Методы прогнозирования финансовых показателей
1.Модель с аддитивной компонентой
Аддитивную модель прогнозирования можно представить в виде формулы
F = T + S + E
где F – прогнозируемое значение; Т – тренд; S – сезонная компонента;
Е – ошибка прогноза.
Алгоритм построения прогнозной модели
Для прогнозирования объема продаж, имеющего сезонный характер, предлагается следующий алгоритм построения прогнозной модели
1.Определяется тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. Существенным моментом при этом является предложение использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели.
2.Вычитая из фактических значений объёмов продаж значения тренда, определяют величины сезонной компоненты и корректируют таким образом, чтобы их сумма была равна нулю.
3.Рассчитываются ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.
Применение алгоритма рассмотрим на следующем примере.
Исходные данные Объемы фактических расходов бюджета _________ района, взяты из месячной и годовой отчетности финансового управления администрации ________ района. Данная статистика характеризуется тем, что значения объёма продаж имеют выраженный сезонный характер с возрастающим трендом. Исходная информация представлена в табл. 1.
табл.1
Объем фактических расходов
1 кв. 1999 г.
24518
2 кв. 1999 г.
23778
3 кв. 1999 г.
25143
4 кв. 1999 г.
27622
1 кв. 2000 г.
26149
2 кв. 2000 г.
24123
3 кв. 2000 г.
27580
4 кв. 2000 г.
30854
1 кв. 2001 г.
29147
2 кв. 2001 г.
26478
3 кв. 2001 г.
30159
4 кв. 2001 г.
33149
1 кв. 2002 г.
32451
Реализуем алгоритм построения прогнозной модели, описанный выше. Решение данной задачи рекомендуется осуществлять в среде MS Excel, что позволит существенно сократить количество расчётов и время построения модели.
1. Определяем тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. Для этого рекомендуется использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели)
Таблица 2. Расчёт значений сезонной компоненты
Значение тренда
Сезонная компонента
1 кв. 1999 г.
24518
24518
0
2 кв. 1999 г.
23778
24962
-1184
3 кв. 1999 г.
25143
25012
131
4 кв. 1999 г.
27622
25217
2405
1 кв. 2000 г.
26149
26098
51
2 кв. 2000 г.
24123
26958
-2835
3 кв. 2000 г.
27580
27495
85
4 кв. 2000 г.
30854
28017
2837
1 кв. 2001 г.
29147
28964
183
2 кв. 2001 г.
26478
29617
-3139
3 кв. 2001 г.
30159
30498
-339
4 кв. 2001 г.
33149
31485
1664
1 кв. 2002 г.
32451
32451
0
Скорректируем значения сезонной компоненты таким образом, чтобы их сумма была равна нулю.
Таблица 3. Расчет средних значений сезонной компоненты
1999 г.
2000 г.
2001 г.
Итого
Среднее
Сезонная компонента
1 кв.
0
51
183
234
78
89,75
2 кв.
-1184
-2835
-3139
-7158
-2386
-2374,25
3 кв.
131
85
-339
-123
-41
-29,25
4 кв.
2405
2837
1664
6906
2302
2313,75
Сумма
-47
0
-11,75
3. Рассчитываем ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.
Таблица 4. Расчёт ошибок
расходы
Значение модели
Отклонение
1 кв. 1999 г.
24518
24607,75
-89,75
2 кв. 1999 г.
23778
22587,75
1190,25
3 кв. 1999 г.
25143
24982,75
160,25
4 кв. 1999 г.
27622
27530,75
91,25
1 кв. 2000 г.
26149
26187,75
-38,75
2 кв. 2000 г.
24123
24583,75
-460,75
3 кв. 2000 г.
27580
27465,75
114,25
4 кв. 2000 г.
30854
30330,75
523,25
1 кв. 2001 г.
29147
29053,75
93,25
2 кв. 2001 г.
26478
27242,75
-764,75
3 кв. 2001 г.
30159
30468,75
-309,75
4 кв. 2001 г.
33149
33798,75
-649,75
1 кв. 2002 г.
32451
32540,75
-89,75
Находим среднеквадратическую ошибку модели (Е) по формуле
Е= Σ О2 Σ (T+S)2
где Т- трендовое значение объёма расходов; S – сезонная компонента; О- отклонения модели от фактических значений
Е=(3079106/(361151*361151))*100% = 0,002361%
Величина полученной ошибки позволяет говорить, что построенная модель хорошо аппроксимирует фактические данные, т.е. она вполне отражает экономические тенденции, определяющие объём расходов, и является предпосылкой для построения прогнозов высокого качества.
