Кольца и полукольца частных

Содержание

Введение
Глава 1.Построение классического полукольца частных
Глава 2.Построение полного полукольца частных
Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных
Библиографический список

Введение
В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.
В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.
Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.
Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы
A1. — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.
1) ;
2)
3)
А2. — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.
1) ;
2)
3)
А3. умножение дистрибутивно относительно сложения
, .
А4. .
Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Глава 1.
Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом
Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .
Будем считать пары и эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.
Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение1. Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .
Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.
Утверждение1.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.
Пусть — делитель нуля, т.е. для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым. ▲
Пусть — коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение ~ на для всех и .
Предложение1. Отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность в силу коммутативности полукольца ;
2. Симметричность ;
3.Транзитивность Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве всех классов эквивалентности

т.к. для , , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно .
Покажем корректность введённых операций
Пусть , , тогда


Теорема1. — коммутативное полукольцо с 1. .
Доказательство.
Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций
сложение для и
1.
2.

Так как правые части равны, то левые части тоже равны

3. покажем, что для .
Так как
Класс является нейтральным по +

Из равенства тогда .
Для составляет отдельный класс, играющий в роль нуля.
умножение для и
1.
2.

Из равенства правых частей следует, что
3. покажем, что для .
Пусть
Класс является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства тогда .
4. умножение дистрибутивно относительно сложения

Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется

Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.
Таким образом, доказано, что является коммутативным полукольцом с 1.
Полукольцо называется классическим полукольцом частных полукольца .▲

Глава 2
Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его область определения – идеал , и он переводит в , где . Аналогично, дробь определена на идеале и переводит в . Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та и другая дробь переводят в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .
Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.
Определение2. Идеал коммутативного полукольца называется плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда, когда .
Свойства плотных идеалов полукольца
10 — плотный идеал.
Доказательство
Пусть для выполнено . Положим , тогда . Таким образом — плотный идеал по определению. ▲
20 Если — плотный идеал и , то идеал плотный.
Доказательство
Если — плотный идеал, то для из равенства следует . Пусть для выполнено . Так как по условию возьмём . Тогда т.к. — плотный идеал получаем отсюда . Таким образом — плотный идеал по определению. ▲
30 Если и — плотные идеалы, то и — так же плотные идеалы.
Доказательство
Положим для выполняется . Пусть , где , . Элемент т.к. , тогда верно равенство отсюда , т.к. — плотный идеал имеем , , и — плотный, . Таким образом — плотный идеал.
Пусть , тогда по определению идеала . С другой стороны значит . Тогда по 20 — плотный идеал. ▲
40 Если , то 0 не является плотным идеалом.
Доказательство.
Пусть . Для и выполнено отсюда 0 не является плотным идеалом. ▲
Определение3. Дробью назовём элемент , где — некоторый плотный идеал. ( — сокращение от — гомоморфизм, в данном случае — гомоморфизм )
Таким образом, — гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого для и .
Введём так же дроби , положив и для .
Сложение и умножение дробей определяются следующим образом
пусть и тогда
,
, .
Покажем, что является идеалом, где т.е. сохраняются операции
1. Если , то .
Пусть , , тогда .
2. Если и , то . По условию .
Так как — коммутативное полукольцо, то .
. Таким образом, — идеал.
Покажем, что идеал является плотным надо доказать, что плотный идеал — , т.е. .
По определению сложения и умножения , т.е. содержит плотный идеал значит, по свойству 20 идеал является плотным.
Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу с нулём и полугруппу с единицей. То есть образуют полукольцо.
Доказательство
1. По определению сложения и умножения
, .
,
2. Коммутативность

3. Ассоциативность
4. Нейтральный элемент.

