Сопромат

Задача № 1

Тема: Расчет на прочность статически определимых систем при растяжении и сжатии

Требуется:

1. Построить эпюру продольного усилия Ni

2. По условию прочности подобрать размер поперечного сечение «а», если =160 МПа

3. Для рассчитанного размера поперечного сечения построить эпюру нормальных напряжений  

4. Построить эпюру осевых перемещений W и найти наибольшую величину относительных деформаций , если

5. Определить потенциальную энергию упругих деформаций U


Дано:                                                            7

Р1 = 50 кН;   l1 = 3 м ;        Øa                                                                                     2a

Р2 =65 кН;   l2 = 2 м ;                                                Ø2a                    a                              2a

Р3 =40 кН;   l3 = 3 м ;                                                                             a                                         

Р4 =10 кН;   l4 = 1м ;                                       D                             C                          B                         A 

Формы сечения:                   Ra                                            P4                           P3                               P2                           P1

А1 № 11    А3 № 4

А2 №  9    А4 № 7                                  IV                               III                                        II           I

                                                          l 1                        l2                                     l3                         l4

Ni = ? ;  = ? ;  = ?;                                                                                                    N1     P1

 = ? ; “a” = ? ;                                        45                           55                    

                                                                                                         15        

                                            +                                                                                    Эп.N (kH)

                                            -

                                                      16                                                                               50

                                                                         3,69                  2

                                           +                                                                                     Эп.σ(МПа)

                                           -                                                                                                                       

                                                                                                                                                        

                                                                                                                         13

                                                                            1,99                    2,986                 3,534                     6,9

                                                             0                                                                                         

Эп.∆l(мм)                                 +

Решение:

Определяется сила реакции опор RА из уравнения статики:


Делим на 4 участка, обозначая их римскими цифрами (I, II, III, IV), а также характерные сечения через заглавные буквы (А, В, С, D, Е).

Определяется продольная сила на каждом участке методом сечения:

Строится эпюра продольных сил Ni

Определяется площадь поперечных сечений на каждом участке

А1=а*а=а2

А2=2а*а=2а2

А3=2а*2а=4а2

Определяется нормальное напряжение на каждом участке через 1/а2

Определяется максимальное значение нормального напряжения, не превышающее допускаемого напряжения, равное 160 МПа:

Максимальное значение напряжения на третьем участке

Находится значение «а»:

Принимается а = 19,4мм

Определяются действительные значения площадей поперечных сечений:

Определяются истинные значения нормального напряжения на каждом участке:

10. Строится эпюра нормального напряжения  

11. Определяется относительная продольная деформация на каждом участке:

, где Е = 2 105МПа

12. Определяется относительная продольная деформация  по сечениям:

13. Определяется относительное удлинение  и строится эпюра этих значений (Рис 1д):

Определяется максимальное значение относительного удлинения:

14. Определяется удельная потенциальная энергия

15. Определяется полная удельная потенциальная энергия

16. Определяется относительная погрешность нормального напряжения:

Задача №2

Тема: Расчет на прочность статически неопределимых систем при сжатии и растяжении

Дано:

Схема бруса

Размеры и нагрузки

Материал брусьев – сталь 3

Допускаемое напряжение

Модуль продольной упругости


Требуется:

Определить допускаемую нагрузку для ступенчатого бруса

Дано:

l = 30 см = 0,3 м = 300 мм

А = 10 см2 =

К = 0,15

[Р] = ?

                                                                                         Эп. N (kH)            Эп. σ (kH)                           Эп. l (мм)   

                              Ra

                                                                                             +   -                       + -                                    + -

         

                      A                                                                                                                                          A

1.5l                                                 3A      I               255                            53

                                                                                                                                                                   0,02

                                                                                                                                                                       

        B                          2A           II                                      133                                              В

    l                                                                                                                                                          0,047

                                                                                                                                                                 C

               C                                                          425                                                                       С

 

1.5l                                   4P           4A   III                                              66,4                                       0,066

                                                                                                                                                           D

                 D

     l                                          A             IV                                      255                               159

                             E                                                                                                                             0,035

                                                                                                                                                            E

 

    ∆                                    Re

 

Решение:

Составляется уравнение статики

Составляется уравнение совместности деформации УСД:

 - от заданных сил

 - УСД (1)

Определяются продольные силы на каждом участке:

 =? когда нет RE

Находим относительное удлинение на каждом участке

Определяется  - относительное удлинение силы реакции опор, когда нет сил Р и 2Р:

Подставляем значения  и  в уравнение (1)

Подставляем значение силы  в уравнение статики

Определяем значения продольных сил, подставляя значения

Определяется значение нормального напряжения на каждом участке

Находим максимальное значение нормально напряжения

Принимаем Р = 170 кН

Определяются действительные значения продольных сил:

10. Определяются истинные значения нормального напряжения на каждом участке :

Находим относительное удлинение

Находим относительное удлинение по сечениям

Определяем относительное удлинение

По заданной формуле вычисляем значение зазора , оно должно соответствовать значению

Проверка

Задача № 3

Тема: Расчет на прочность статически неопределимых систем при растяжении и сжатии.

