Лекции по Линейной алгебре

Абстрактная теория групп

Понятие абстрактной группы.

1.Понятие алгебраической операции.
Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (*), если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие некоторый элемент называемый их произведением.
Примеры.

Композиция перемещений на множествах является алгебраической операцией.
Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве всех подстановок степени n.
Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное не определено при . Однако на множествах , это будет алгебраическая операция.
Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве .
Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве .
Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка.

2.Свойства алгебраических операций.

Операция (*) называется ассоциативной, если .

Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если , . В частности можно определить степени с натуральным показателем . При этом имеют место обычные законы , .
2. Операция (*) называется коммутативной, если
В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции

Элемент называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если . В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если — нейтральные элементы, то . Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем .
Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент называется обратным для элемента , если . Отметим, что по определению . Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы — это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем . Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент также обратим и . (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).

Определение (абстрактной) группы.
Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если

Операция (*) ассоциативна на G.
Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы).
Каждый элемент из G обратим.

Примеры групп.

Любая группа преобразований.
(Z, +), (R, +), (C, +).

Матричные группы — невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1.
Простейшие свойства групп.
В любой группе выполняется закон сокращения (левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство. Домножим равенство слева на и воспользуемся свойством ассоциативности .
Признак нейтрального элемента Доказательство Применим к равенству закон сокращения.
Признак обратного элемента Доказательство Применим закон сокращения к равенству .
Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно. Следует из п.3.
Существование обратной операции. Для любых двух элементов произвольной группы G уравнение имеет и притом единственное решение. Доказательство Непосредственно проверяется, что (левое частное элементов ) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству . Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного.
Изоморфизм групп. Определение. Отображение двух групп G и K называется изоморфизмом , если 1.Отображение j взаимно однозначно. 2.Отображение j сохраняет операцию . Поскольку отображение обратное к j также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными. Примеры. 1.Группы поворотов плоскости и вокруг точек и изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

2.Группа диэдра и соответствующая пространственная группа изоморфны.

Группа тетраэдра T изоморфна группе состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки — четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными.
Формула определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством положительных чисел. При этом . Это означает, что является изоморфизмом.

Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.

Понятие подгруппы.

Непустое подмножество называется подгруппой, если само является группой. Более подробно это означает, что , и .
Признак подгруппы.
Непустое подмножество будет подгруппой тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь — любой элемент. Возьмем в признаке подгруппы. Тогда получим . Теперь возьмем . Тогда получим .
Примеры подгрупп.

Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.
— подгруппа четных подстановок.

и т.д.
Пусть G — любая группа и — любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента. Поскольку , рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g .
Пусть любая подгруппа Рассмотрим множество — централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если , то , то есть . Теперь ясно, что если , то и и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то . Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).

Замечание об аддитивной форме записи группы.
Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+…+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.

Абстрактная теория групп
(продолжение)

Реализация абстрактной группы как группы преобразований.

Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.
Пусть некоторая подгруппа.
А) Для каждого определим отображение (левый сдвиг на элемент h) формулой .
Теорема 1

Множество L(H,G)= является группой преобразований множества G.
Соответствие является изоморфизмом групп H и L(H,G).

Доказательство.

Надо проверить, что отображение взаимно однозначно для всякого . Если , то по закону сокращения. Значит инъективно. Если любой элемент, то и так что к тому же и сюръективно.
Обозначим через · операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений . Надо проверить, что и . Пусть любой элемент. Имеем ; и значит, .
Пусть . Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения . Сохранение операции фактически уже было установлено выше .

Следствие.
Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).
Для случая конечных групп получается теорема Кэли
Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы подстановок степени n.

Для каждого определим отображение (правый сдвиг на элемент h) формулой .

Теорема B.

.
Множество является группой преобразований множества G.
Соответствие является изоморфизмом групп H и R(H,G).

Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что . Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не , а .
С) Для каждого определим (сопряжение или трансформация элементом h ) формулой .
Теорема С.

Каждое отображение является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).
Множество является группой преобразований множества G.
Отображение сюръективно и сохраняет операцию.

