Бипримарные группы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии


Курсовая работа

 

БИПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-33

Стародубова Н.С.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2003


Содержание

Введение

1.Основные обозначения

2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами

3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта

4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп

5. Произведение бипримарной и примарной групп

6. Доказательство теоремы (3)

Заключение

Список литературы


Введение

В данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп.

В третьем пункте данной курсовой работы доказываются следующие теоремы:

Теорема. Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Если подгруппы  и  -разложимы для каждого , то  разрешима.

Теорема. Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Предположим, что  и  --- -замкнуты для каждого . Если  и  -разложимы и -разложимы, то  разрешима.

В четвертом пункте доказазываются приведенные ниже теоремы.

Теорема. Пусть  есть группа Шмидта,  --- 2-разложимая группа, порядки  и  взаимно просты. Если  и  --- конечная неразрешимая группа, то , ,  и  --- простое число  или  для некоторого простого .

Теорема. Пусть  --- группа Шмидта;  --- -разложимая группа, где . Если  и  --- простая группа, то ,  или  и  --- простое число.

В пятом пункте доказываются следующие теоремы:

Теорема. Пусть конечная группа  является произведением своих подгрупп  и  взаимно простых порядков, и пусть  --- бипримарная группа, а  --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в  есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если  неразрешима, то  изоморфна  или .

Теорема. Пусть неразрешимая группа  является произведением бипримарной подгруппы  и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы  есть циклическая, то  изоморфна одной из следующих групп:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , где  --- силовская 3-подгруппа;

7) , порядок  равен , а .


1. Основные обозначения

 

 

группа

  является подгруппой группы

  является нормальной подгруппой группы

 прямое произведение подгрупп  и

 подгруппа Фраттини группы

 фактор-группа группы  по

 множество всех простых делителей натурального числа

 множество всех простых делителей порядка группы

 коммутант группы

 индекс подгруппы  в группе  

2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами

Конечная группа называется -разложимой для простого числа , если силовская -подгруппа выделяется в ней прямым множителем. Нильпотентная группа -разложима для каждого . Через  обозначается множество всех простых делителей порядка группы .

Теорема Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Если подгруппы  и  -разложимы для каждого , то  разрешима.

Теорема (1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы, являющейся произведением нильпотентных подгрупп [??].

Для доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что  --- центр , а если  --- подгруппа группы , то  --- наименьшая нормальная в  подгруппа, содержащая . Группа  называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа  нормальна.

Лемма Пусть  и  --- подгруппы конечной группы , обладающие следующими свойствами:

1)  для всех ;

2) , где .

Тогда .

Доказательство. Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть  --- наибольшая -подгруппа, содержащая  и перестановочная с каждой подгруппой, сопряженной с . Предположим, что  не содержится в . Это означает, что существуют элементы  и  такие, что  не принадлежит . Поэтому  --- собственная подгруппа в  и  есть -группа. Кроме того,  перестановочна с каждой сопряженной с  подгруппой, так как этим свойством обладает . Теперь  для всех , что противоречит выбору .

Итак, . Значит,  и  --- нормальная в  -подгруппа. Из условия 2) следует, что  и . Так как  и , то . Поэтому .

Лемма Пусть конечная группа  с -замкнутыми подгруппами  и . Если , то .

Доказательство. Так как , то  для всех , . Первое условие леммы (5) выполнено. Так как выполняется и второе, то .

 Секцией группы  называется фактор-группа некоторой подгруппы из . Если  не содержит секций, изоморфных симметрической группе  четырех символов, то  называется -свободной.

Лемма Если конечная группа  не является -свободной, то существуют -подгруппы  и  такие, что  нормальна в  и .

Доказательство. По условию в группе  существует секция , изоморфная . Пусть  --- нормальная в  подгруппа индекса , содержащая подгруппу  с индексом . По лемме Фраттини , где  --- силовская -подгруппа из , Так как  имеет индекс  в силовской -подгруппе из , то  разрешима и содержит -холловскую подгруппу . Кроме того,  и .

Лемма Конечная группа, содержащая нильпотентную -холловскую подгруппу, -разрешима.

