Эконометрика (оценить тесноту связи между факторами при помощи коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендела и другие задачи)

Московское Представительство

Ленинградского Государственного Областного Университета им. Пушкина

 

Индивидуальное задание

по курсу «Эконометрика»

                                                                    

Выполнил: Макаров А.В.

                                                                           Студент 3-его курса

Группы П-31д

                                                                             Дневного отделения

            Преподаватель: Мезенцев Н.С.

           

                                                                           

                                                                                  .

 

 

                                                                         

Москва 2002г.

Задача 1.

При помощи коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендела

оценить тесноту связи между факторами на основании следующих данных:

 

Табл.1

№ Предприятия Объем реализации, млн.руб. Затраты по маркетенгу, тыс. руб. Rx Ry

di

di2

1 12 462 2 1 1 1
2 18,8 939 5 5 0 0
3 11 506 1 2 -1 1
4 29 1108 7 7 0 0
5 17,5 872 4 4 0 0
6 23,9 765 6 3 3 9
7 35,6 1368 8 8 0 0
8 15,4 1002 3 6 -3 9
Итого 20

1)находим коэффициент Спирмена:

    .

Вывод: Коэффициент Спирмена равен 0,77.

По шкале Чеддока связь между факторами сильная.

2)находим коэффициент Кендела:

x

y

Rx

Ry

+

-

12,0 462 2 1 6
18,8 939 5 5 3 3
11,0 506 1 2
29,0 1108 7 7 1 3
17,5 872 4 4 2 1
23,9 756 6 3 1
35,6 1368 8 8 1
15,4 1002 3 6
P=13 Q= -8
S=P+Q=13-8=5

              

Вывод: Коэффициент Кендела равен 0,19.

По шкале Чеддока связь между факторами слабая.

 

 

 

 

 

Задача 2.

Имеются исходные данные о предприятиях отрасли. Используя коэффициент конкордации, оценить тесноту связи между приведёнными в таблице факторами.

Табл.1

=302

Вывод: Коэф. Конкордации равен 0,674. По шкале Чеддока связь заметная.

 

 

 

 

Задача 4.

Построить модель связи между указанными факторами, проверить её адекватность, осуществить точечный и интервальный прогноз методом экстраполяции.

 

 

4.1. Исходные данные отложить на координатной плоскости и сделать предварительное заключение о наличии связи.        

 

      таб.1                                                                                                         диагр.1

x y
2,1 29,5
2,9 34,2
3,3 30,6
3,8 35,2
4,2 40,7
3,9 44,5
5,0 47,2
4,9 55,2
6,3 51,8
5,8 56,7

Вывод: Из диаграммы 1 видно, что связь между факторами x и y

прямая сильная линейная связь.

 

 

 

4.2.Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами х и у, используя шкалу Чеддока.

таб.2

xy

1 2,1 29,5 4,41 870,25 61,95 27,91 1,59 0,054
2 2,9 34,2 8,41 1169,64 99,18 33,46 0,74 0,022
3 3,3 30,6 10,89 936,36 100,98 36,23 -5,63 0,184
4 3,8 35,2 14,44 1239,04 133,76 39,69 -4,49 0,128
5 4,2 40,7 17,64 1656,49 170,94 42,47 -1,77 0,043
6 3,9 44,5 15,21 1980,25 173,55 40,39 4,11 0,092
7 5,0 47,2 25 2227,84 236 48,01 -0,81 0,017
8 4,9 55,2 24,01 3047,04 270,48 47,32 7,88 0,143
9 6,3 51,8 39,69 2683,24 326,34 57,02 -5,22 0,101
10 5,8 56,7 33,64 3214,89 328,86 53,55 3,15 0,056
ИТОГО: 42,2 426 193,34 19025,04 1902,04 426 0,840
Среднее зн. 4,22 42,56 19,334 1902,504 190,204

4.2.1.Проверим тесноту связи между факторами, рассчитаем ЛКК:

Вывод: по шкале Чеддока связь сильная.

4.2.2.Проверим статистическую значимость ЛКК по критерию Стьюдента:

1)Критерий Стьюдента: tвыб<=tкр

2)Но: r=0  tкр=2,31      

tвыб=rвыб*   

Вывод: таким образом поскольку tвыб=5,84<tкр=2,31, то с доверительной вероятностью

90% нулевая гипотеза отвергается, это указывает на наличие сильной линейной связи.

 

4.3.Полагая, что связь между факторами х и у может быть описана линейной функцией, используя процедуру метода наименьших квадратов, запишите систему нормальных уравнений относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии. Любым способом рассчитайте эти коэффициенты.

Последовательно подставляя в уравнение регрессии  из графы (2) табл.2, рассчитаем значения  и заполним графу (7) табл.2

4.4.Для полученной модели связи между факторами Х и У рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте предварительное заключение приемлемости полученной модели.

Для расчета заполним 8-ую и 9-ую графу табл.2

<Екр=12%

Вывод: модель следует признать удовлетворительной.

4.5. Проверьте значимость коэффициента уравнения регрессии a1 на основе t-критерия Стьюдента.

Решение:                                                                     Таб.3

 

1 2,1 29,5 27,91 2,5281 214,623 170,5636
2 2,9 34,2 33,46 0,5476 82,81 69,8896
3 3,3 30,6 36,23 31,6969 40,069 143,0416
4 3,8 35,2 39,69 20,1601 8,237 54,1696
5 4,2 40,7 42,47 3,1329 0,008 3,4596
6 3,9 44,5 40,39 16,8921 4,709 3,7636
7 5 47,2 48,01 0,6561 29,703 21,5296
8 4,9 55,2 47,32 62,0944 22,658 159,7696
9 6,3 51,8 57,02 27,2484 209,092 85,3776
10 5,8 56,7 53,55 9,9225 120,78 199,9396
ИТОГО: 42,2 425,6 426,1 174,8791 732,687 911,504
Среднее 4,22 42,56

Статистическая проверка:


Вывод: С доверительной вероятностью 90% коэффициент a1- статистически значим, т.е. нулевая гипотеза отвергается.

4.6. Проверьте адекватность модели (уравнения регрессии) в целом на основе F-критерия Фишера-Снедекора.

Решение:

Процедура статистической проверки:

:модель не адекватна

Вывод: т.к. Fвыб.>Fкр., то с доверительной вероятностью 95% нулевая гипотеза отвергается (т.е. принимается альтернативная). Изучаемая модель адекватна и может быть использована для прогнозирования и принятия управленческих решений.

4.7. Рассчитайте эмпирический коэффициент детерминации. 

Решение:

  (таб. 3)

-показывает долю вариации.

Вывод: т.е. 80% вариации объясняется фактором включенным в модель, а 20% не включенными в модель факторами.

4.8. Рассчитайте корреляционное отношение. Сравните полученное значение с величиной линейного коэффициента корреляции. 

Решение:

Эмпирическое корреляционное отношение указывает на тесноту связи между двумя факторами для любой связи, если связь линейная, то , т.е. коэффициент ЛКК совпадает с коэффициентом детерминации.

4.9. Выполните точечный прогноз для .

Решение:

4.10-4.12 Рассчитайте доверительные интервалы для уравнения регрессии и для результирующего признака  при доверительной вероятности =90%. Изобразите в одной системе координат:

а) исходные данные,

б) линию регрессии,

в) точечный прогноз,

г) 90% доверительные интервалы.

Сформулируйте общий вывод относительно полученной модели.

Решение:

 -математическое ожидание среднего.

Для выполнения интервального прогноза рассматриваем две области.

1)    для y из области изменения фактора x доверительные границы для линейного уравнения регрессии рассчитывается по формуле:

          

2)    для прогнозного значения доверительный интервал для рассчитывается по формуле:

      

Исходные данные:

1)    n=10

2)    t=2,31(таб.)

3)   

4)

5):        27,91      42,56        57,02          66,72  

6)19,334-4,222)=1,53.

                                                                                                                                           Таб.4

1 2,1 -2,12 4,49 3,03 1,74 2,31 4,68 18,81 27,91 9,10 46,72
2 4,22 0,00 0,00 0,1 0,32 2,31 4,68 3,46 42,56 39,10 46,02
3 6,3 2,08 4,33 2,93 1,71 2,31 4,68 18,49 57,02 38,53 75,51
4 7,7 3,48 12,11 9,02 3 2,31 4,68 32,43 66,72 34,29 99,15

Вывод: поскольку  90% точек наблюдения попало в 90% доверительный интервал данная модель и ее доверительные границы  могут использоваться для прогнозирования с 90% доверительной вероятностью.