Требуется:

Найти усиление и напряжение в стержнях, выразив через силу Р1

Определить допускаемую нагрузку [Р], если [σ] = 160 МПа

Найти предельную нагрузку Рпр, если [σ1] = 240 МПа и h1 = 1,5

Сравнить величины допускаемых нагрузок Рпр и Р, для чего найти их отношения.

Дано:

А=14см2 = 14·10 - 4м

а=2,3м

в=2,7см

с=1,7см

[σ] =160 МПа

hТ = 1,5


Найти: Р=?, РТ =?, [РТ] =?

Решение.

1. Составляется уравнение статики для стержневой системы

1. Σ Мi = 0; Ν1·a-P(a+c) +N2cos 45·b =0

2. Σ Zi =0; Z0 +Ν2· cos45 = 0

3. Σ Yi =0; Y0 + Ν1– P - N2·cos 45 = 0

В три уравнения равновесия входят четыре неизвестные силы, и, следовательно, задача является статически неопределимой. Для составления уравнения рассмотрим деформацию конструкции.

2. Рассмотрим подобие двух треугольников ;


Рассмотрим   для нахождения деформации системы.

             OB=b       OA=a

                                                                             y0                                                          N1
                                                         В                                                           

                                 N2                                                           Р                   P


            B1                                                                ∆l1

          B2                  O                                     A

             B                                                                A1            ∆l2

     

3. Подставляем  в уравнение моментов и выражаем их через Р

 

4. Находим значения нормальных напряжений σ1, σ2

σ1 =  

σ1 =  

Принимаем

5. Находим действительные значения Ni

6. Находим действительные значения σi

σ1 = =678,57=160МПа

σ2 = =339,29=79,7МПа

7. Определяем предельную нагрузку Pпр, исходя из условия равновесия

Σ Мi = 0; Ν1·а– Р·(a+c) + N2cos 45·b =0, где N1 = σт · А, и N2 = σт · 2А; σт=240МПа

8. Находим предельно допускаемую нагрузку

Задача № 4

Тема: Расчет статически определимых брусьев на прочность и жесткость при кручении.

Дано:

Схема бруса.

Размеры нагрузки.

Требуется:

Рассчитать брус на прочность и жесткость

Построить эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов поворота.


Дано:

m1 = 400 Н∙м

m2 = 1200 Н∙м

m3 = 2400 Н∙м

m4 = 400 Н∙м

m5 = m5 Н∙м

[τ] = 40 МПа

[θ] = 0,5

d = 0,5

d1 = 1.5b

d2 = 2b

d3 = 2.5b

a = 0.3 м

Найти: Т, τ, θ - ?

Решение.

Составим уравнение статики:

Σ Мi = 0

m1 – m2 – m3 + m4 + m5 = 0

m5 = - m1 + m2 + m3 – m4 = - 400 + 1200 + 2400 – 400 = 2800 H·м

T1 = + m1 = 400 H·м

T2 = m1 – m2 = 400 – 1200 = - 800 H·м

T3 = m1 – m2 – m3 = - 800 – 2400 = - 3200 H·м

T4 = m1 – m2 – m3 = - 800 – 2400 = - 3200 H·м

T5 = m1 – m2 – m3 + m4 = – 2800 H·м

T6 = m1 – m2 – m3 + m4 + m5 = 0 H·м

Определяем полярный момент сопротивления на каждом участке Wpi:

Определяется касательное напряжение на каждом участке по формуле , выражая каждое значение через 1/b3

Определяем максимальное значение касательного напряжения из пяти значений:

τmax = max {τ1, τ2, τ3, τ4, τ5} ≤ [τ] ;

τ3 ≤ [τ]

Определяется полярный момент инерции по данной формуле  на каждом участке:

5. Определяем относительный угол закручивания по формуле

Определяем максимальное значение:

Примем максимальное значение из полученных значений b:

b≥{|b1|,|b2|} = b1 = 54,3 мм = 54,3·10 - 3 м = 55мм

6. Определяем действительные значения касательного напряжения τi:

Определяем действительные значения относительного угла закручивания θi:

Определяем по формуле значение перемещения

Находим числовые значения перемещения Δφi по сечениям:

φА = 0

φВ = φА + φ1 = 0 + 0,000176053 = 0,000176053 рад;

φС = φВ + φ2 = 0,000176053 + 0,000149169 = 0,000325222 рад;

φD = φС + φ3 = 0,000325222 + 0,000168185 = 0,000493407 рад;

φЕ = φD + φ4 = 0,000493407 + 0,000168185 = 0,000661592 рад;

φF = φЕ + φ5 = 0,000661592 + 0,003477358 = 0,00413895 рад;

φG = φF + φ6 = 0,00413895 + 0= 0,00413895 рад.