Доказательство. Достаточно показать непростоту группы  в случае, когда  делит . Предположим, что  простая и  делит . В -свободных группах нет нильпотентных -холловских подгрупп [??], отличных от -силовской. Если  не -свободна, то по лемме (??) существует ненильпотентная -подгруппа. Это противоречит теореме Виландта [??]. Лемма доказана.

Через  обозначим произведение всех разрешимых нормальных в  подгрупп.

Лемма Пусть конечная группа  и пусть  разрешима, а  взаимно прост с . Если в  существует нилъпотентная -холловская подгруппа, то  разрешима.

Доказательство. Если  --- -группа, то  разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть  делит  и  --- минимальная нормальная в  подгруппа. Если , то  и  разрешима по индукции, поэтому разрешима и . Пусть . Тогда  и  имеет порядок взаимно простой с . Значит нильпотентная -холловская подгруппа из  содержится в  и  -разрешима по лемме(2). Из минимальности  следует, что  разрешима. Итак, в любом случае  содержит разрешимую нормальную подгруппу . Фактор-группа  удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и . Лемма доказана.

Теорема (??) вытекает из следующей более общей теоремы

Теорема Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Предположим, что  и  --- -замкнуты для каждого . Если  и  -разложимы и -разложимы, то  разрешима.

Доказательство индукцией по порядку . Пусть  --- минимальная нормальная в  подгруппа. Фактор-группа , а подгруппы  и  будут - и -разложимыми и -замкнутыми для каждого . По индукции  разрешима, а  неразрешима. Поэтому  и . Следовательно, в  единственная минимальная нормальная подгруппа.

Пусть  и пусть  и  --- силовские -подгруппы из  и  соответственно. Так как  и  р-замкнуты и , то  по лемме (??). Но  содержит точно одну минимальную нормальную подгруппу. Поэтому либо , либо . Итак для каждого , либо  не делит , либо  не делит . Следовательно, порядки  и  взаимно просты. Но теперь  --- простая группа.

Так как группа Судзуки  нефакторизуема(4), то по теореме Глаубермана (4)порядок  делится на , а по теореме Фомина (2) порядок одного из факторов, пусть порядок , делится на . Теперь в  существует нильпотентная -холловская подгруппа. По лемме (3)группа  разрешима. Теорема доказана.

3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта

Пусть конечная группа  является произведением двух своих подгрупп  и , причем  есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы  при дополнительных ограничениях на подгруппы  и  получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если  дедекиндова, т. е. в  все подгруппы инвариантны, то простая группа  описана автором в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа  в случае, когда  --- нильпотентная группа.

Основным результатом настоящей заметки является

Теорема Пусть  есть группа Шмидта,  --- 2-разложимая группа, порядки  и  взаимно просты. Если  и  --- конечная неразрешимая группа, то , ,  и  --- простое число  или  для некоторого простого .

 обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в  подгруппу.

Из этой теоремы непосредственно следует описание простых групп , если  --- группа Шмидта, а  --- -разложимая группа, где  состоит из простых делителей порядка  и 2 (см. теорему(2)). В теореме (5) доказано, что неразрешимая группа , где подгруппа  есть группа Шмидта, а  --- нильпотентная подгруппа, есть группа из заключения теоремы(4).

Рассматриваются только конечные группы.  обозначает порядок группы , а  --- множество всех простых делителей . Если  --- некоторое множество простых чисел, то  --- наибольшая инвариантная в  -подгруппа.  --- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с  подгруппами в . Остальные обозначения можно найти в [??].

Свойства групп Шмидта хорошо известны [??], наиболее полно они изложены в(5). В данной работе они используются без ссылок.

Следующие два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.

Теорема Мазуров -- Сыскин 9 Если  --- простая группа с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелевой силовской 2-подгруппе из группы Шмидта, то  для некоторого .

Теорема Гольдшмидт 10 Если в простой группе  силовская 2-подгруппа  неабелева и , для всех  и некоторой абелевой неединичной подгруппы  из , то  или .

Лемма  Пусть разрешимая группа , где  --- группа нечетного порядка,  --- 2-замкнутая группа четного порядка и . Если , то  

Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Введем следующие обозначения: ;  --- минимальная инвариантная в  подгруппа; ;  --- силовская 2-подгруппа;  --- ее дополнение. Ясно, что . Если , то , отсюда и . Пусть  и  --- минимальная инвариантная -подгруппа в . Тогда  и , где  --- силовская -подгруппа  для . Можно считать, что , поэтому . Кроме того,  неинвариантна в , значит  --- собственная в  подгруппа. Замечание Фраттини дает, что . Теперь  и . Так как , то , т. е.  --- собственная в  подгруппа. Порядки  и  взаимно просты, поэтому . По индукции , поэтому и . Лемма доказана.

