Логический вывод на основе нечеткой метаимпликации
О.А. Мелихова
В работе подробно рассмотрена суть логического вывода на основе нечеткой метаимпликации, с помощью примеров показана максиминная свертка нечетких отношений, используемая в моделях принятия решений и при распознавании нечетких образов.
При выполнении нечетких выводов используются нечеткие соответствия R, заданные между одной проблемной областью (множество X) и другой областью (множество Y) в виде нечеткого подмножества прямого произведения , определяемого по формуле [7,13]
, (1.1)
где область отправления, область прибытия, функция принадлежности нечеткому соответствию R, а знак означает совокупность (объединение) множеств.
Если существует правило типа “если A, то B”, использующее нечеткие множества A и B , то один из способов построения нечеткого соответствия R состоит в следующем
или
, (1.2)
где функции принадлежности элементов x, y соответственно множествам A и B.
Пример 1. Пусть X и Y- области натуральных чисел от 1 до 4. Определим следующим образом нечеткие множества A= “маленькие”, B= “большие”.
X=Y={1,2,3,4}, т.е. для примера взят частный случай соответствия- отношение на множестве {1,2,3,4}
.
Для примера “если x маленькое, то y большое” (или , где знак означает операцию нечеткой метаимпликации) можно построить нечеткое отношение R следующим образом
y1
y2
y3
y4
x1
0
0,1
0,6
1
R=
x2
0
0,1
0,6
0,6
x3
0
0,1
0,1
0,1
x4
0
0
0
0
В качестве элементов матрицы R записаны значения , вычисленные по формуле (1.2).
Для свертки нечетких отношений чаще выбирается свертка max-min (максиминная композиция). Пусть R нечеткое соответствие множества X и множества Y, а S нечеткое соответствие множества Y и множества V. Тогда нечеткое соответствие между X и V определяется как свертка (композиция) , где
или
. (1.3)
Пример 2. Пусть и заданы нечеткие множества A = “не маленькие”, H = “очень большие”, где
.
Тогда для правила “если y не маленькое, то v очень большое” (или ), в соответствии с формулой (1.2) нечеткое соответствие S определяется как
v1
v2
v3
v4
y1
0
0
0
0
S=
y2
0
0
0,4
0,4
y3
0
0
0,5
0,9
y4
0
0
0,5
1
Если теперь по формуле (1.3) вычислить свертку max-min с нечетким отношением R, полученным в примере 1.1, то из двух отношений
если x маленькое, то y большое,
если y не маленькое, то v очень большое
можно построить нечеткое отношение из X в V.
y1
y2
y3
y4
v1
v2
v3
v4
x1
0
0,1
0,6
1
y1
0
0
0
0
=
x2
0
0,1
0,6
0,6
y2
0
0
0,4
0,4
=
x3
0
0,1
0,1
0,1
y3
0
0
0,5
0,9
x4
0
0
0
0
y4
0
0
0,5
1
v1
v2
v3
v4
x1
0
0
0,5
1
=
x2
0
0
0,5
0,6
x3
0
0
0,1
0,1
x4
0
0
0
0
Модель принятия решений на основе композиционного правила вывода описывает связь всех возможных состояний сложной системы с управляющими решениями. Формально модель задается в виде тройки (X,R,Y), где базовые множества, на которых заданы, соответственно, входы и выходы системы, R нечеткое соответствие “вход-выход”. Соответствие R строится на основе словесной качественной информации специалиста (эксперта), путем непосредственной формализации его нечетких стратегий. Эксперт описывает особенности принятия решений при функционировании сложной системы в виде ряда высказываний типа “если , то , иначе, если , то , иначе, …, если , то ”. Здесь , ,…, нечеткие подмножества, определенные на базовом множестве X, а , ,…, нечеткие подмножества из базового множества Y. Все эти нечеткие подмножества задаются функциями принадлежности и .
Способ построения нечеткого отношения связывает высказывания эксперта по правилу “если , то ” и определяется функцией принадлежности , получаемой по формуле (1.2). Связка “иначе” между правилами понимается как или-связка, поскольку общее нечеткое отношение состоит из правило 1, или правило 2 , или, …, или правило N. Поэтому общее отношение R формально определяется следующим образом
, где i=1,…, N. (1.4)
Если предположить, что мы имеем нечеткое событие , т.е. входную ситуацию, представленную нечетким подмножеством, и известно общее отношение R, тогда результирующее действие выводится по композиционному правилу вывода . Значение функции принадлежности для вычисляется посредством максиминной операции, определяемой уравнением
. (1.5)
Рассмотренный логический вывод на основе нечеткой обобщенной метаимпликации хорошо зарекомендовал себя при использовании в экспертных системах, а также при принятии решений в реальном масштабе времени в задачах управления и контроля.
Список литературы
Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. /М. Математика сегодня, 1974, с.5-49.
Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. Пер. с франц. М. Радио и связь, 1990, 288с.