Доказательство великой теоремы Ферма

Автор инженер-механик
Козий Николай Михайлович
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом диофантово уравнение
Аn + Вn = Сn, (1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом
Аn = Сn — Вn (2)
Для доказательства великой теоремы Ферма предварительно докажем вспомогательную теорему (лемму).
ЛЕММА Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел
Nn = U2 – V2 (3)
Уравнение (3) рассматриваем как параметрическое с параметром Nn и неизвестными переменными U и V. Уравнение (3) запишем следующим образом
Nn = U2 – V2 = (U-V)∙(U+V) (4)
Пусть U – V=M (5)
Тогда U = V + M (6)
Из уравнений (4), (5) и (6) имеем
Nn=M∙ (V+M+V)=M∙(2V+M) = 2V∙M+M2 (7)
Из уравнения (7) имеем
Nn — M2=2V∙M (8)
Отсюда V = (9)
Из уравнений (6) и (9) имеем
U = (10)
Из уравнений (9) и (10) следует, что необходимым условием для того чтобы числа U и V были целыми, является одинаковая четность чисел Nn и M оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (9) и (10) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа U и V были целыми, является делимость числа Nn на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа Nn. Следовательно, должно быть
Nn =D·M (11)
где D — натуральное простое или составное число.
С помощью уравнений (9) и (10) определяются числа U и V, удовлетворяющие условиям уравнения (3).
Отсюда следует
Следствие 1-е Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел.
Следствие 2-е Число N=2 в степени n≥3 равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел

Следствие 3-е Любое составное натуральное число в любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел

Доказательство теоремы Ферма
С учетом доказанной леммы можно записать
Nn = Аn = U2 – V2 (12)
Допустим, что великая теорема Ферма имеет решение в натуральных числах. Тогда с учетом уравнений (2) и (11) должны выполняться равенства
Nn = D·M =Аn = Сn — Вn = U2 – V2 (13)
Вn = V2 (14)
Cn = U2 = (15)
В (16)
C (17)
В соответствии с формулами (13) и (14) число Вn равно
Вn = (18)
Из уравнения (15) с учетом уравнения (13) следует
Cn = (19)
Из уравнений (18) и (19) имеем
В (20)
C (21)
Если допустить, что в соответствии с уравнением (20) В – целое число, то из уравнения (21) с очевидностью следует, что C – дробное число.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.