Математическое программирование и моделирование в экономике и управлении

Министерство образования РФ
Санкт-Петербургская Лесотехническая академия им. С. М. Кирова

Кафедра математических методов и моделирования в экономике и управлении

Курсовая работа по математическому программированию и моделирования в экономике и управлении.

Выполнила студентка ФЭУ, II курса, 4 группы
д/о, направление 521500
менеджмент
Гузеева Ольга
Зачётная книжка № 600033
Преподаватели П. Н. Коробов, А. А. Моисеев

Санкт-Петербург
2002 год
Методология математического моделирования ассортиментной задачи (задачи оптимизации программы выпуска продукции по ассортименту).

Этапы решения задач

выбор проблемы решения;
постановка проблемы и разработка экономико-математической модели (ЭММ);
выбор метода решения;
выполнение решения;
анализ результата и проведение эксперимента;
внедрение результата, полученного в результате опыта.

Задачи оптимизации

обеспечение балансовой увязки между знаниями по выпуску продукции разных видов и наличием производственных ресурсов (сырьё, материалы, машинное время, трудовые ресурсы, энергия и т. п.);
обеспечение максимального экономического эффекта при использовании производственных ресурсов;
проведение эксперимента (повторы решения при изменённых условиях, чтобы выработать альтернативные варианты и выбрать из них наиболее приемлемый).

Под оптимизацией программы выпуска продукции по ассортименту понимаются такие объёмы выпуска различной продукции, которые обеспечивают получение максимального экономического эффекта от реализации всей продукции.

Условия задачи на предприятии имеются свободные ресурсы сырьё, материалы, машинное время, трудовые и т. п. В условии задачи известны фонды производственных ресурсов на планируемый период, нормы их затрат на единицу (десяток, сотню или комплект продукции), а также известны показатели прибыли от реализации продукции. Найти программу выпуска продукции по ассортименту, обеспечивающую максимальную суммарную прибыль от её реализации.

Виды производственных ресурсов
Фонды производственных ресурсов на планируемый период
Нормы затрат производственных ресурсов на единицу продукции

Р1 …………….. Рj ……………… Рn

1 . . . r . . . R
bj . . . br . . . bR
A=[arj]Rx n

Критерий оптимальности
с1 ……………… сj ………………. cn

j – индекс вида продукции;
Pj – виды продукции;
r – индекс вида производственных ресурсов (от 1 до R);
br – фонд r-производственного ресурса;
arj – норма затрат rj-производственного ресурса;
cj – критерий оптимальности; его сущность заключается в том, что это экономический, технико-экономический показатель, который заложен в условии задачи для суждения об оптимальности её решения;
xj –количество продукции Pj.
Х=(х1, х2…хj…xn) – оптимальная программа выпуска продукции по ассортименту.
Критерий оптимальности

Система ограничений

Суммарные затраты r-производственного ресурса на выполнение всех n видов продукции не должен превышать фонды этого ресурса, которым предприятие владеет на планируемый период.
Экономическое содержание и математическое моделирование распределительных нетранспортных задач.

I. Известна программа выполнения продукции на период. Эта программа может быть выполнена на разных станках, а также известны фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя, часовая производительность каждого из исполнителей при выработке каждого вида продукции. Известны затраты по выполнению продукции у разных исполнителей.
i – индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i=1,2…m;
j – индекс вида продукции (работы), j=1,2…n;
m – количество рабочих (станков);
n – число видов продукции (работ);
bi – фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;
λij – часовая производительность j-продукции у i-исполнителя;
Λ=[ λij]mxn – известно;
sij – себестоимость производства единицы j-продукции у i-исполнителя;
S=[ sij] mxn – известно;
Pj – вектор показателей, которые характеризуют объёмы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно;

Наименование исполнителя
Фонд эффективного рабочего времени
P1 ………………… Pj …………………. Pn

производительность / себестоимость

1 . . . i . . . m
b1 . . . bi . . . bm
Λ=[ λij]mxn / S=[ sij] mxn

Найти план распределения производственного задания по выпуску продукции (выполнения работ) между исполнителями, при котором задание было бы выполнено с минимальными суммарными затратами.
xij – затраты эффективного рабочего времени у i-исполнителя на произведение j-продукции;
Х=[ xij]mxn – искомые величины.
Целевая функция

s’ij – себестоимость часового объёма выпуска продукции определённого вида на определённом оборудовании.

