20
10
3

Решение

mi
miT
(mi-miT)2
(mi-miT)2/ miT

6
8
4
0.5

13
17
16
0.941

22
29
49
1.6897

28
20
64
3.2

15
10
25
1.9231

3
3

Итого


8.2537

Ответ -2.2627
1.36.
Вычислить дисперсию.

Производительность труда
Число рабочих
Средняя производительность труда

81,5-82,5
9
82

82,5-83,5
15
83

83,5-84,5
16
84

84,5-85,5
11
85

85,5-86,5
4
86

Итого
55

2.19.
Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число партий с тремя дефектными изделиями.

m
0
1
2
3
4
5
Итого

fi
164
76
40
27
10
3
320

Pm

0,34
0,116
0,026
0,004
0,001

Pm*fi
288,75
25,84
4,64
0,702
0,04
0,003
320

fi теор.
288
26
5
1
0
0
320

m – число дефектных изделий в партии,
fi – число партий,
fi теор. = теоретическое число партий
Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*fi.
Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными изделиями равно 1.
3.20.
По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью γ=0,975 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание, зная, что среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм..
3.40.

По результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна
40 мм., а
S=1,8 мм.. В предположении о нормальном распределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала
(0,98х;1,02х).

3.74.
По данным контрольных 8 испытаний определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того, что абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического отклонения меньше 10% от S.

3.123.
По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1 мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала (149;151).

3.126
По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки трансформатора требуется х=100 сек., S=12 сек.. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения.

4.10
С помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0,02 проверить гипотезу о законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между табличными и фактическими значениями χ2).

mi
miT
(mi-miT)2
(mi-miT)2/miT

80
100
400
4

125
52
5329
102,5

39
38
1
0,03

12
100
4
0,4

∑=256
200
5734
122,63

Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.