Алгебра и алгебраические системы

Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
п.1. Бинарные и n-местные операции.
Пусть — непустое множество, то есть .
Определение. Бинарной операцией на множестве называется ото­бражение прямого произведения .
Другими словами если каждой упорядоченной паре элементов мно­жества поставлен в соответствие единственный элемент из , то гово­рят, что задана бинарная операция на множестве .
Пример.
Пусть — произвольные высказывания
— бинарная операция на множестве высказываний.
Пусть — произвольные множества
— бинарная операция на множестве множеств.
Пусть
— бинарная операция на множестве действительных чисел.
— не является бинарной операцией на множестве , так как .
Если — произвольная бинарная операция на множестве и паре ставится в соответствие элемент (то есть ), то вместо записи пишут , то есть имеем . Элемент называется компози­цией элементов .
Определение. Пусть . Отображение назы­вается — местной операцией на множестве . Число — ранг опера­ции.
Определение. Нульместной операцией на множестве называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число назы­вается рангом нульместной операции.
Определение. Одноместные операции называются унарными опера­циями. Другими словами унарная операция каждому элементу из множе­ства ставит в соответствие элемент из множества , то есть унарная опе­рация – это отображение множества во множество .
Унарную операцию называют оператором.
Пример.
Пусть — множество натуральных чисел
— унарная операция
— не является унарной операцией
На множестве высказываний операция — унарная опера­ция
На множестве подмножеств универсального множества операция до­полнения – унарная операция.
Определение. Отображение из множества называется частич­ной — местной операцией на множестве , если область определе­ния отображения не совпадает с .
Виды бинарных операций
Пусть — бинарные операции на множестве .
Операция — коммутативна на множестве .
Операция — ассоциативна на множестве .
Операция — дистрибутивна слева относительно операции .
Операция дистрибутивна справа относительно операции .
Пример.
Операция на множестве — коммутативна, ассоциативна.
Операция на множестве — коммутативна, ассоциативна.
На множестве множеств операции и дистрибутивны относи­тельно друг друга.
На множестве функций композиция функций — ассоциативная опера­ция, не является коммутативной операцией.
п.2. Понятие алгебры.
Определение. Алгебра , где , — множество опера­ций на .
Другими словами если мы говорим об алгебре, то считаем, что за­дано множество и заданы операции.
Пример.
Пусть — множество высказываний
— алгебра логики высказываний.
Пусть — множество натуральных чисел
— алгебра натуральных чисел относительно операций и .
Определение. Алгебра называется подалгеброй алгебры , если множество ; — ограничение операции .
Определение. Алгебраическая система — это упорядоченная тройка , где , — множество операций на ; — мно­жество отношений на .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М. Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М. Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М. Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М. Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http //referat.ru/