Доказательство.

Поскольку , отображение взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем и потому сохраняет операцию.
Надо проверить, что и . Оба равенства проверяются без труда.
Сюръективность отображения имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.

Замечание об инъективности отображения q.
В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования будут тождественными и группа тривиальна. Равенство означает, что или (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение множество называется централизатором подгруппы . Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что . Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение q является изоморфизмом.

Смежные классы; классы сопряженных элементов.

Пусть, как и выше, некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам .Заметим, что стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов , что hg=g. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного .
Орбиты группы называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно , где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.
Пример.
Пусть — группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы =(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2); =(3,2,1). Пусть . Легко проверить, что левые смежные классы суть
, , .
Правые смежные классы
, , .
Все эти классы состоят из 2 элементов.
Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H
, , , .
В то же время,
, , .
Теорема Лагранжа.
Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.
Доказательство.
По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов . Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, , откуда и вытекает теорема.
Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы .
Следствие.
Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.
В самом деле, если эти подгруппы, то их общая подгруппа и по теореме Лагранжа — общий делитель порядков H и K то есть 1.

Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Пусть любая подгруппа и -любой элемент. Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H.
Определение.
Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой .
Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.
Примеры.

В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.
В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.
В рассмотренной выше группе подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы и .
Если — любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) — нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z . В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.
Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса H и Hg = G-H = gH.

Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).
Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть .
Доказательство.
Очевидно, что для любой подгруппы H .Но тогда
= = = .
Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс . Поскольку , всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.

Абстрактная теория групп
(продолжение)
9 Гомоморфизм.
Гомоморфизм групп — это естественное обобщение понятия изоморфизма.
Определение.
Отображение групп называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть .
Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.
Примеры.

Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.
Тривиальное отображение является гомоморфизмом.
Если — любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом.
Пусть — нормальная подгруппа. Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.
По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.
Отображение , которое каждому перемещению n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции .

Теорема (свойства гомоморфизма)
Пусть — гомоморфизм групп, и — подгруппы. Тогда

, .
— подгруппа.
-подгруппа, причем нормальная, если таковой была .

Доказательство.

и по признаку нейтрального элемента . Теперь имеем .
Пусть p = a(h) , q = a(k) . Тогда и . По признаку подгруппы получаем 2.
Пусть то есть элементы p = a(h) , q = a(k) входят в . Тогда то есть . Пусть теперь подгруппа нормальна и — любой элемент. и потому .

Определение.
Нормальная подгруппа называется ядром гомоморфизма .Образ этого гомоморфизма обозначается .
Теорема.
Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Поскольку , указанное условие необходимо. С другой стороны, если , то и если ядро тривиально, и отображение инъективно.
Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.
Теорема о гомоморфизме.
Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу) .
Доказательство.
Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j. Пусть . Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg . Все элементы имеют одинаковые образы при отображении a . Поэтому формула определяет однозначное отображение . Проверим сохранение операции .Поскольку отображение j очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если , то и потому . Следовательно, и по предыдущей теореме j инъективно.
Пусть — любой элемент. Имеем . Следовательно, .
10 Циклические группы.
Пусть G произвольная группа и — любой ее элемент. Если некоторая подгруппа содержит g , то она содержит и все степени . С другой стороны, множество очевидно является подгруппой G .
Определение.
Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической.
Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.
Примеры

Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.
Группа поворотов плоскости на углы кратные 2p¤n является циклической с образующим элементом — поворотом на угол 2p¤n. Здесь n = 1, 2, …

Теорема о структуре циклических групп.
Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ .
Доказательство.
Пусть G = Z(g) — циклическая группа. По определению, отображение — сюръективно. По свойству степеней и потому j — гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме . H = KerjМZ. Если H — тривиальная подгруппа, то . Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n — наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZМH. Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком k = qn +r , где 0 < r < n. Тогда r = k - qn О H , что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана.
Отметим, что » Z / nZ .
Замечание.
В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,…
Определение.
Порядком элемента называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) .
Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени — различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), а N кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство .
Следствие.
Если G — группа простого порядка p, то — циклическая группа.
В самом деле, пусть — любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g )».