Доказательство теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа  --- контрпример минимального порядка. Пусть ,  --- инвариантная силовская -подгруппа,  --- силовская -подгруппа. Так как факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической -группой, то благодаря теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что .

Допустим, что группа  непроста и  --- минимальная инвариантная в  подгруппа. Тогда  --- неразрешимая группа.

Предположим, что  не содержит . Тогда  нильпотентна, а так как , то по теореме Я. Г. Берковича (6) подгруппа  имеет четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа в  неабелева. Так как , то из свойств групп Шмидта следует, что  содержится в  и  --- силовская 2-подгруппа в . Если  непроста, то  --- неразрешимая группа, где  --- некоторая инволюция из центра . Так как  и  --- группа Шмидта четного порядка, то по индукции ,  или ,  --- простое число. Замечая, что  и  --- абелева группа порядка 4 или , получаем, что, . Теперь  должно быть четным числом, значит, . В этих случаях  и  --- группа кватернионов порядка 8, что противоречит тому, что . Следовательно,  --- простая группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа  изоморфна . Поэтому , значит,  и

Порядок факторгруппы  равен , и  делится на . Так как , то  делит порядок . Это противоречит взаимной простоте порядков факторов.

Следовательно,  содержит подгруппу . Так как  --- циклическая силовская подгруппа в , то  --- простая группа и по индукции ,  или , где  --- простое число. Так как ,  разрешима, a , то . Теперь  изоморфна некоторой подгруппе из . Если  или , то  или .  допускает факторизацию с группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа  не допускает требуемой факторизации. Если  --- простое число, то и  --- простое число. Так как , где , то . Противоречие.

Таким образом,  --- простая группа.

Предположим, что силовская 2-подгруппа группы  абелева. Тогда по результату Уолтера [??] группа  может быть изоморфной только одной из следующих групп: ,  или , группе Янко порядка 175560 или группе  типа Ри. Из групп  для указанных  лишь группы  или , где  --- простое число, допускают нужную факторизацию [??]. Группа Янко не допускает требуемой факторизации [??]. Порядок группы  делится более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому  неизоморфна .

В дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в  неабелева. Так как порядки  и  взаимно просты, то некоторая силовская 2-подгруппа  из  содержится либо в , либо в . Если , то  и группа  изоморфна  для некоторого . Но в этом случае , поэтому ,  и  делит . Так как , то  делит . Но порядок  делится на , а значит, и на . Противоречие.

Следовательно, . Теперь , ,  --- инвариантное 2-дополнение в . Если , то  и  ввиду леммы Бернсайда [??]. Поэтому ,  --- элементарная абелева -группа и  --- показатель числа  по модулю . Из результатов Уолеса [??] непосредственно получаем, что . Противоречие.

Значит, . Введем следующие обозначения:  --- минимальная инвариантная в  подгруппа;  --- силовская подгруппа из , содержащая ; ; . Так как , то  и  разрешима. Кроме того,  и по лемме С. А. Чунихина ((4), см. также лемму 1.16.1 из(3))  не содержит подгрупп инвариантных в . Применяя лемму (??) настоящей работы, получаем, что . Так как  и , то и . Таким образом, .

Пусть . Покажем, что  для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому , . Теперь . Так как , то . Применяя результат Гольдшмидта, получаем:  или . Но этот изоморфизм ввиду  невозможен. Противоречие. Теорема доказана.

Лемма Пусть  --- простое число, делящее порядки групп  и . Если  --- группа Шмидта, а  --- -разложимая группа, то группа  непроста.

Доказательство. Пусть  --- силовская -подгруппа из , а  --- силовская -подгруппа из , для которых  и  есть силовская -подгруппа в  [??].

Пусть  инвариантна в . Тогда для любого , ,  имеем: . По лемме Кегеля [??] группа  непроста.