Система ограничений
– суммарные затраты эффективного рабочего времени на выполнение всех видов работ не должен превышать фонда, которым располагает i-рабочий в плановом периоде;
– суммарный объём выпущенной продукции j-вида у всех m исполнителей должен быть равен производственному заданию;

II. На предприятии известна программа выпуска продукции по видам, которая может быть выполнена разными исполнителями (на разных участках). В условии задачи известны фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя в плановом периоде, показатели норм затрат эффективного рабочего времени на производство различных видов продукции на разном оборудовании, а также прибыль от реализации единицы продукции, выработанной разными исполнителями.

Наименование исполнителя
Фонд эффективного рабочего времени
P1 ………………… Pj …………………. Pn

нормы затрат / прибыль

1 . . . i . . . m
b1 . . . bi . . . bm
A=[ aij]mxn / C=[ cij] mxn

i – индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i=1,2…m;
j – индекс вида продукции (работы), j=1,2…n;
m – количество рабочих (станков);
n – число видов продукции (работ);
bi – фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;
aij – показатель нормы затрат на производство j-продукции у i-исполнителя;
A=[ аij]mxn – известно;
сij – показатель прибыли от единицы j-продукции у i-исполнителя;
С=[ сij] mxn – известно;
Pj – вектор показателей, которые характеризуют объёмы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно.
Требуется найти план распределения производственного задания между исполнителями, при котором это задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализации всей продукции.
xij – объём (количество) j-продукции выработанной i-исполнителем;
Х=[ xij]mxn – искомые величины.

Целевая функция

Система ограничений

При решении этой системы линейных уравнений и неравенств, нужно найти такие неотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала максимальное значение.
Методология математического моделирования раскройной задачи (задачи оптимизации программы раскроя материалов).

Пусть имеются ДСП стандартных размеров, из которых необходимо нарезать m различных по размеру заготовок и деталей для производства мебели. ДСП определённого размера может быть раскроена n способами (вариантами). По каждому из возможных вариантов раскроя составляется соответствующая карта раскроя, из которой видно, что при j (j=1,2…n) способе раскроя из одной плиты получается определённое количество (обозначим через aij) заготовок i (i=1,2…m) вида (размера). По картам раскроя устанавливается также величина отходов (площадь, вес, стоимость) при раскрое одной плиты j способом (обозначим – сj). В задании на раскрой должно быть указано общее количество заготовок каждого i вида (размера) – bi, которое необходимо нарезать из плит, поступивших в раскрой (обозначим – R). В задаче требуется определить оптимальный план раскроя ДСП, обеспечивающий минимальные отходы (или минимальный расход раскраиваемых материалов), при условии выполнения задания по выходу заготовок.
xj – количество ДСП, которое следует раскраивать с тем, чтобы нарезать заданное число заготовок каждого вида, при этом суммарные отходы (или суммарный расход плит) должны быть минимальными.

Виды заготовок
Задание по раскрою
Способы раскроя

1 ……………………. j ………………….. n

1 . . . i . . . m
b1 . . . bi . . . bm
A=[ аij]mxn

Отходы
C=[ cj] n

Критерий оптимальности

Система ограничений

При решении этой системы линейных уравнений и неравенств, нужно найти такие неотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала минимальное значение.

Рассмотрим пример решения задачи оптимизации программы раскроя материалов симплексным методом.

F=0.26×1+0.28×2+0.3×3+0.29×4=min

F=0.26×1+0.28×2+0.3×3+0.29×4+0x5+0x6+0x7+0x8+0x9+M(y1+y2+y3+y4)=min

C0
P0
B
0.26
0.28
0.3
0.29
0
0
0
0
0
M
M
M
M
∑
β

X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
Y1
Y2
Y3
Y4

0
X5
250
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
255
250

M
Y1
540
1
31
1
2
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
547
180

M
Y2
200
2
1
0
2
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
205
200

M
Y3
400
0
2
3
0
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
405
200

M
Y4
390
1
2
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
1
393
195

1530M
4M-0.28
8M-0.28
4M-0.3
4M-0.29
0
-M
-M
-M
-M
0
0
0
0

0
X5
70
2/3
0
2/3
1/3
1
1/3
0
0
0
-1/3
0
0
0
218/3
70/3

0.28
X2
180
1/3
1
1/3
2/3
0
-1/3
0
0
0
1/3
0
0
0
547/3
—

M
Y2
20
5/3
0
-1/3
4/3
0
1/3
-1
0
0
-1/3
1
0
0
68/3
20/3

M
Y3
40
-2/3
0
7/3
-4/3
0
2/3
0
-1
0
-2/3
0
1
0
121/3
80/3

M
Y4
30
1/3
0
-2/3
-4/3
0
2/3
0
0
-1
-2/3
0
0
1
85/3
60/3

50.4+90M
4/3M-1/6
0
4/3M-31/150
-4/3M-31/300
0
5/3M-7/75
-M
-M
-M
-8/3M+7/75
0
0
0

Дальнейшее решение было проведено на компьютере и получены следующие ответы всего подлежит раскрою 200 плит, причем все раскраиваются вторым способом, тогда мы получим 600 заготовок первого вида, 200 – второго, 400 – третьего, 400 – четвёртого, при минимальных отходах, равных 56 м2.