Теорема о подгруппах конечной циклической группы.
Пусть G — циклическая группа порядка n и m — некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HМG порядка m. Эта подгруппа циклична.
Доказательство.
По предыдущей теореме G»Z / nZ. Естественный гомоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами HМG и теми подгруппами KМZ , которые содержат Kerp = nZ . Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZЙnZ , то k — делитель n и p(k) — образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы.
Верна и обратная теорема если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G — циклическая группа.
Доказательство.
Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа HМG порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.
Лемма.
Если G обладает свойством (Z), то

Любая подгруппа G нормальна.
Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx.
Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z). Доказательство леммы. 1. Пусть HМG . Для любого подгруппа имеет тот же порядок, что и H. По свойству (Z) то есть подгруппа H нормальна. 2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых a и b . Следовательно, . Но, поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то . Следовательно, и потому xy = yx.
Используя свойство (Z) , выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти подгруппы пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2) элементы этих подгрупп перестановочны между собой. Всевозможные произведения hk =kh, где hОH, kОK попарно различны, так как =e поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких произведений равно m N/m = и, следовательно, они исчерпывают все элементы G. Сюръективное отображение является гомоморфизмом с ядром K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S порядка s. Поскольку s и N/m взаимно просты, и потому — подгруппа порядка s. Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено. Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H. Доказательство теоремы. Пусть — разложение числа N в произведение простых чисел. Проведем индукцию по k. Пусть сначала k = 1, то есть . Выберем в G элемент x максимального порядка . Пусть y любой другой элемент этой группы. Его порядок равен , где u Ј s. Группы и имеют одинаковые порядки и по свойству (Z) они совпадают. Поэтому и мы доказали, что x — образующий элемент циклической группы G. Пусть теорема уже доказана для всех меньших значений k. Представим N в виде произведения двух взаимно простых множителей N = pq (например, ) . Пусть H и K подгруппы G порядка p и q. Использую 3) и предположение индукции , мы можем считать, что H = Z(x), K = Z(y), причем xy = yx . Элемент xy имеет порядок pq = N и, следовательно, является образующим элементом циклической группы G. 11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп.

Теорема Коши.
Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, отметим, что если g№e и , где p — простое число, то порядок g равен p. В самом деле, если m — порядок g, то p делится на m, откуда m=1 или m=p. Первое из этих равенств невозможно по условиям выбора g.
Индукция , с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на следующей лемме
Лемма.
Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.
Доказательство леммы.
Пусть — элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента . Тогда и значит m делится на p. Но тогда — элемент порядка p.
Доказательство теоремы Коши.
Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то G»Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и , причем n делится на p.

Рассмотрим последовательно несколько случаев

G содержит собственную ( то есть не совпадающую со всей группой и нетривиальную) подгруппу H , порядок которой делится на p. В этом случае порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент порядка p. Поскольку в этом случае теорема доказана.
G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы.
Если G — коммутативна, то возьмем любой . Если порядок g делится на p, то теорема доказана по 1, поскольку Z(g)МG. Если это не так, то , поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны, теорема доказана по 2.
Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста ( то есть не имеет собственных нормальных подгрупп ) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов . Здесь отдельно выделен класс и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g) элемента g№ e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому gОZ(g) = {e}. Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому делится на p . Но тогда — не делится на p, что не соответствует условию.

Замечание.
Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.
Теорема о подгруппах коммутативной группы.
Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме Лагранжа если m — делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа порядка m.
Доказательство.
Проведем индукцию по порядку n группы G. Для n = 2 теорема очевидна. Пусть для всех коммутативных групп порядка < n теорема доказана. Пусть простое p делит m . По теореме Коши в G имеется циклическая подгруппа S порядка p. Так как G коммутативна, S - нормальная подгруппа. В факторгруппе G/S используя предположение индукции выберем подгруппу K порядка m/p .Если естественный гомоморфизм, то - подгруппа G порядка m . Замечание. Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка.