Алгебра матриц

Основные понятия
Определение. Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется – матрицей.
Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы. Например, матрица

.

.

В сокращенной записи А=(аij); где аij — действительные числа, i=1,2,…m;
j=1,2,…,n (кратко , . ). Произведение называют размером матрицы.
Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n

Упорядоченный набор элементов а11,а22,…,аnn называется главной диагональю, в свою очередь, а1n,а2,n-1,…,аn1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию
называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид

Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид

.

Линейные операции над матрицами
Определение. Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров называется матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij+bij для всех i и j.
.
Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,
A + B = = C
Определение. Произведение матрицы А на число l называется матрица lА=(l аij), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число l.

Например, если и l=5, то
Разность матриц А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.
Рассмотренные операции называются линейными.
Отметим некоторые свойства операций.
Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; a,b — действительные числа.
А+В = В+А – коммутативность сложения.
(А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения.
Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля А+О=А.
Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.
a(bА) = (ab)А = (aА)b. 6. (a+b)А = aА+bА.
7. a(А+В) = aА+aВ. 8. 1* А = А. 9. 0 * А = 0.
Умножение матриц
В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция.
Определение. Произведением матрицы А=(аij) размера и прямоугольной матрицы B=(bij) размера называется прямоугольная матрица С=(сij) размера , такая что cij=ai1+b1j+ ai2+b2j+…+ aik+bkj; , .
Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.
.
Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Это условие, а также размеры матриц можно представить схемой

Очевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда определена.
Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.
1. , .

2. , .

Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е. В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т.е.
3. , .
Для этих матриц произведение как АВ ,так и ВА не существует.
,

Получим , ВА – не существует.
Свойства умножения матриц.
Пусть А,В,С – матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l — действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства
(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность.
(А+В)С = АС+ВС – дистрибутивность.
А(В+С) = АВ+АС – дистрибутивность.
l(АВ) = (lА)В = А(lВ).
ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.
Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.
Пусть для А=(аij), B=(bij), C=(cij) произведения матриц определены. Найдем элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А(В+С). Это будет число
аi1(b1j+c1j)+ аi2(b2j+c2j)+…+аin(bnj+cnj) =
(аi1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)+ (аi1c1j+ai2c2j+…+aincnj).
Первая сумма в правой части равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и j, то свойство 3 доказано.
Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц
, , .
Упражнение 2. Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц
, , .
Упражнение 3. Найти матрицу А3, если .
Вырожденные и невырожденные матрицы
Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.
Пример. , = 16-15 = 1 0; А – невырожденная матрица.
, = 12-12 = 0; А – вырожденная матрица.
Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.
Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е. =0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является вырожденной.
Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е. =0. Найдем , т.к. =0; итак, =0; АВ — вырожденная матрица.
Замечание. Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей.
Обратная матрица
Определение. Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если
АВ = ВА = Е. (1)
Пример. , .

В – матрица обратная к А.
Теорема. Если для данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно.
Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что
АХ = ХА = Е (2)
АУ = УА = Е (3)
Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е. Х = У. Теорема доказана.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).
Обратная матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.
Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А-1, т.е. А А-1 = А-1А = Е. Тогда, ½А А-1½= ½А½½А-1½=½Е½=1, т.е. ½А½0 и ½А-1½0; А – невырожденная.
Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица порядка n
,
так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А
,
ее называют присоединенной к матрице А.
Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А*, для .
Найдем произведения матриц АА* и А*А. Обозначим АА* через С, тогда по определению произведения матриц имеем Сij = аi1А 1j + а i2А 2j + … + а inАnj; i = 1, n j = 1, n.
При i = j получим сумму произведений элементов i — ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом Сij = |А| = D — это элементы главной диагонали матрицы С. При i j, т.е. для элементов Сij вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак, = АА*
Аналогично доказывается, что произведение А на А* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А*А = АА* = С. Отсюда следует, что

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять , то Итак, обратная матрица существует и имеет вид
.
Пример. Найдем матрицу, обратную к данной

Находим D = |А| = -1 ⊃1; 0, А существует. Далее находим алгебраические дополнения элементов матрицы А
А = = 0 ; А = = -1; А = = 3;
А = = -3; А = = 3; А = = -4;
А = = 1; А = = -1; А = = 1;
А =
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http //www.monax.ru/