Экономическая сущность и математическое моделирование транспортных задач.

Известны пункты производства (А1, А2 … Ai … Аm); m – пунктов, производящих конкретную продукцию;
аi – мощность i-поставщика (сколько необходимо реализовать продукции, т. е. перевести из Аi)
– суммарная мощность поставщиков в плановом периоде;
пункты потребления (В1, В2 … Bj … Вn); n – пунктов потребления конкретной продукции;
bj – потребность (спрос, ёмкость) j-поставщика в конкретной продукции;
– суммарный спрос n-потребителей.
1) – сбалансированные спрос и предложение, такие задачи называются закрытыми транспортными задачами;
­– открытая транспортная задача.
2) возможна поставка продукции из любого пункта производства в любой пункт потребления.
3) сij – затраты на поставку продукции, т. е. критерий оптимальности (может быть и на производство, и на транспортировку).

В задаче требуется найти план транспортных связей между поставщиками и потребителями продукции, при котором потребности всех потребителей были бы удовлетворены с минимальными суммарными затратами на поставку всей продукции.

xij – объём поставки от i-поставщика к j-потребителю (искомая величина)

Поставщики и их мощности
Потребители и их спрос

B1 ………………………….. Bj ………………………………….. Bn

b1 …………………………… bj ………………………………….. bn

С=[ сij] mxn / Х=[ xij]mxn

A1
a1
c11
……………………. x11…………………
c1j
…………………. ………x1j………
c1n
……………… ………….. x1n

. . .
. . .
. . .
. . . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . .

Ai
ai
ci1
……………………. xi1…………………
cij
…………………. ………xij………
cin
……………… ………….. xin

. . .
. . .
. . .

. . .

. . .

Am
am
cm1
……………………. xm1…………………
c11
…………………. ………xmj………
c11
……………… …………..xmn

Целевая функция
(1)
Условие реализации продукции у каждого из поставщиков
(2)
Условие обеспечения всех потребителей продукцией по их потребности
(3)
Условие не отрицательности переменных

В решении системы линейных уравнений 2 и 3 необходимо найти такие не отрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала минимальное значение.

m+n-1 – линейно независимых уравнений, ранг системы, r= m+n-1.
В каждом опорном плане должно быть m+n-1 базисных элементов (xij>0), если таких переменных равно или больше, чем m+n-1, план называется невырожденный; если одна или несколько базисных переменных равна нулю, то такой план считается вырожденным.

Открытые транспортные задачи.

a)
(1)
(2)
(3)

Bn+1 – потребность какого-то потребителя, находящегося за пределами района (фиктивный потребитель).
(1)
(2)
(3)

сi, n+1=0 (i=1,2…m)

б)
(1)
(2)
(3)

Аn+1 – фиктивный поставщик.
(1)
(2)
(3)

Ограничение транспортных возможностей.

а) xij=0 => cij=М, где М»0;
б) 0 ≤ хij ≤ dij
dij – характеризует транспортные возможности между i-поставщиком и j-потребителем.
Тогда поставщик Аi условно делится на Аi` и Аi«, при этом ai`=dij и ai«= ai`-dij, cij`=cij и cij«=М, где М»0.
Рассмотрим пример решения транспортной задачи методом потенциалов.