5. Дистрибутивность

Правосторонняя дистрибутивность аналогично.
Таким образом, дроби образуют полукольцо.
Определение4. Будем писать если и согласованы на пересечении своих областей определений, т.е. для .
Лемма 1. тогда и только тогда, когда и согласованы на некотором плотном идеале.
Доказательство.
Если то и согласованы на . По свойству 30 идеал является плотным. Следовательно, и согласованы на плотном идеале.
Обратно, пусть и согласованы на плотном идеале . Тогда если и , то отсюда в силу плотности идеала , для , но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений и является отсюда следует, что .▲
Лемма 2. Отношение является конгруэнцией на системе .
Доказательство.
Для того чтобы доказать, что — конгруэнция, нужно показать
1. отношение — рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Рефлективность и согласованы на плотном идеале .
Симметричность пусть , т.е. и согласованы на .
Транзитивность пусть и , т.е. и согласованы на плотном идеале
и согласованы на плотном идеале . Значит и согласованы на идеале , являющемся плотным , и согласована с на , тогда согласована с на плотном идеале по Лемме 1
Таким образом, — отношение эквивалентности.
2. отношение сохраняет полукольцевые операции.
Ø Пусть и , т.е. для и для .
Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1 .
Ø Пусть и , т.е. для и для .
Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1 .▲
Теорема2.Если — коммутативное полукольцо то система так же является коммутативным полукольцом. . (Будем называть полным полукольцом частных полукольца )
Доказательство.
— разбивает множество дробей на непересекающихся классов эквивалентности.
По Лемме 2 все тождества выполняющиеся в справедливы и в .
Чтобы убедится, что коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.
1. Дистрибутивность.
Отображения и согласованы на идеале покажем, что образы отображений и совпадают на этом идеале
пусть , где .
Тогда .
Областью определения является . По определению идеала то для , а идеал (свойство 30) то . Тогда по определению сложения отсюда следует . Покажем . По определению
Аналогично .
Тогда
Таким образом, где . По свойству 30 — плотный идеал значит и согласованы на плотном идеале .
2. Коммутативность.
Отображения и согласованы на плотном идеале докажем что их образы совпадают на этом идеале .
Доказано ранее, что пусть элементы тогда
Отсюда следует, что и согласованы на плотном идеале .
Таким образом, по Лемме 1.
Наконец сопоставим дробь с областью определения при которой переходит в .
Предложение2. Отображение является гомоморфизмом т.е. сохраняет операции

Доказательство
1. Пусть , и где и .
Нужно показать, что . Покажем равенство образов и .
Рассмотрим дробь , такую что
для . (1)
С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что для . (2)
Из (1) и (2) следует, что .
По свойству сложения смежных классов
для
2. Пусть , и где и .
Нужно показать, что . Покажем равенство образов и .
Рассмотрим дробь , такую что
для . (3)
С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что для . (4)
Из (3) и (4) следует, что .
По свойству умножения смежных классов
для .
Таким образом гомоморфизм.
Пусть , тогда
т.е. и согласованы на некотором плотном идеале значит для , так как — плотный идеал, то отсюда — инъективно.
Поэтому, гомоморфизм является мономорфизмом и вкладывается в полное полукольцо частных.
Гомоморфизм будем называть каноническим мономорфизмом в .▲

Глава 3.
Определение5.Любому мультипликативно сокращаемому элементу сопоставим плотный идеал . Если , то элемент назовём классической дробью, полагая для .
Теорема3. Множество дробей образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных полукольца .
Доказательство
Рассмотрим отображение , т.е. .
1. Докажем, что — отображение если и , , где , , то .
Имеем
Возьмём элемент из пересечения плотных идеалов , т.е. и
Тогда , домножим на получим . Так как и на выполняется коммутативность по умножению, то , отсюда для .
2. Докажем, что является полукольцевым гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.
2.1

. Покажем, что дробь согласована с на плотном идеале .
Пусть , .

для .
Следовательно .
2.2

.
Идеал содержит , покажем, что и согласованы на плотном идеале .
Пусть , . Тогда
для .
Значит .
Таким образом — полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных в полное полукольцо частных .
3. Докажем, что — инъективный гомоморфизм.
Пусть для . Предположим, что дроби и согласованы на некотором плотном идеале , т.е. для выполнено . Но , . Тогда . Домножим обе части равенства на получим
т.к. — плотный идеал , что противоречит условию.
Значит, является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом в .
Так как , то , где — элемент подполукольца полного полукольца частных , т.е. и . Поскольку — инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм отсюда следует .
Мономорфизм называется вложением классического полукольца частных в полное полукольцо частных полукольца .▲

Библиографический список

1. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров. ВГПУ, 2000.
2. Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва. Мир, 1971. – 288 с.
3. Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров. ВГПУ, 1997. – 131 с.