2. Модель с мультипликативной компонентой.
В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является константой, а представляет собой определенную долю -фондового значения, т.e. значение сезонной компоненты увеличивается с возрастанием значений тренда. Например, рассмотрим график следующих данных об объемах расходов. Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем примере, подвержен сезонным колебаниям, и значения его в разные кварталы разные. Однако размах вариации фактических значении относительно линии тренда постоянно возрастает. Такую ситуацию можно представить с помощью модели с мультипликативной компонентой
A=T*S*Е
1.3.1. Расчет сезонной компоненты
Отличие расчета сезонной компоненты для мультипликативной модели от аддитивной модели заключается лишь в том, что в колонку 6 вписываются коэффициенты сезонности (аналог оценок сезонной компоненты в аддитивной модели)
Сезонные коэффициенты представляют собой доли тренда, поэтому принимают, что их сумма должна равняться количеству сезонов в году, т.е. 4, а не нулю, как в аддитивной модели.
Итого за 4 квартала
Скользящая средняя за 4 квартала
Центрированная скользящая средняя
Оценка сезонной компоненты
Y
S
T
Y/T=S*E
1 кв. 1999 г.
24518
2 кв. 1999 г.
23778
3 кв. 1999 г.
25143
101061
25265,25
4 кв. 1999 г.
27622
102692
25673
25469,125
1,084528817
1 кв. 2000 г.
26149
103037
25759,25
25716,125
1,016832824
2 кв. 2000 г.
24123
105474
26368,5
26063,875
0,925533905
3 кв. 2000 г.
27580
108706
27176,5
26772,5
1,030161546
4 кв. 2000 г.
30854
111704
27926
27551,25
1,119876594
1 кв. 2001 г.
29147
114059
28514,75
28220,375
1,032835318
2 кв. 2001 г.
26478
116638
29159,5
28837,125
0,918191394
3 кв. 2001 г.
30159
118933
29733,25
29446,375
1,024200772
4 кв. 2001 г.
33149
122237
30559,25
30146,25
1,099606087
1 кв. 2002 г.
32451
Десезонализация данных при расчете тренда
Десезонализация данных производится по формуле
Точки, образующие представленный на графике тренд, достаточно сильно разбросаны, что более близко к реальной действительности, чем в предыдущем примере.
1999 г.
2000 г.
2001 г.
Итого
Среднее
Сезонная компонента
1 кв.
1,0168
1,0328
2,0496
0,6832
0,912225
2 кв.
0,9255
0,9182
1,8437
0,6146
0,843592
3 кв.
1,0302
1,0242
2,0544
0,6848
0,913825
4 кв.
1,0845
1,1199
1,0996
3,304
1,1013
1,330358
Сумма
3,0839
4
0,9161
0,229
Фактический объем расходов
Сезонная компонента
Десезонолизированный объем продаж
Y
S
Y/S
1 кв. 1999 г.
24518
0,912225
26877,14106
2 кв. 1999 г.
23778
0,843591667
28186,62267
3 кв. 1999 г.
25143
0,913825
27514,02074
4 кв. 1999 г.
27622
1,330358333
20762,82706
1 кв. 2000 г.
26149
0,912225
28665,07715
2 кв. 2000 г.
24123
0,843591667
28595,58831
3 кв. 2000 г.
27580
0,913825
30180,83331
4 кв. 2000 г.
30854
1,330358333
23192,2477
1 кв. 2001 г.
29147
0,912225
31951,54704
2 кв. 2001 г.
26478
0,843591667
31387,22328
3 кв. 2001 г.
30159
0,913825
33003,03669
4 кв. 2001 г.
33149
1,330358333
24917,34683
1 кв. 2002 г.
32451
0,912225
35573,46049
Расчет ошибок
Ошибки прогнозируемых объемов расходов расчитывают по формуле
E =A/(T*S)
Объем расходов
Сезонная компонента
Тренд
Ошибка
1 кв. 1999 г.
24518
0,912225
26877,1411
1
2 кв. 1999 г.
23778
0,84359167
28186,6227
1
3 кв. 1999 г.
25143
0,913825
27514,0207
1
4 кв. 1999 г.
27622
1,33035833
20762,8271
1
1 кв. 2000 г.
26149
0,912225
28665,0771
1
2 кв. 2000 г.
24123
0,84359167
28595,5883
1
3 кв. 2000 г.
27580
0,913825
30180,8333
1
4 кв. 2000 г.
30854
1,33035833
23192,2477
1
1 кв. 2001 г.
29147
0,912225
31951,547
1
2 кв. 2001 г.