В1 200
В2 250
В3 275
В4 255
В5 120
Ui

A1 300
7
—
10
—
M
—
6
255
0
45
0

A2 125
9
—
5
125
6
0
8
—
0
—
-5

A3 125
9
—
5
125
M
—
8
—
0
—
-5

A4 270
8
—
6
—
11
195
10
—
0
75
0

A5 280
6
200
11
—
9
80
7
—
0
—
-2

Vj
-8
10
11
6
0

Δ11=-1
Δ12=0
Δ13=M-11
Δ21=6
Δ24=7
Δ25=5
Δ31=6
Δ33=M-6
Δ34=7
Δ35=5
Δ41=0
Δ42=-4
Δ44=4
Δ52=13
Δ54=0
Δ55=2

В1 200
В2 250
В3 275
В4 255
В5 120
Ui

A1 300
7
—
10
—
M
—
6
255
0
45
0

A2 125
9
—
5
—
6
125
8
—
0
—
-5

A3 125
9
—
5
125
M
—
8
—
0
—
-1

A4 270
8
—
6
125
11
70
10
—
0
75
0

A5 280
6
200
11
—
9
80
7
—
0
—
-2

Vj
8
6
11
6
0

Δ11=-1
Δ12=4
Δ13=M-11
Δ21=6
Δ22=4
Δ24=7
Δ25=5
Δ31=2
Δ33=M-10
Δ34=3
Δ35=1
Δ41=0
Δ44=4
Δ52=7
Δ54=3
Δ55=2

В1 200
В2 250
В3 275
В4 255
В5 120
Ui

A1 300
7
45
10
—
M
—
6
255
0
—
0

A2 125
9
—
5
—
6
125
8
—
0
—
-4

A3 125
9
—
5
125
M
—
8
—
0
—
0

A4 270
8
—
6
125
11
25
10
—
0
120
1

A5 280
6
155
11
—
9
125
7
—
0
—
-1

Vj
7
5
10
6
-1

Δ12=5
Δ13=M-10
Δ15=1
Δ21=6
Δ22=4
Δ24=6
Δ25=5
Δ31=2
Δ33=M-10
Δ34=2
Δ35=1
Δ41=0
Δ44=3
Δ52=7
Δ54=2
Δ55=2

F=7×1+10×2+Mx3+6×4+7×1+10×2+Mx3+6×4+9×5+5×6+6×7+8×8+8×9+6×10+11×11+
+10×12+6×13+11×14+9×15+7×16=min
при ограничениях

F=7*45+6*155+5*125+6*125+6*125+11*25+9*125+6*255=6300

Оптимальный план поставок для деревообрабатывающих предприятий, обеспечивающий минимальные транспортные затраты в сумме 6300000 руб., заключается в следующем
1-ое лесозаготовительное предприятие поставляет 45 т. м3 1-ому деревообрабатывающему предприятию;
1-ое – 4-ому 255 т. м3;
2-ое – 2-ому 125 т. м3;
2-ое – 3-ему 125 т. м3;
3-е – 2-ому 125 т. м3;
3-е – 3-ему 25 т. м3;
у 3-го предприятия остаётся запас в 120 т. м3;
4-е – 1-ому 155 т. м3;
4-е – 3-ему 125 т. м3;
имеется альтернативный приведённому план поставок при тех же транспортных издержках
1-ое – 4-ому 255 т. м3;
2-ое – 2-ому 125 т. м3;
2-ое – 3-ему 125 т. м3;
3-е – 1-ому 25 т. м3;
3-е – 2-ому 125 т. м3;
у 3-го предприятия остаётся запас в 120 т. м3;
4-е – 1-ому 130 т. м3;
4-е – 3-ему 150 т. м3.

Оптимизация замены оборудования. Динамическое программирование в планировании производством и управлении им.

Под динамическим программированием понимается вычислительный метод, опирающийся на аппарат рекуррентных соотношений.
Динамическое программирование – планирование многошагового процесса, при котором на каждом шаге решения, оптимизируется только этот шаг. Идея динамического программирования заключается в том, что отыскание множества переменных, что имело место в линейном программировании, заменяется на многократное отыскание одной или очень небольшого числа исходных переменных.
Весь процесс динамического программирования планируется в виде составления функциональных уравнений, которые решаются на каждом шаге.
Под функциональными уравнениями понимаются такие уравнения, в которых выражается функциональная зависимость между множеством функций – это сущность и отличие динамического программирования от линейного.

Содержание проблемы и сущность алгоритма решения.

Процесс решения задачи осуществляется следующим способом. Берётся период в N лет. К этому времени оборудование отработало некое количество лет и пришло t0 возраста.
Решение задачи начинается с последнего N-го года, составляется пара функциональных уравнений в предположении, что пришло старое оборудование без замены

рассчитывается доход от эксплуатации оборудования при замене;
рассчитывается доход от эксплуатации оборудования в течение года при условии его старения.

Вторая гипотеза к N-ому году оборудование могло прийти замененным в каком-то году, тогда составляется пара уравнений, в которых определяется доход за год от эксплуатации единицы оборудования при условии замены или сохранения оборудования.
Шаг второй рассматриваем (N-1) год.
Рассматриваются две гипотезы

пришло старое оборудование без замены;
пришло оборудование, которое было заменено.

Шаг третий рассматривается (N-2) год при двух гипотезах, составляются уравнения, рассчитывается доход.
Решение продолжается по всем шагам. На первом году будет одна гипотеза, что пришло старое оборудование, используемое t0 лет.

