Элементарные конфортные отображения

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной со значениями в множестве . Обозначают это следующим образом . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)
Задание функции эквивалентно заданию двух действительных функций и тогда , где , . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
1. — линейная функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость . Функция и обратная ей — однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает) ее в раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. . Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. — показательная функция. По определению , т.е. , , . Из определения вытекают формулы Эйлера
;
;
;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную оси , шириной в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие ,
4. — логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению . Выражение называется главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме . — бесконечно-значная функция, обратная к . ,
5. — общая показательная функция. По определению, . Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции ;;; По определению, ; ;
;
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно
,
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости. Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел , , , ,
Решение. По определению, ,, ; если , то очевидно, , ,
, ,
, , ,
, , ,
Найти суммы
1)
2) sinx+sin2x+…+sinnx
Решение. Пусть , а
.
Умножим вторую строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим

;
Преобразуя, получим
,
3. Доказать, что 1) 2)
3) 4)
Доказательство
1) По определению,
2)
3) ;
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций 1) ; 2) ; 3) ;
Решение и, учитывая результаты предыдущего примера, получим
, , ,

Напомним, что
2)
, ,

3)
, ,
, .
Найти действительные и мнимые части следующих значений функций ; ;
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь
; ; ; ;
;
Вычислить 1) ; 3) ; 5) ;
; 4)
; 6)
;
Решение. По определению, ,
1), , ,

,
,

,
,
,

4), , ,

5), , ,

6), , ,
Найти все значения следующих степеней
1) ; 2) ; 3) ; 4);
Решение. Выражение для любых комплексных a и определяются формулой
1)
2)
3)
4) .
8. Доказать следующие равенства
1) ;
2) ;
3)
Доказательство
1) , если , или , откуда , или .
Решив это уравнение, получим , т.е. и
, если
, откуда
, или
, следовательно,
,
3) , если , откуда , или
.
Отсюда , следовательно,