Пусть  неинварпантна в . Тогда  циклическая и каждая собственная подгруппа из  инвариантна в . Если  --- силовская подгруппа в , то  и , где  --- силовская подгруппа из . По лемме Бернсайда группа  непроста. Пусть  не является силовской в . Тогда  содержится как подгруппа индекса  в некоторой группе , . Для элемента  теперь  содержит  и . Если , то  непроста по лемме Бернсайда. Если , то  и  непроста по лемме С. А. Чунихина.

Теперь из теоремы (2) и леммы (5) вытекает

Теорема Пусть  --- группа Шмидта;  --- -разложимая группа, где . Если  и  --- простая группа, то ,  или  и  --- простое число.

Ясно, что условие теоремы (??) охватывает случай, когда  нильпотентна.

Теорема Пусть  --- неразрешимая группа, где  --- группа Шмидта,  --- нильпотентная группа. Тогда .  и  --- простое число,  или  для некоторого простого числа .

Доказательство. Пусть группа  --- контрпример минимального порядка. Как и в теореме (??), пусть . Ясно, что . Группа  не является произведением группы Шмидта и нильпотентной группы, поэтому из теоремы (??) следует, что порядки  и  не взаимно просты, а из леммы (??) вытекает, что  --- непростая группа.

Допустим, что порядок  делится на  и пусть  --- силовская -подгруппа из . Тогда  --- неразрешимая группа, поэтому из теоремы Виландта-Кегеля следует, что . Так как  есть -группа, то  и по лемме из (4) группа  есть -группа, противоречие. Следовательно, порядок  не делится на . Но тогда  делит порядок . Рассуждая как и в лемме, получаем, что , а из следует, что .

Пусть  --- минимальная инвариантная в  подгруппа. В силу теоремы Виландта-Кегеля  и  разрешима. Если , то, применяя к  индукцию, получаем, что  или  и  --- простое число, а группа  из заключения теоремы, противоречие. Значит, , кроме того,  и , где  --- силовская -подгруппа из ,  --- инвариантное -дополнение в . Проверка показывает, что  --- простая группа. Пусть  --- силовская -подгруппа из , для которой . Если , то централизатор элемента  из  содержит подгруппы  и , что противоречит простоте . Далее, , поэтому  --- подгруппа. Но , значит, .

Пусть  --- силовская 2-подгруппа в , тогда  --- силовская в . Как и в теореме (??), можно показать, что  неабелева и  неизоморфна . Значит, . Пусть ,  --- дополнение к  в . Если , то повторение соответствующих рассуждений из теоремы приводит к противоречию. Значит, . Так как , то из результата Уолеса заключаем, что  изоморфна одной из следующих групп: , , , , , . Для них группа Шмидта  должна иметь соответственно следующие порядки: , , , , , , причем , 5, 7, 7, 13 или 17 соответственно. Но это возможно лишь когда  или  и в  силовская 3-подгруппа  абелева. Так как  и в  и  силовские 3-подгруппы неабелевы, то получили противоречие. Теорема доказана.

4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп

В (1) описаны конечные неразрешимые группы, являющиеся произведением двух подгрупп взаимно простых порядков, одна из которых есть группа Шмидта, а вторая --- 2-разложимая группа (см. также(2)). Все свойства группы Шмидта хорошо известны, в частности, она бипримарна, т. е. ее порядок делится в точности на два различных простых числа, и в ней содержится неединичная циклическая силовская подгруппа.

Развивая указанный результат работы(6), мы доказываем в настоящей заметке следующую теорему.

Теорема Пусть конечная группа  является произведением своих подгрупп  и  взаимно простых порядков, и пусть  --- бипримарная группа, а  --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в  есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если  неразрешима, то  изоморфна  или .

 обозначает произведение всех разрешимых инвариантных в  подгрупп.

Следствие Пусть группа  обладает факторизацией, указанной в теореме(3). Тогда, если порядок  не равен 3 или 1, то  разрешима.

Доказательство теоремы 1 начинается с изучения частного случая, когда подгруппа  примарная. Описанию этого случая, причем без предположения четности порядка подгруппы , посвящена

Теорема Пусть неразрешимая группа  является произведением бипримарной подгруппы  и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы  есть циклическая, то  изоморфна одной из следующих групп:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , где  --- силовская 3-подгруппа;

7) , порядок  равен , а .