Составление функциональных уравнений.

Под критерием оптимальности может быть принят любой экономический показатель, если он хорошо подготовлен, т.е. он должен быть отчищен от факторов, не зависящих от работы оборудования.
r(t) – стоимость продукции, созданной единицей оборудования возраста t лет за год.
U(t) – затраты на содержание в течение года единицы оборудования возраста t лет.
С(t) – затраты на замену единицы оборудования возраста t лет (затраты на приобретение, отладку за вычетом остаточной стоимости старого оборудования).
i – год установки нового оборудования.
Доход замены оборудования рассчитывается
f’=r(t)-U(t)-C(t)
Доход от сохранения оборудования
f’’=r(t)-U(t)
Если f’>f’’, то оборудование необходимо заменить, если f’≤f’’ – оставить.

Шаг 1-ый N-ый год.
Гипотеза 1 пришло старое оборудование возраста N+t0 лет.
Тогда доход за N-ый год при условии замены или сохранения оборудования

Гипотеза 2 пришло новое оборудование.

Возьмём N-t-й год

Шаг 2-ой (N-1)-ый год.
Рассчитывается суммарный условный доход, при условии замены или сохранения.
Гипотеза 1 пришло старое оборудование.

Гипотеза 2 пришло новое оборудование.

Рассмотрим пример решения задачи о замене оборудования.

Исходная информация по старому оборудованию (t0=7)

Показатель
Значение показателей на единицу оборудования возраста (лет) в тыс. руб.

8
9
10
11
12

r(t)
100
87
74
67
60

U(t)
27
32
39
42
40

C(t)
135
148
150
165
172

Исходная информация по новому оборудованию

Показатель
Значение показателей на единицу оборудования возраста (лет) в тыс. руб.

0
1
2
3
4

r1(t)
135
105
85
80
75

U1(t)
12
15
20
22
25

C1(t)
—
152
160
170
180

r2(t)
125
100
90
84

U2(t)
13
15
17
20

C2(t)
—
132
142
152

r3(t)
136
120
116

U3(t)
15
16
19

C3(t)
—
156
162

r4(t)
145
135

U4(t)
20
17

C4(t)
—
180

r5(t)
162

U5(t)
35

I этап (5 год)

Оборудова-ние
Возраст
Условие максимального дохода за 5 год

Формула
Расчёты
Полити-ка

Ст
12

165-35-172= -42 60-40=20
Сохран.

Н
1

165-35-180= -50 135-17=118
Сохран.

Н
2

130-162= -32 116-19=97
Сохран.

Н
3

130-152= -22 84-20=64
Сохран.

Н
4

130-180= -50 75-25=50
Сохран.

II этап (4, 5 год)

Оборудова-ние
Возраст
Условие максимального дохода за 5 год

Формула
Расчёты
Полити-ка

Ст
11

=145-20-165+ +118=78=67-42+ +20=45
Замены

Н
1

=125-156+ +118=87 =120-16+ +97=201
Сохран.

Н
2

=243-142= =101 =90-17+64= =137
Сохран.

Н
3

=243-170= =73 =80-22+50= =108
Сохран.

III этап (3, 4, 5 год)

Оборудова-ние
Возраст
Условие максимального дохода за 5 год

Формула
Расчёты
Полити-ка

Ст
10

=136-15-150+ +201=172=74-39+ +78=113
Замены

Н
1

=322-132= =190 =100-15+ +137=222
Сохран.

Н
2

=322-160= =162 =85-20+108= =173
Сохран.

IV этап (2, 3, 4, 5 год)

Оборудова-ние
Возраст
Условие максимального дохода за 5 год

Формула
Расчёты
Полити-ка

Ст
9

=125-13-148+ +222=186=87-32+ +179=227
Сохран.

Н
1

=334-152= =182 =105-15+ +173=263
Сохран.

V этап (1, 2, 3, 4, 5 год)

Оборудова-ние
Возраст
Условие максимального дохода за 5 год

Формула
Расчёты
Полити-ка

Ст
8

=135-12-135+ +263=251=100-27+ +227=300
Сохран.

Оптимальная политика отношения к оборудованию, обеспечивающая максимальную прибыль 300 тыс. руб., заключается в следующем в 1 год сохранить оборудование, при этом доход составит (300-263)=37 тыс. руб.; во 2 год – сохранить, при доходе (263-172)=91 тыс. руб.; в 3 год – заменить, при убытке (172-201)=55 тыс. руб.; в 4 год – сохранить, при доходе (201-97)=104 тыс. руб.; в 5 год – сохраняем, при доходе 97 тыс. руб.