Практические задачи по ТОУЭС
1. Рассчитайте параметры сетевого графа
Работа i, j
Продол. tij
Ранние сроки
Поздние сроки
Полный резерв rn
Свободн. резерв rсв
tiPH
tjPO
tiПH
tjПО
(0, 1)
10
0
10
5
15
5
5
(0, 2)
8
0
8
0
8
0К
0
(0, 3)
3
0
3
6
9
0
0
(1, 5)
3
10
13
15
18
5
5
(2, 4)
4
8
12
9
13
1
1
(2, 6)
6
8
14
8
14
0К
0
(3, 6)
5
3
8
9
14
6
6
(4, 5)
1
12
13
17
18
5
5
(4, 10)
16
12
28
11
27
-1
-1
(5, 7)
5
13
18
18
23
5
5
(6, 8)
4
14
18
14
18
0К
0
(6, 10)
12
14
26
15
27
1
1
(7, 10)
4
18
22
23
27
5
5
(8, 9)
6
18
24
18
24
0К
0
(9, 10)
3
24
27
24
27
0К
0
К – критические операции
Продолжительность критического пути 8 + 6 + 4 + 6 + 3 = 27
2. Оценить с достоверностью 90% оптимистичный и пессимистичный срок завершения работ.
Эксперты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
6
7
6
5
4
4
4
5
6
6
6
4
4
8
10
3
4
4
5
6
Упорядочиваем по возрастанию
10, 8, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3
Отбрасываем первые два значения и находим Qопт
Qопт = 89 / 18 = 4,94
Упорядочиваем по убыванию и аналогично находим Qпес
Qпес = 100 / 18 = 5,55
Находим Qср
Qср = 107 / 20 = 5,35
Отклонение Qопт от Qср – 7,6%; Qпес от Qср – 3,7%. Оба значения в пределах 10%, таким образом достоверность 90% обеспечена.
3. Рассчитать требуемое количество экспертов, при котором влияние 1 эксперта на среднюю оценку составляет не более x = 9%.
Пробная оценка x + 1 экспертов
6, 7, 6, 5, 4, 4, 4, 5, 6, 6
х = 9% => 0,91 £ E £ 1,09
Qср = 53 / 10 = 5,3
b = 10
T =
Таким образом, 9 человек – требуемое количество экспертов для проведения групповой оценки с влиянием одного эксперта не более 9%.
4. Проверить оптимальность указанных планов
f (x) = 3 x1 + 2 x2 – 4 x3 +5 x4 –> max
3 x1 + 2 x2 + 2 x3 – 2 x4 ⊃3; -1
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 – x4 ⊃3; -1
x1 ⊃3; 0 x2 ⊃3; 0
x3 ⊃3; 0 x4 ⊃3; 0
Координаты вектора x(1) не соответствуют ограничениям, т .к. х2 < 0
Остальные векторы подставляем в систему неравенств
Таким образом, вектор х (4) тоже не удовлетворяет условиям. Вычисляем значения f(x)
x(2) f (x) = 0 + 4 – 0 + 5 = 9
x(3) f (x) = 0 + 0 — 4 + 5 = 1
Функция достигает максимума в x(2) (0, 2, 0, 1).
5. Решить графически задачу линейного программирования
f (x) = 2 x1 + 4 x2 –> min
x1 + 2 x2 £ 5
3 x1 + x2 ⊃3; 5
0 £ x1 £ 4 0 £ x2 £ 4
Найдем множество решений неравенств
х1 + 2 х2 £ 5, если х1 = 0, то х2 £ 2,5
если х2 = 0, то х1 £ 5 точки прямой 1 (0; 2,5) и (5; 0)
3 х1 + х2 ⊃3; 5, если х1 = 0, то х2 ⊃3; 5
если х2 = 0, то х1 ⊃3; 1, 67 точки прямой 2 (0; 5) и (1,67; 0)
Найдем координаты точек A, B, C, D
A (1,67; 0) и D (4; 0) – из неравенств
B (1; 2) как точка пересечения прямых из системы
С (4; 0,5) – x1 = 4 из неравенства x1<4, а x2 из уравнения 4 + 2 x2 = 5
Вычислим значение функции в этих точках
A f (x) = 2 * 1,67 + 4 * 0 = 3,33
B f (x) = 2 * 1 + 4 * 2 = 10
C f (x) = 2 * 4 + 4 * 0,5 = 10
D f (x) =2 * 4 + 4 * 0 = 8
Функция принимает минимальное значение в точке A (1,67; 0).
6. Решить задачу
Механический завод при изготовлении 3-х разных деталей использует токарный, фрезерный и строгальный станки. при этом обработку каждой детали можно вести 2-мя разными способами. В таблице указаны ресурсы времени каждой группы станков, нормы времени при обработке детали на соответствующем станке по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы детали каждого вида.
Норма времени, станко/час
Ресурсы времени
Станок
I деталь
II деталь
III деталь
1
2
1
2
1
2
Токарный
0,4
0,9
0,5
0,5
0,7
–
250
Фрезерный
0,5
–
0,6
0,2
0,3
1,4
450
Строгальный
0,3
0,5
0,4
1,5
–
1,0
600
Прибыль
12
18
30
Определить производственную программу, обеспечивающую максимальную прибыль.
Решение
Пусть x1, x2, x3 – загрузка станков.
Таким образом 0 £ x1 £ 250;
0 £ x2 £ 450;
0 £ x3 £ 600.
При первом способе технологической обработки получаем
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,7 x3 £ 250
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,3 x3 £ 450
0,3 x1 + 0,4 x2 £ 600
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,3 x3 ⊃3; 12
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,4 x3 ⊃3; 18
0,7 x1 + 0,3 x2 ⊃3; 30
Необходимо найти решение, при котором f (x) = 12 x1 + 18 x2 + 30 x3 –> max
Каноническая форма записи
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, xi > 0, i = 4, 5,…12
x1 + x4 = 250; x2 + x5 = 450; x3 + x6 = 600
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,7 x3 + x7 = 250
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,3 x3 + x8 = 450
0,3 x1 + 0,4 x2 + x9 = 600
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,3 x3 – x10 = 12
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,4 x3 – x11 = 18
0,7 x1 + 0,3 x2 + x12 = 30
f (x) = 12 x1 + 18 x2 + 30 x3 –> max
Стандартная форма записи
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0
x1 £ 250, x2 £ 450, x3 £ 600
-0,4 x1 — 0,5 x2 — 0,7 x3 ⊃3; -250
-0,5 x1 — 0,6 x2 — 0,3 x3 ⊃3; -450
-0,3 x1 — 0,4 x2 ⊃3; -600
-0,4 x1 — 0,5 x2 — 0,3 x3 £ -12
-0,5 x1 — 0,6 x2 — 0,4 x3 £ -18
-0,7 x1 — 0,3 x2 £ -30
f (x) = -12 x1 — 18 x2 — 30 x3 –> min
Находим, что x1 = 0,25 x2 = 0,8 x3 = 277
Значение функции f (x) = 12 * 0,25 + 18 * 0,8 + 30 * 277 = 10082