Так как бипримарные группы разрешимы, то группа  из теоремы (7) имеет порядок, делящийся в точности на три различных простых числа. Такие простые группы к настоящему времени известны лишь в случае, когда они содержат циклическую силовскую подгруппу. Этим и вызвано требование цикличности силовской подгруппы в условии теоремы(8), а следовательно, и в условии теоремы(8).

Если будут известны все простые группы порядка , где ,  и  --- различные простые числа, то методы доказательства теоремы (5) позволят описать неразрешимые группы с указанной в теореме (5) факторизацией без предположения цикличности подгруппы .

Используются следующие обозначения:  и  --- симметрическая и знакопеременная группы степени , ,  и  --- циклическая, элементарная абелева и соответственно диэдральная группы порядка . Полупрямое произведение групп  и  с инвариантной подгруппой  обозначается через . Примарной называется группа, порядок которой есть степень простого числа.

Предварительные леммы

Лемма Если группа  является произведением двух подгрупп  и  взаимно простых порядков и  --- субинвариантная в  подгруппа, то .

Доказательство. Если  --- инвариантная в  подгруппа, то  --- -холловская в  подгруппа, где , а  --- -холловская в  подгруппа(9). Поэтому . Если теперь  --- инвариантная в  подгруппа, то опять

                    

и т. д.

Лемма Если группа  является произведением примарной подгруппы нечетного порядка и 2-разложимой подгруппы, то  разрешима.

Доказательство. Пусть ,  --- -группа,  --- нечетное простое число,  --- 2-разложимая группа. В  существует силовская -подгруппа  такая, что , где  --- некоторая силовская -подгруппа из (7). Так как  разрешима, то , где  --- -холловская подгруппа из . Но теперь . По лемме Бернсайда (5)группа  непроста. Инвариантная подгруппа  в  по лемме факторизуема, т. е. , поэтому  разрешима по индукции. Фактор-группа  также разрешима по индукции. Поэтому разрешима и .

Лемма Группы  и  не содержат бипримарные холловские подгруппы.


Доказательство. Пусть . Тогда порядок  равен  и силовская 7-подгруппа в  самоцентрализуема. Так как порядок  больше порядка , то  не содержит подгруппы порядка .

Предположим, что существует подгруппа  порядка . По теореме Силова о числе силовских подгрупп подгруппа  7-замкнута, т. е. подгруппа  порядка 7 из  инвариантна в . Но теперь  изоморфна подгруппе группы всех автоморфизмов , которая изоморфна . Противоречие.

Допустим, что есть подгруппа  порядка . Как и в предыдущем случае, подгруппа  не может быть 7-замкнутой. Так как индекс в  нормализатора  силовской 7-подгруппы сравним с 1 по модулю 7, то  и . Поэтому 4 должно делить порядок , а это невозможно. Таким образом, в  нет бипримарных холловских подгрупп.

Теперь пусть . Тогда порядок  равен , силовская 3-подгруппа  из  неабелева и . Силовская 2-подгруппа  также неабелева и  имеет экспоненту 2. Нормализатор силовской 5-подгруппы  в  имеет порядок 20, а централизатор  в  совпадает с  [??].

Предположим, что существует подгруппа  порядка . Тогда  3-замкнута, а так как  ненильпотентна, то . Подгруппа  неабелева, поэтому минимальная инвариантная в  подгруппа  имеет порядок не более чем . Теперь  изоморфна подгруппе из группы всех авторморфизмов . Но  --- элементарная абелева, поэтому , где , и  имеет порядок, не делящийся на 5. Таким образом, , но тогда . Противоречие.

Допустим, что существует подгруппа  порядка . Пусть  --- минимальная инвариантная в  подгруппа. Так как  имеет порядок 20, то  неинвариантна в  и  есть 2-группа. По теореме Машке [??] подгруппа  есть прямое произведение неприводимых -групп . Подгруппа  самоцентрализуема, поэтому  не централизуют  и по [??] порядок  равен  для всех . Следовательно,  и . Фактор-группа  имеет порядок 20, поэтому она 5-замкнута и  инвариантна в . Теперь . Пересечение  инвариантно в , поэтому . Таким образом, , и  изоморфна циклической группе порядка 4 из . Это противоречит тому, что  имеет экспоненту 2.