26478
0,84359167
31387,2233
1
3 кв. 2001 г.
30159
0,913825
33003,0367
1
4 кв. 2001 г.
33149
1,33035833
24917,3468
1
1 кв. 2002 г.
32451
0,912225
35573,4605
1
Можно предположить, что величина ошибки второго прогноза будет несколько ниже чем первого.
3. Прогноз методом скользящей средней и экспоненциального сглаживания.
Для предсказаний значений временного ряда можно использовать более простую методику.
При расчете скользящей средней Ytnp c (m) все m значений параметра Y за m моментов времени учитываются с одинаковым весовым коэффициентом 1/m что не всегда обосновано. Для прогнозирования технико – экономических трендов момент времени, в котором наблюдалось значение параметра Y, играет решающее значение. Естественно предположить, что зависимость во временных рядах постепенно ослабевает с увеличением периода между двумя соседними точками. Так, если зависимость прогнозируемою параметра Yt представляется более сильной от значения Yt-1, чем от Yt-s то
наблюдениям временного ряда следует придавать веса, которые должны уменьшаться но мере удаления oт фиксированного момента времени t. Это обстоятельство учитывается в методе экспоненциального сглаживания. Таким образом, при вычислении .ко экспоненциальной средней используются лишь предшествующая экспоненциальная средняя и последнее наблюдение, а все предыдущие наблюдения игнорируются.
Например, пусть необходимо дать прогноз для t-=8 но данным следующего временного ряда 1) методом скользящей средней для m=3, m =4$ 2) методом экспоненциального о сглаживания для =0,2; 0,6.
1 кв. 1999 г.
24518
2 кв. 1999 г.
23778
3 кв. 1999 г.
25143
4 кв. 1999 г.
27622
1 кв. 2000 г.
26149
2 кв. 2000 г.
24123
3 кв. 2000 г.
27580
4 кв. 2000 г.
30854
1 кв. 2001 г.
29147
2 кв. 2001 г.
26478
3 кв. 2001 г.
30159
4 кв. 2001 г.
33149
1 кв. 2002 г.
32451
Метод скользящей средней
Y14пр с(3) = (30159+33149+32451)/3=31919,67
Y14пр с (13) = (24518+23778+25143+27622+26149+24123+27580+30854+29147+ 26478+30159+33149+32451)/13 = 27780,846
Метод экспоненциального сглаживания
0,2
погрешность
1 кв. 1999 г.
24518
#Н/Д
#Н/Д
2 кв. 1999 г.
23778
23778
#Н/Д
3 кв. 1999 г.
25143
24870
#Н/Д
4 кв. 1999 г.
27622
27071,6
#Н/Д
1 кв. 2000 г.
26149
26333,52
1851,838704
2 кв. 2000 г.
24123
24565,1
2106,426154
3 кв. 2000 г.
27580
26977,02
2223,149967
4 кв. 2000 г.
30854
30078,6
3109,499653
1 кв. 2001 г.
29147
29333,32
2886,08454
2 кв. 2001 г.
26478
27049,06
2831,47259
3 кв. 2001 г.
30159
29537,01
2496,160001
4 кв. 2001 г.
33149
32426,6
3207,855423
1 кв. 2002 г.
32451
0,6
погрешность
1 кв. 1999 г.
24518
#Н/Д
#Н/Д
2 кв. 1999 г.
23778
23778
#Н/Д
3 кв. 1999 г.
25143
24324
#Н/Д
4 кв. 1999 г.
27622
25643,2
#Н/Д
1 кв. 2000 г.
26149
25845,52
2081,334719
2 кв. 2000 г.
24123
25156,51
2167,926259
3 кв. 2000 г.
27580
26125,91
1741,283327
4 кв. 2000 г.
30854
28017,14
3224,65661
1 кв. 2001 г.
29147
28469,09
3136,065979
2 кв. 2001 г.
26478
27672,65
3032,922749
3 кв. 2001 г.
30159
28667,19
1951,31804
4 кв. 2001 г.
33149
30459,91
3174,532132
1 кв. 2002 г.
32451
рис. 8.
Число членов скользящей средней m и параметр -экспоненциального сглаживания ( определяется статистикой исследуемою процесса. Чем мень-ше m и чем больше , тем сильнее peaгирует пpoгноз на колебания временного ряда, и наоборот, чем больше m и чем меньше , чем более инерционным является процесс прогнозирования. Для подбора оптимального параметра прогнозирования необходимо провести сглаживание временною ряда с помощью нескольких различных значений параметра m или затем определить среднюю ошибку прогнозов и выбрать параметр, соответствующий минимальной ошибке.