Система счисления

Система счисления

Система счисления

Содержание
Что такое система счисления?
Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?
Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Сложение в различных системах счисления
Вычитание в различных системах счисления
Умножение в различных системах счисления
Деление в различных системах счисления

Что такое система счисления?
Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.
Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.
Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел
· в двоичной системе 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
· в троичной системе 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
· в пятеричной системе 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
· в восьмеричной системе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно

Двоичная система
Четверичная система
Восьмеричная система
Десятичная система
Шестнадцатиричная система

1
1
1
1
1

10
2
2
2
2

11
3
3
3
3

100
10
4
4
4

101
11
5
5
5

110
12
6
6
6

111
13
7
7
7

1000
20
10
8
8

1001
21
11
9
9

1010
22
12
10
A

1011
23
13
11
B

1100
30
14
12
C

1101
31
15
13
D

1110
32
16
14
E

1111
33
17
15
F

10000
40
20
16
10

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами
· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
· двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – p». Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p
N = anpn+an-1pn-1+ … +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ … (1.1)
здесь N – число, aj – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p>1). Принято представлять числа в виде последовательности цифр
N = anan-1 … a1a0 . a-1a-2 …
Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Пример Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

Ответ 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.
Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. Перевести 23.125102 с.с.

1. Переведем целую часть
2. Переведем дробную часть
3. Таким образом

2310 = 101112; 0.12510 = 0.0012. Результат 23.12510 = 10111.0012.

Системы счисления называются кратными, если выполняется соотношение S = RN, где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число 2, 3 … ).
Для перевода числа из системы счисления R в кратную ей систему счисления S поступают следующим образом двигаясь от точки влево и вправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системы счисления S.

Таблица

Перевести 1101111001.11012″8″ с.с.
Перевести 11111111011.1001112″16″ с.c.

Для перевода числа из системы счисления S в кратную ей систему счисления R достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00512) и младших (15,124000) разрядах.

Перевести 305.48″2″ с.с.
Перевести 7B2.E16″2″ с.с.

Если требуется выполнить перевод из системы счисления S в R, при условии что они не являются кратными, тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K, такую что S = KN и R = KN.
Перевести 175.248″16″ с.с.

Результат 175.248 = 7D.516.
Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следует выполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную систему счисления.

Для всего этого примеры
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
Например

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например

Сложение в различных системах счисления
Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Вычитание в различных системах счисления

Умножение в различных системах счисления
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Деление в различных системах счисления
Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

«