Если G содержит подгруппу порядка , то индекс этой подгруппы в  будет равен 5. Поэтому  изоморфна подгруппе симметрической группы  степени 5. Но порядок  больше порядка . Противоречие.

Лемма Группа  содержит подгруппу порядка  и не содержит бипримарные холловские подгруппы других порядков.

Доказательство. Пусть . Тогда порядок  равен  и  --- дважды транзитивная группа степени 13. Поэтому стабилизатор  одной точки будет холловской подгруппой порядка . Силовская 3-подгруппа в  неабелева. Нормализатор силовской 13-подгруппы имеет порядок , а централизатор --- 13 [??].

Пусть  --- подгруппа порядка . По теореме Силова  --- 13-замкнута. Поэтому центр  неединичен. Противоречие.

Допустим, что есть подгруппа  порядка . Так как  не 13-замкнута, то минимальная инвариантная в  подгруппа  есть 3-группа. Подгруппа  абелева, поэтому . Теперь силовская 13-подгруппа централизует . Значит, центр  отличен от 1. Противоречие.

5 Произведение бипримарной и примарной групп

В этом параграфе мы докажем теорему(1), сформулированную во введении.

 Доказательство теоремы(3). Через  обозначим циклическую силовскую -подгруппу в . Порядки  и  взаимно просты, поэтому в  каждая субинвариантная подгруппа факторизуема. Фактор-группа  удовлетворяет условию теоремы(5). Так как , то при  по индукции фактор-группа  изоморфна одной из групп, перечисленных в заключении теоремы(3). Следовательно, можно считать, что .

Пусть  --- минимальная инвариантная в  подгруппа. Подгруппа  неразрешима и является произведением изоморфных простых групп. Порядок  делится на , и силовская -подгруппа в  --- циклическая, поэтому  --- простая группа.

Предположим, что в  есть еще одна минимальная инвариантная подгруппа . Тогда . Но силовские -подгруппы  и  содержатся в циклической -группе , поэтому . Следовательно,  --- единственная в  минимальная инвариантная подгруппа.

Централизатор  подгруппы  инвариантен в , и . Из единственности  следует, что , поэтому  изоморфна группе автоморфизмов .

Порядок простой группы  делится в точности на три простых числа и силовская -подгруппа в  циклическая. Поэтому  изоморфна , где , 7, 8, 9 или 17, , ,  [??]. Кроме того,  --- бипримарная холловская подгруппа в . В группах , ,  и  нет бипримарных холловских подгрупп (см. [??] и лемму (??) настоящей работы).

Если  изоморфна ,  или 7, то  и  имеет порядок 2. Поэтому либо , либо ,  или 7. Группа  допускает единственную факторизацию, а именно . Группа  допускает только две факторизации с взаимно простыми порядками факторов:  и .

Допустим, что  --- собственная в  подгруппа. Если , то , . Так как , то  --- подгруппа индекса 2 в , а . Подгруппа  имеет единичный центр, поэтому централизатор  в  имеет порядок 1 или 2. В первом случае  и  из пункта 4) теоремы (??). Во втором случае  и силовская 2-подгруппа в ) должна быть абелевой, что невозможно. Таким образом, если , то , а .

Пусть теперь . Если , то индекс  в  равен 2, а так как  --- совершенная группа, то . Но это противоречит тому, что в  силовская 2-группа диэдральная. Поэтому для  одна возможность: . Но тогда , а , т. е. для  возможна единственная факторизация, указанная в пункте 5).

Теперь рассмотрим случай, когда . Эта группа допускает единственную факторизацию, указанную в пункте 3) теоремы. Пусть . Так как  --- подгруппа индекса 3 в , то . Причем , а . Но тогда ,а  --- силовская 3-подгруппа из .

Осталось рассмотреть случай, когда . Так как индекс  в группе автоморфизмов  равен 2, то либо , либо . Но в  нет подгрупп индекса 13.

Применяя лемму (??), заключаем, что  из пункта 7) теоремы. Теорема (??) доказана полностью.

Следствие  Пусть группа  является произведением бипримарной подгруппы  с неединичной циклической силовской подгруппой  и примарной подгруппы . Тогда, если порядок  не равен 3 или 7, то  разрешима.

Доказательство. Пусть  --- контрпример минимального порядка. Так как фактор-группа  неразрешима, то из теоремы 2 следует, что она изоморфна , где , 7 или 8; ,  или 7; . Поэтому порядок -группы  равен 3 или 7. Значит,  или 7, .

Пусть  --- минимальная разрешимая инвариантная в  подгруппа. Ясно, что  есть -группа, а так как  циклическая, то  порядка . Централизатор  подгруппы  инвариантен в , поэтому . Кроме того, . Если , то  разрешима по индукции, a  примарна или бипримарна, т. е. разрешима и , противоречие. Следовательно, , и  содержится в центре  группы .

Пусть  --- коммутант группы . По [??] пересечение  равно 1. Значит,  не содержится в . Из цикличности  следует, что подгруппа  имеет порядок, не делящийся на , т. е.  разрешима. Теперь и  разрешима, противоречие. Следствие доказано.

Группы Шмидта и -квазинильпотентные группы обладают неединичной циклической силовской подгруппой. Поэтому следствие обобщает результаты И. П. Д окторова [??] и М. И. Кравчука [??].

6. Доказательство теоремы (3)

Допустим, что теорема неверна и группа  --- контрпример минимального порядка. Пусть  --- циклическая силовская -подгруппа в , а , где  --- силовская 2-подгруппа в ,  --- ее инвариантное дополнение в . В силу леммы (??) условие теоремы выполняется для , поэтому мы можем считать, что .

Пусть  --- минимальная инвариантная в  подгруппа. Тогда  неразрешима,  и по лемме (??) порядок  делится на . Силовская -подгруппа  циклическая, поэтому  --- простая группа. Теперь, если  --- другая инвариантная в  подгруппа, то силовская -подгруппа  пересекается с  не по единице. Из минимальности  следует, что  содержится в . Таким образом,  --- единственная минимальная инвариантная в  подгруппа. Так как централизатор  подгруппы  инвариантен в  и пересекается с  по единице, то и . Следовательно,  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы .

Если  --- собственная в  подгруппа, то по индукции  изоморфна . Но тогда  изоморфна , противоречие.

Таким образом,  --- простая группа. В силу теоремы (??) подгруппа  неединична.

Введем следующие обозначения:  --- минимальная инвариантная в  подгруппа,  --- силовская подгруппа из , содержащая , . Так как  инвариантна в , то .

Допустим, что . Напомним, что  --- наибольшая инвариантная в группе  -подгруппа. Так как  и , то и . Поэтому . Пусть . Покажем, что  для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому  для некоторого . Теперь . Так как  инвариантна в , то . По теореме Гольдшмидта получаем, что либо  абелева, либо  изоморфна  или . Если  абелева, то группа  разрешима, противоречие. Так как , то изоморфизм  с группами  и ) невозможен.

Таким образом, . Группа , и  не содержит подгрупп, инвариантных в . По лемме 1 из [??] группа  неразрешима. Значит,  бипримарна, и  делит порядок . По индукции  изоморфна  или .

Допустим, что  имеет четный порядок. Подгруппа  факторизуема, a  инвариантна в , значит, и . Если  содержит неединичную подгруппу, инвариантную в , то и  содержит подгруппу, инвариантную в , противоречие. По лемме 1 из [??] подгруппа  неединична, противоречие. Следовательно, порядок  нечетен.

Теперь силовская 2-подгруппа  из  изоморфна силовской 2-подгруппе из группы  или , т. е.  --- диэдральная группа порядка 8 или 16. Поэтому и изоморфна  или ,  нечетное. Но этот изоморфизм ввиду  невозможен. Теорема доказана.

Доказательство следствия теоремы. Пусть утверждение неверно и группа  --- контрпример минимального порядка. Фактор-группа  неразрешима и по теореме она изоморфна  или . Поэтому порядок -группы  равен 3 или 7. Значит, . Теперь, повторяя дословно второй и третий абзацы доказательства следствия теоремы, мы приходим к противоречию.


Заключение

Итак, в данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп. Доказываются следующие теоремы:

Теорема. Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Если подгруппы  и  -разложимы для каждого , то  разрешима.

Теорема. Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Предположим, что  и  --- -замкнуты для каждого . Если  и  -разложимы и -разложимы, то  разрешима.

Теорема. Пусть  есть группа Шмидта,  --- 2-разложимая группа, порядки  и  взаимно просты. Если  и  --- конечная неразрешимая группа, то , ,  и  --- простое число  или  для некоторого простого .

Теорема. Пусть  --- группа Шмидта;  --- -разложимая группа, где . Если  и  --- простая группа, то ,  или  и  --- простое число.

Теорема. Пусть конечная группа  является произведением своих подгрупп  и  взаимно простых порядков, и пусть  --- бипримарная группа, а  --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в  есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если  неразрешима, то  изоморфна  или .

Теорема. Пусть неразрешимая группа  является произведением бипримарной подгруппы  и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы  есть циклическая, то  изоморфна одной из следующих групп:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , где  --- силовская 3-подгруппа;

7) , порядок  равен , а .


Список литературы

[1] Huppert B., Endliche Gruppen. I, Berlin--Heidelberg --- N. Y., Springer--Verlag, 1967.

[2] Glauberman G., Factorizations in local subgroups of finite groups, Reg. Con. Ser. Math., № 33, (1977), 77.

[3] Сыскин С. А., Об одном вопросе Р. Бэра, Сиб. матем. ж. 20, № 3 (1979), 679-681.

[4] Монахов В. С., Произведение сверхразрешимой и циклической или примерной групп, Сб., Конечные группы (Тр. Гомельского семинара), Минск, "Наука и техника", 1978, 50-63

[5] Фомин А. Н., Одно замечание о факторизуемых группах, Алгебра и логика, 11, № 5 (1972), 608-611.

[6] В. Huppert, Math. Zeit., 64, 138, 1956.

[7] В. А. Ведерников, Матем. зам., 3, 201, 1968.

[8] И. П. Докторов, ДАН БССР, 13, 101, 1969.

[9] П. И. Трофимов, ДАН СССР, 167, 523, 1966.

[10] В. С. Монахов, ДАН БССР, 18, № 7, 584, 1974.

[11] С. А. Чунихин, Л. А. Шеметков, сб. Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969, М., 7, 1971.

[12] О. Ю. Шмидт, Матем. сб., 31, 366, 1924.

[13] L. Redei, Publ. Math. Debrecen,4, 303, 1956.

[14] В. Д. Мазуров, С. А. Сыскин, Матем. заметки, 14, 217,1973.

[15] D. Gодdsсhmidt, Not. Amer. Math. Soc., 20, № 1, 1973.

[16] Я. Г. Бeркович, ДАН СССР, 171, 770, 1966.

[17] В. С. Монахов, ДАН БССР, 15, 877, 1971.

[18] Z. Jankо, J. Algebra, 3, 147. 1966.

[19] Н. Ward, Trans. Amer. Math. Soc., 121, 62, 1966.

[20] B. Huppert, Endliche Gruppen I, Berlin, 1967.

[21] D. Wales, Algebra, 20, 124, 1972.

[22] С. А. Чyнихин, Труды семинара по теории групп, М.-Л., 1938.

[23] С. А. Чунихин, Подгруппы конечных групп, Минск, 1964.

[24] В. Huppert, N. Itо, Math. Z., 61, 94, 1954.

[25] J. Walter, Annals Math., 89, 405, 1969.

[26] N. Ito, Acta scient. math., 15, 77, 1953.

[27] В. С. Монахов, Матем. зам., 16, 285, 1974.

[28] Монахов В. С., О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта, Докл. АН БССР, 18, № 10 (1974), 871-874.

[29] Конечные группы, Тр. Гомельского семинара, Минск, Наука и техника, 1975.

[30] Huppert В., Endliche Gruppen, Bd. I, Berlin, Springer- Verlag, 1967.

[31] Leon J., Wales D., Simple groups of order 2aZbpc with cyclic Sylow -groups, J. Algebra, 29 № 2 (1974), 246-254.

[32] Докторов И. П., Об одном классе факторизуемых групп, Докл. АН БССР, 13, № 2 (1969), 101-102.

[33] Goldschmidt D., 2-fusion in finite groups, Ann. Math., 99, № 1 (1974), 70-117.

[34] Монахов B.C., К двум теоремам Ведерникова, Докл. АН БССР, 15, № 10 (1971), 877-880.

[35] Gоrеnstein D., Walter J., The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, J. Algebra, 2 (1965), 85-151, 218-270, 334-397.